Problema relatividad especial

[Sagitario A]

Enunciado del problema: Un tren tiene una longitud propia $L_0$, igual a la longitud propia de una estación. El tren va a una velocidad $v$ y cuando la parte frontal del tren entra en la estación, tanto el reloj de la parte frontal del tren como el reloj de la parte inicial y final de la estación del tren marcan .

Cuando la parte frontal del tren llega al final de la estación el conductor del tren ve que el reloj del final de la estación marca:

Resolución:
Se nos pide que, desde el sistema de referencia del tren (S), calculemos el $\Delta t$ que ha sufrido el reloj de la estación. En el sistema de referencia de la estación (S') el reloj ha pasado por un intervalo de tiempo $\Delta t'.$ Desde el sistema S vemos que este intervalo de tiempo $\Delta t'$ ha sufrido una dilatación temporal en un factor$\gamma$. Por tanto: $\Delta t= \Delta t' \cdot \gamma$.

Ahora, desde S, vemos que en $\Delta t'$ el reloj ha recorrido un cierto $\Delta x' = L_0/\gamma$. Entonces tenemos que $\Delta t'= L_0/\gamma v$. Sustituyendo en la ecuación anterior vemos que las gammas se nos anulan: $\Delta t= L_0/V$.

Por tanto el reloj del final de la estación marcaría (visto desde S) $L_0/v$.

¿Es mi razonamiento correcto? Tengo la sensación de que estoy mezclando conceptos y confundiendo sistemas de referencia.

[Richard R Richard]

Enunciado del problema: Un tren tiene una longitud propia $L_0$, igual a la longitud propia de una estación. El tren va a una velocidad $v$ y cuando la parte frontal del tren entra en la estación, tanto el reloj de la parte frontal del tren como el reloj de la parte inicial y final de la estación del tren marcan .

Cuando la parte frontal del tren llega al final de la estación el conductor del tren ve que el reloj del final de la estación marca:

Resolución:
Se nos pide que, desde el sistema de referencia del tren (S), calculemos el $\Delta t$ que ha sufrido el reloj de la estación. En el sistema de referencia de la estación (S') el reloj ha pasado por un intervalo de tiempo $\Delta t'.$ Desde el sistema S vemos que este intervalo de tiempo $\Delta t'$ ha sufrido una dilatación temporal en un factor$\gamma$.

Hasta aquí de acuerdo.

Por tanto: $\Delta t= \Delta t' \cdot \gamma$.

No, es allí donde aplicas mal el concepto, siempre los tiempos propios son más cortos que los tiempos que miden otros SR que se mueven a velocidad $v$

Por tanto: $\Delta t'= \Delta t \cdot \gamma$.

Ahora, desde S, vemos que en $\Delta t'$ el reloj ha recorrido un cierto $\Delta x' = L_0/\gamma$. Entonces tenemos que $\Delta t'= L_0/\gamma v$. Sustituyendo en la ecuación anterior vemos que las gammas se nos anulan: $\Delta t= L_0/V$.

Por tanto el reloj del final de la estación marcaría (visto desde S) $L_0/v$.

Allí arribas a lo correcto, observa lo obvio del enunciado, para un observador en reposo con la estación, cuando la trompa del tren toca el inicio de la estación $t=0$, la estación tiene longitud propia L y el tren viaja a velocidad v, luego el tiempo que tarda el tren en recorrer la estación es $\Delta t'=\dfrac Lv$.

De acuerdo? El tema es que te dicen para "engañarte" , que el que lee esa lectura es el conductor del tren que justamente comparte esa posición con el reloj del fin de la estación.Luego el conductor debe leer $\Delta t' =\dfrac {L}{v}$ pues es lo que indica ese reloj.

Aquí no te han preguntado lo que indica el reloj del tren cuando el este toca con la trompa el fin de la estación, que es $\Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\gamma}=\dfrac{L}{v\gamma}$ que así se evidencia siempre que el tiempo propio es menor $\Delta t<\Delta t'$ para un observador en el tren, porque para él la estación mide menos longitud, es decir la longitud de la estación está contraída en el factor gamma , $L'=\dfrac{L}{\gamma}$ y como viaja a velocidad $v$ el tiempo que tarda en cruzarla es $\Delta t=\dfrac{L'}{v}=\dfrac{L}{v\gamma}$ coincidiendo con lo ya dicho.

[Sagitario A]

No, es allí don aplicas mal el concepto, Siempre los tiempos propios son mas cortos que los tiempos que miden otros SR que se mueven a velocidad v

Por tanto: $\Delta t'= \Delta t \cdot \gamma$.

No lo entiendo. $\Delta t'$ es el tiempo propio de la estación. Entonces desde S (sistema del tren) el intervalo de tiempo es $\Delta t= \Delta t' \gamma$. Luego $\Delta t$ es mayor que $\Delta t'$. El tiempo propio de la estación es menor que medido desde el sistema del tren.

Allí arribas a lo correcto, observa lo obvio del enunciado, para un observador en reposo con la estación, cuando la trompa del tren toca el inicio de la estación t=0 , la estación tiene longitud propia L y el tren viaja a velocidad v, luego el tiempo que tarda el tren en recorrer la estación es $\Delta t'=\dfrac Lv$.

Sí, esto lo he entendido bien.

De acuerdo? El tema es que te dicen para engañarte , que el que lee esa lectura es el conductor del tren que justamente comparte esa posición con el reloj del fin de la estación.Luego el conductor debe leer $\Delta t' =\dfrac {L}{v}$ pues es lo que indica ese reloj.

