Secundaria Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

[DjangoDMaxwell]

Muy buenas a todos,

Estoy estudiando física por mi cuenta así por hobby por internet y prácticamente estoy empezando este largo camino. Hace días me surgió una duda que es la que os expondré ahora y así, al buscar soluciones descubrí este foro. Me he intentado resistir el preguntar ya que por un lado se que queréis que me estruje el cerebro antes de molestaros y por otro lado por qué yo personalmente lo prefiero así (si no, no voy bien encaminado en la física jaja).

Bueno no me enrollo mas y voy a la cuestión: Como dije estudio por internet y llegando al temario del impulso mecánico y la conservación de la cantidad de movimiento vi un ejemplo para entender el impulso mecánico en esta página: http://www.educaplus.org/momentoline..._mecanico.html
El cual me hizo pensar el por qué si cogemos un cohete o cualquier objeto con masa (en ausencia de fuerzas gravitatorias y cualquiera que influencie negativamente a la velocidad como una fricción), y le aplicamos una fuerza constante no puede superar la velocidad de la luz pasado cierto tiempo.
En un principio no le encontraba mucho sentido el por qué no se puede superar tal velocidad, de ahí busqué por internet y empecé a leer sobre energías, sus tipos, sobre que es la masa, teoría de la relatividad, formulas que las componen, asta campo de higgs. Mi nivel de física y matemáticas no es muy grande pero en sí todo lo leído y sus respectivas fórmulas las entiendo asta el límite de que empiezan a dejar de ser fórmulas con su respectivo razonamiento matemático, a ser pues análisis matemático en profundidad (que también tienen su razonamiento) que ya se me escapa de mi conocimiento. De ahí a que me he visto muy frenado cuando quería entender en profundidad lo dicho anteriormente.

En resumen, la teoría dice que hace falta una energía infinita para llevar un cuerpo con masa a la velocidad de la luz, realmente alguien lo ha comprobado empíricamente? Sé que sería complicado, pero después de leer tanto no me convencen los razonamientos matemáticos. Pero tampoco puedo contradecirlos, realmente están bien y encajan. Supongo que me estoy haciendo ya demasiado el lío y seguro es por mi falta enorme de conocimiento, pero ya por eso recurro aquí, a ver si alguien me ilumina un poco o me da algún dato.

Gracias por el tiempo y la comprensión.

Un saludo

[arivasm]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

En resumen, la teoría dice que hace falta una energía infinita para llevar un cuerpo con masa a la velocidad de la luz, realmente alguien lo ha comprobado empíricamente?

Los aceleradores de partículas, como el LHC, son un ejemplo magnífico de cómo las expresiones newtonianas son incorrectas y en cambio las relativistas son correctas. Para entenderlo hagamos un número sencillo. De la segunda ley de Newton $\vec F=m\vec a$ se sigue que la cantidad de energía que hace falta aplicar a una partícula inicialmente en reposo para que alcance una velocidad $v$ es $K=\frac{1}{2}mv^2$. En cambio, en relatividad la expresión es otra bien diferente: $\dst K=mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$, aunque para velocidades pequeñas coincide con la anterior, donde $m$ es la masa en reposo de la partícula.

Por tanto, para llevar a un protón (cuya masa en reposo es $m=\notcien{1,67}{-27}\,\rm kg$) desde el reposo hasta la velocidad de la luz haría falta aportarle, si las leyes de Newton fuesen correctas, una energía de $K=\notcien{7,50}{-11}\,\rm J$. Como su carga es de $q=\notcien{1,60}{-19}\,\rm C$ para lograr dicha energía bastaría con aplicar un voltaje $\Delta V=\frac{K}{q}=\notcien{4,7}{8}\,\rm V$, es decir, sobre medio millón de voltios. Sin embargo, en el LHC se aplican voltajes de billones de voltios y, por supuesto, las partículas no alcanzan la velocidad de la luz (aunque se aproximan bastante).

[Alriga]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Como te ha explicado arivasm la energía cinética se calcula con la expresión

$\dst K=mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-1\right)$

Si a partir de aquí despejas la velocidad en función de la energía cinética obtienes:

$v=\dfrac{c \sqrt{K(K+2 m c^2)}}{K+m c^2}$

Si vas aumentando los valores de la energía cinética K, la velocidad va aumentando acercándose a la velocidad de la luz c. (Si haces el límite para K tendiendo a infinito se obtiene v=c)
Para que lo visualices te adjunto una tabla en la que hago c=1 y m=1 para poder poner valores numéricos y voy aumentando los valores de la energía cinética. Observa que por mucho que aumentemos K, la velocidad se va acercando a 1(=c en este caso) sin sobrepasar el valor.

