Duda en Relatividad Especial: ¿cómo conviene definir los eventos para resolver los problemas?

[Quarendo]

Hola, tengo una duda un poco tonta pero con la que me estoy armando un pequeño lío. Es acerca de cómo conviene definir la tabla de eventos en problemas de Relatividad Especial para plantearlos. Pongo como ejemplo este problema:

Dos gemelos, uno en la Tierra (gemelo número 1) y otro en una nave espacial (gemelo número 2) que viaja a una velocidad relativista $v$, se reencuentran tras haber partido el gemelo número 2 de la Tierra y haber completado un viaje de ida y vuelta a velocidad constante. Si, al regreso, el gemelo número 1 es $n$ años mayor que el número 2, ¿cuál ha sido la distancia que ha recorrido este último, medida desde la Tierra? (Nota: despréciense los efectos de la aceleración necesaria para poner la nave rumbo de regreso).

Yo plantearía esta tabla, siendo $S$ el sistema de referencia inercial fijo en la Tierra y $S'$ el sistema de referencia inercial que se mueve con la nave:

	$S$	$S’$
$E_1$: el gemelo 2 parte de la Tierra	$(x_1,t_1)=(0,0)$	$(x_1,t_1)=(0,0)$
$E_2$: el gemelo 2 regresa a la Tierra	$(x_2,t_2)$	$(x’_2,t’_2)$

Pero, ¿qué entenderíamos aquí por las coordenadas $x$ y $x'$?

a. Las posiciones en las que se miden los eventos en los respectivos sistemas de referencia: $x_2=0$ (pues se considera que la nave ha regresado cuando su distancia respecto de la Tierra sea de nuevo 0) y $x'_2=0$ (lo mismo para $S'$)

b. La distancia recorrida por uno de los dos sistemas, medida en ambos sistemas. Por ejemplo, si medimos la distancia que recorre $S'$, entonces $x_2=L$ y $x'_2=0$ (pues $S'$ no percibe que la nave se haya desplazado).

c. Las distancias que cada observador percibe que ha recorrido el otro: $S$ observa que $S'$ se ha desplazado una distancia $x_2=L$, y $S'$ observa que $S$ se ha desplazado una distancia $x'_2=L'$

Espero que alguien pueda echarme una mano para poder aclarar esto, gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Busca "paradoja de los gemelos" con el buscador del foro, ya se explico un montón de veces en el foro .
Como principalmente la resolución de la paradoja se hace introduciendo la aceleración del gemelo viajero, que aquí te piden despreciar, la ruptura de la simetría temporal se basa en la gravitación terrestre. Básicamente en un sistema de referencia acelerado,el tiempo transcurre mas a prisa que uno con velocidad constante.
Tu me dirás pero la tierra esta inmóvil...pero pero el sistema de referencia al estar en la superficie terrestre es acelerado continuamente con aceleración g.

[Quarendo]

No tengo dudas con la resolución del problema en sí, sé que es muy típico y que está explicado en mil sitios. Mi duda está en cómo definir los $x_1, x_2, x'_1, x'_2$ en la tabla que he puesto, para resolver otros ejercicios de relatividad. El ejemplo lo he puesto tan solo para ilustrar la duda.

[Richard R Richard]

Supones dos sistemas de referencia sincronizados al partir. Así $(x,t)=(0,0)$ y (x',t')=(0,0)
si se mueven con velocidad relativa $v$
cada observador estará en reposo espacial y temporalmente respecto de su propio reloj.
La forma de traducir las lecturas de un sistema al otro es aplicando las transformaciones de Lorentz.
En el regreso también se usan las transformaciones de Lorentz, pero las lecturas temporales no coinciden debido a la ruptura de simetría si solo es uno el que decelera y regresa. Aun cuando el problema diga que esta situación es despreciable, los efectos gravitatorios de la Tierra respecto del observador no primado, hacen que su tiempo propio sea mayor para cualquier par de eventos que pueda medir el observador primado. Luego el gemelo en la tierra envejece mas rápido que el viajero.

[carroza]

Hola.

Yo creo que la forma más ilustrativa de plantear este problema es tener en cuenta tres sistemas de referencia inerciales (1, 2 y 3), y tres sucesos (AT, AB, BT)

El sistema de referencia 1 es el que está fijo en la tierra T.

El sistema de referencia 2 es el de una nave A que se mueve a una velocidad constante v (digamos que haciendo un recorrido que pasa primero por la tierra y luego por alfa centairi), y que está sincronizado con el sistema de referencia 1 en el instante en el que el la nave A pasa por la tierra.

El sistema de referencia 3 es el de una nave B que se mueve a una velocidad constante v', de signo puesto a v (digamos que haciendo un recorrido que pasa primero por alfa centauri y luego por la tierra), y que esta sincronicado con el sistema de referencia 2, en el instante en el que ambas naves (A y B) pasan por alfa centauri.

El suceso AT es el suceso correspondiente a que la nave A pase por la tierra. En este suceso, el gemelo viajero "salta" de la tierra a la nave A. A ese suceso, si quieres, puedes darle las coordenadas espaciales y temporales (0,0) en los sistemas de referencia 1 y 2 (No así con el sistema 3)

El suceso AB es cuando las naves A y B se cruzan en alfa centauri. En este suceso, el gemelo viajero "salta" de la nave A a la B. Ese suceso tiene las coordenadas (L, T= L/v) en el sistema 1 (L es la distancia a lafa centauri), y lo que te salga de aplicar las transformaciones de Lorentz en el sistema 2. El sistema 3 está sincronizado con el sistema 2 para el suceso AB, así que las coordenadas espaciales y temporales de AB en el sistema 3 son las mismas que las del sistema 2, llamemosle (L', T')

Ahora consideras el suceso BT, cuando la nave B llega a la tierra, y el gemelo viajero "salta" de la nave B a la tierra. Para el sistema 1, fijo en la tierra, ese suceso tiene las coordenadas (0, L/v-L/v'). Sin embargo, para el sistema 3, fijo en la nave B, estas coordenadas serán diferentes, y habrá que añadir a las coordenadas (L',T') del suceso AB, el desplazamiento y el tiempo empleados en ir de alfa centauri a la tierra, vistos desde el sistema 3.

A ver si te sale.

Un saludo