Realmente sí que me han engañado. Pensaba que el conductor del tren vería un tiempo diferente al tiempo propio del tren.

Aquí no te han preguntado lo que indica el reloj del tren cuando el este toca con la trompa el fin de la estación, que es $\Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\gamma}=\dfrac{L}{v\gamma}$ que así se evidencia siempre que el tiempo propio es menor $\Delta t<\Delta t'$ para ul observador en el tren, porque porque para él la estación mide menos longitud, es decir la longitud de la estación esta contraída en el factor gamma , $L'=\dfrac{L}{\gamma}$ y como viaja a velocidad v el tiempo que tarda en cruzarla es $\Delta t=\dfrac{L'}{v}=\dfrac{L}{v\gamma}$ coincidiendo con lo ya dicho.

Sí me lo preguntan, pero lo estaba dejando para más adelante. Prefiero ir por partes.

[Richard R Richard]

No lo entiendo. $\Delta t'$ es el tiempo propio de la estación. Entonces desde S (sistema del tren) el intervalo de tiempo es $\Delta t= \Delta t' \gamma$. Luego $\Delta t$ es mayor que $\Delta t'$. El tiempo propio de la estación es menor que medido desde el sistema del tren.

No,para el mismo par de eventos, siempre desde el propio sistema de referencia se leerán separaciones temporales menores, que las que mide como propia otro sistema de referencia que se mueve a velocidad $v$

$\tau^2=t^2-\dfrac{s^2}{c^2}$ luego siempre $\tau <t$ (nota $s=vt$) entonces $\tau=\dfrac{t}{\gamma}$ los tiempos t son mayores es decir se dice que se dilatan.



Vamos por partes entonces...

(es decir medida en su propio sistema de referencia ) es $L=L_0$, su velocidad relativa con la estación es $-v$ para el conductor del tren ubicado en $x=0$, cuando hace contacto con el inicio de la estación el tiempo en su cronómetro es $t=0$

que compone el sistema de referencia S' (la estación), su longitud propia es $L'=L_0$, su velocidad relativa con el tren es $v$ para alguien e la cabecera ubicado en $x'=0$, cuando hace contacto con la rompa del tren en su cronometro es $t'=0$

Como vimos si el tren tiene velocidad $v$ el tiempo en que este llega al fin de la estación es $t' = t'_0 +\dfrac{L_0}{v}\quad\to\quad \Delta t' = \dfrac{L_0}{v}$

sabiendo que siempre las longitudes de objetos que se mueven a velocidad $v$ se contraen, la estación medida en S tiene $L_e=\dfrac{L'}{\gamma}$ pero ya vimos que $L'=L_0$ entonces $L_e=\dfrac{L'}{\gamma}<L_0$ y por lo tanto recorrer esa distancia con velocidad $v$ dará un tiempo (corregido) $\Delta t=\dfrac{L'}{v}<\dfrac{L_0}{v}$ que es lo tardaria el tren en recorrer una distancia $L_0$ en el sistema de referencia S

[Sagitario A]

sabiendo que siempre las longitudes de objetos que se mueven a velocidad $v$ se contraen, la estación medida en S tiene $L_e=\dfrac{L'}{\gamma}$ pero ya vimos que $L'=L_0$ entonces $L_e=\dfrac{L'}{\gamma}<L_0$ y por lo tanto recorrer esa distancia con velocidad $v$ dará un tiempo $\Delta t=\dfrac{L'}{\gamma}<\dfrac{L_0}{\gamma}$ que es lo tardaria el tren en recorrer una distancia $L_0$ en el sistema de referencia S

Creo que aquí has escrito mal (al menos dimensionalmente la ecuación está mal escrita). Creo que quisiste decir que:

el tren recorre esa distancia a una velocidad $v$ que dará un tiempo $\Delta t= \frac{L_e}{v}=\frac{L_0}{\gamma v}$

Vale, esta parte me ha quedado clara. Paso a poner la segunda parte del problema.

Enunciado: Cuando el tren abandona la estación, es decir la cola del tren se encuentra con el final de la estación, el reloj de la cola del tren marca:
a) $\frac{L_0}{c} \frac{\gamma^2 \beta}{\gamma + 1}$

b) $\frac{L_0}{c} \frac{\gamma \beta}{\gamma + 1}$

c) $\frac{L_0}{c} \frac{\gamma + 1}{\gamma \beta}$

d) $\frac{L_0}{c} \frac{\gamma^2 + 1}{\gamma \beta}$

Planteamiento del problema: Visto desde un observador que está en reposo respecto a la estación $\Delta t=\frac{ L_0 + \frac{L_0}{\gamma}}{v}= \frac{L_0(1 + \gamma)}{\gamma v}$. Y no sé continuar.

PD: Muchísimas gracias RRR, para mi está siendo una conversación muy productiva.

Edito: Me he dado cuenta de que ya lo tenía, pero expresado de otra manera xd. El tiempo es:
$\Delta t= \frac{L_0}{c} \frac{\gamma + 1}{\gamma \beta}$

[Richard R Richard]

Edito: Me he dado cuenta de que ya lo tenía, pero expresado de otra manera xd. El tiempo es:
$\Delta t= \frac{L_0}{c} \frac{\gamma + 1}{\gamma \beta}$

Corregí el desliz, y si es correcto haces el reemplazo con $v=c\beta$