$v=\dfrac{\sqrt{K(K+2)}}{K+1}$

Energía Cinética K	Velocidad v
0	0
0,5	0,745355992
1	0,866025404
1,5	0,916515139
2	0,942809042
5	0,986013297
10	0,995859195
50	0,999807748
100	0,999950984
500	0,999998008
1000	0,999999501
10000	0,999999995
20000	0,999999999
......	....
infinito	1

Saludos

[DjangoDMaxwell]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Muy buenas a los 2,
y antes que nada muchas gracias por responderme.
La verdad es que tal y como lo explicáis creo que lo entiendo bastante bien, sobretodo muy interesante lo del LHC.
Pero sigo teniendo la duda del tiempo, en esas formulas se considera el tiempo? osea, si aplico cierta fuerza constante a una partícula con masa de tal manera que tenga desplazamiento durante un tiempo prolongado, por mucho tiempo que siga aplicando ese trabajo, no llegara a la velocidad de la luz? osea en función de lo que se acerque a la velocidad de la luz, el trabajo realizado en esa partícula no es efectivo? donde se va?
Supongo que aquí tiene que ver el campo de higgs y su bosón, tal vez esa energía se baya a algo relacionado con eso? tal vez dándole la vuelta a la tortilla el campo en vez de dar masa la quita y por eso cuanto mas cercana a la velocidad de la luz mas energía hace falta para mantener esa masa y es ahí donde se va esa energía que no es efectiva?
Eso ultimo tal vez a sido demasiada imaginación por hoy jaja, pero realmente estoy confuso la verdad.

[Alriga]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

si aplico cierta fuerza constante a una partícula con masa de tal manera que tenga desplazamiento durante un tiempo prolongado, por mucho tiempo que siga aplicando ese trabajo, no llegara a la velocidad de la luz?

No, no llegará. La función $v=\dfrac{c \sqrt{K(K+2 m c^2)}}{K+m c^2}$ tiene una asíntota horizontal en v=c, luego la velocidad no llega nunca a c por mucha energía que le aportes sea como sea.

... osea en función de lo que se acerque a la velocidad de la luz, el trabajo realizado en esa partícula no es efectivo? donde se va?

La energía que le aportes a la partícula se invierte en ... aumentar la energía de la partícula, ni más ni menos. Lo que pasa es que si la velocidad ya es cercana a la de la luz la energía aumenta muy rápidamente cuando aumenta muy poco la velocidad, de acuerdo a

$\dst K=mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-1\right)$

Tú estás acostumbrado a $K=\dfrac 1 2 m v^2$ y quieres continuar viendo eso, pero no es así, la expresión matemática es diferente y te tienes que acostumbrar a ella. Haciendo como antes m=1 y c=1

Velocidad	E cinética newtoniana	E cinética real
0	0	0
0,1	0,005000	0,005
0,2	0,020000	0,021
0,3	0,045000	0,048
0,4	0,080000	0,091
0,5	0,125000	0,155
0,6	0,180000	0,250
0,7	0,245000	0,400
0,8	0,320000	0,667
0,9	0,405000	1,294
0,99	0,490050	6,089
0,999	0,499001	21,366
0,9999	0,499900	69,712
0,999999	0,499999	706,107
0,9999999999	0,4999999999	70709,675
......	......	......
1	0,5	infinito

Saludos.

[DjangoDMaxwell]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Vale vale creo que ya comprendo totalmente, entonces si despejas la masa sale que a medida que aumenta la velocidad sale una masa mas grande, lo cual haría falta una energía infinita para mover una masa infinita. y ya con eso cierro mi esquema mental por qué me encaja que por ejemplo un camión que va a 5 km/h tenga mas energía que una persona que va a 5 km/h a pesar de ir a la misma velocidad, y ahí es donde se va la energía que yo preguntaba a donde se iva en el caso de la partícula que se acerca a la velocidad de la luz.
Entonces se sabe cuanta masa aumentó ese protón que se aceleró en el LHC? ya que se aproximo bastante (aun que tal vez no lo suficiente para tener un aumento de masa).

Y por ultimo, por qué al acercarse a la velocidad de la luz aumenta la masa? que es lo que hace que ocurra eso? las horas que son y me he de ir a dormir, esta noche me veo dando vueltas en la cama pensando en ello jaja

Gracias por tu tiempo y buena respuesta Alriga, y si alguien me ilumina sobre esta ultima cuestión me haría feliz, un saludo.

[arivasm]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

En este foro encontrarás largos debates acerca de si la palabra masa debe aplicarse únicamente al valor que se mide en un sistema en reposo respecto de la partícula o si por el contrario se refiere a $E/c^2$. Creo que tú estás manejando esta última interpretación que es la que los que por aquí saben mucho la llaman la interpretación antigua.

De todos modos, me da la sensación de que al escribir lo que has puesto estás intentando aferrarte a la idea newtoniana: como la masa es cada vez más grande entonces la misma fuerza produce aceleraciones cada vez más pequeñas. No es correcto. Recuerda que F=ma y toda la Mecánica que gira alrededor de ella falla en el dominio relativista. Sólo es una aproximación válida para velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. El punto de vista correcto es otro: por mucha energía que se aporte a una partícula que posea una masa en reposo no nula jamás se consigue que alcance la velocidad de la luz. Lo único que se consigue es aproximarse más y más a la misma.

Con respecto a las masas de los protones en el LHC (usando la interpretación antigua para el término) son muy evidentes: como cada uno es acelerado hasta que alcanza una energía de, por ejemplo, 7 TeV no hay más que dividir entre $c^2$ (eso sí, si lo quieres en kg primero hay que traducir esa energía a J) y listo. Si usas la unidad de masa $\rm TeV/c^2$ la respuesta es, por supuesto, $\rm 7 TeV/c^2$ (en reposo es $\rm 938 MeV/c^2$).

Por último, para que duermas tranquilo: como estás usando la interpretación de que la masa y la energía son la misma cosa, relacionadas por $E=mc^2$ es casi de Perogrullo el que si $E$ aumenta entonces también lo hace $m$.

[DjangoDMaxwell]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Siento mucho seguir molestando y preguntar lo que me habéis explicado bien, pero esta ultima aclaración de arivasm me confunde todavía mas. Por un lado me dices:

""como la masa es cada vez más grande entonces la misma fuerza produce aceleraciones cada vez más pequeñas. No es correcto. Recuerda que F=ma y toda la Mecánica que gira alrededor de ella falla en el dominio relativista. Sólo es una aproximación válida para velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. El punto de vista correcto es otro: por mucha energía que se aporte a una partícula que posea una masa en reposo no nula jamás se consigue que alcance la velocidad de la luz. Lo único que se consigue es aproximarse más y más a la misma.""

Y por otro lado me dices:

"" es casi de Perogrullo el que si aumenta entonces también lo hace .""

todo afirmando que la mecánica newtoniana es incorrecta para velocidades cercanas de la luz.

Mi confusión viene de que se me contradicen algunas cosas: Si por mucha energía que le des a la partícula con masa solo se aproxima a la velocidad de la luz, y me dices que el aumento de energía es equivalente al aumento de masa, y a la vez me dices que es incorrecto que la masa al ser cada vez más grande, la misma fuerza produce aceleraciones cada vez más pequeñas. No entiendo por qué no es así, realmente no veo por qué no pueden encajar. Simplemente veo que con la misma energía constante con todo el tiempo infinito, la aceleración se acercaría a 0 a medida que se acerca la velocidad de la luz invirtiéndose toda la energía en el aumento de masa. Entonces almenos en esta cuestión la mecánica newtoniana no contradeciria a nada, ya que al llegar a la velocidad de la luz habríamos llegado a una masa infinita y por tanto una energía infinita (habríamos usado un tiempo infinito también).

Espero que se haya entendido, desearía tener buenas herramientas matemáticas para apoyar lo dicho y que se entienda mejor.
También veo que estoy siendo algo cabezón aferrándome a la mecánica newtoniana y intentando compatibilizarla con la de la relatividad, pero siento por dentro cierta obligación o necesidad ya que al ser este apartado de la física algo que no puedo tocar (como por ejemplo las piezas de un motor y ver como interactúan entre ellas personalmente), no se por donde sostenerme muy bien.

Y pues bueno, si me pueden confirmar lo dicho o aclarar algo, agradezco mucho su tiempo, dedicación y sobretodo comprensión.

[Alriga]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Como te explica arivasm esa sería en todo caso una masa aparente

$m_{aparente}=\dfrac{m}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

$m_{aparente}=\gamma \cdot m$

Esa masa aparente puede servir como artificio para expresar algunos conceptos de la Relatividad Especial en términos de mecánica clásica, pero solo eso y no todos. Por ejemplo si aplicamos una fuerza a una nave espacial que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz en la misma dirección del movimiento, podríamos estar tentados a pensar que, como la expresión newtoniana que relaciona Fuerza, Masa y Aceleración es:

$$F=m\cdot a$$

Entonces para la relatividad especial ¿sería?

$$F=m_{aparente}\cdot a \ ??$$

Pues no. Si se hace el desarrollo correcto se obtiene

$$F=m \cdot \gamma^3 \cdot a$$

O sea

$$F=m_{aparente}\cdot \gamma^2 \cdot a$$

Vemos que la “masa aparente” no sirve ni siquiera para sustituirla por la “m” de la Segunda Ley de Newton. Si no sirve ni para eso, ¿vale la pena definirla? Peor aún es si la fuerza y la velocidad no tienen la misma dirección:

$$\vec F=m\cdot \vec a$$

$$\vec F = m \gamma \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v$$

En mi opinión, lo que aquí se describe sugiere que la masa aparente no es en realidad un tipo de concepto físico real, sino solo un artificio de dudosa utilidad, (en mi opinión, como solemos decir en catalán, “fa més nosa que servei”=”crea más conflictos que los que resuelve”)

Sobre este mismo tema hice hace poco otro comentario en otro hilo, es éste, por si le quieres echar un vistazo:

La masa varia con la velocidad

Y sobre todo, es muy interesante: ¿Crece la masa con la velocidad?

Saludos.

[DjangoDMaxwell]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Vale, he estado leyendo con intensidad todo esto sobre la masa, y me viene un poco grande. Dejadme estudiarlo y madurarlo con tiempo y si tengo alguna duda insalvable ya la preguntaré, no me queda otra por ahora.

Muchas gracias por la ayuda, un saludo y a cuidarse!

[Alriga]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Supongamos que podemos aplicar a un cuerpo inicialmente quieto, una fuerza F constante en módulo y dirección por tiempo indefinido. Hagamos el análisis clásico y el relativista.

1) Física newtoniana

$F=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d}{dt}(m \cdot v)=m \dfrac{dv}{dt}$

$dv=\dfrac F m dt$

De donde integrando se obtiene la expresión clásica del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. La fuerza constante F produce una aceleración constante $a=\dfrac F m$ que hace que la velocidad aumente proporcionalmente al tiempo:

$v =\dfrac F m \ t$ (Expresión newtoniana)

2) Relatividad especial

$F=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d}{dt}(m \cdot \gamma \cdot v)=m \dfrac{d\gamma}{dt}v+m \cdot \gamma \dfrac{dv}{dt}$

Ahora el desarrollo hasta integrar es un poquito más largo y no voy a hacerlo, porque acabo de descubrir que resulta que ya está hecho en esta propia web aquí:

¿Se puede viajar a la velocidad de la luz, o a una mayor?

La expresión resultante es:

$v =\dfrac{c \ F \ t}{\sqrt{m^2 c^2 + F^2 t^2}}$ (Expresión Relatividad Especial)

Si hacemos, para poder poner números F=1, m=1 y c=1 las dos expresiones quedan:

$v = t$ (Expresión newtoniana)

$v =\dfrac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$ (Expresión Relatividad Especial)

La tabla comparativa entre las predicciones de la mecánica newtoniana y de la Relatividad Especial es la siguiente:

t	velocidad newtoniana	velocidad real
0	0	0
0,2	0,20 c	0,20 c
0,4	0,40 c	0,37 c
0,6	0,60 c	0,51 c
0,8	0,80 c	0,62 c
1	1 c	0,71 c
2	2 c	0,89 c
5	5 c	0,98 c
10	10 c	0,995 c
50	50 c	0,9998 c
100	100 c	0,99995 c
500	500 c	0,999998 c
1.000	1.000 c	0,9999995 c
2.000	2.000 c	0,9999999 c
.....	.....	.....
infinito	infinita	c

Saludos.

[JCB]

Gracias Alriga. Es un ejemplo aclaratorio. Para los que no nos atrevemos a salir de nuestra zona de confort de la Mecánica Clásica, todavía, es un estímulo alentador.

[DjangoDMaxwell]

Re: Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

Vale madre mía, ya si que mas claro no se me puede dejar jajaj.

Pues me ha servido de mucho la verdad, muchas gracias por todo.

Un saludo.