2o ciclo Transformación de la métrica de Minkowski

[Diracs antiparticle]

Buenas, estaba rehaciendo los cálculos de como se comporta la matriz de la métrica de minkovski bajo boosts de Lorentz y me he encontrado con alguna duda. He visto sin mucho problema que $ds^2$ es invariante bajo el boost de Lorentz (he usado las transformaciones hiperbolicas suponiendo una dimensión espacial para facilitarme la vida y q c=1), obteniendo que $ds^2=dt^2-dx^2 = d\bar{t}^2 - d\bar{x}^2$. Por tanto la matriz de la metrica después de un boost no debe cambiar, seguirá siendo $\eta = diag(1,-1,-1,-1)$. Pero al aplicar la formula que expresa como varia dicha matriz bajo cambios de coordenadas,

$g_{\mu \nu} = \eta_\alpha\beta \frac{\partial x^\alpha}{\partial \bar{x}^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial \bar{x}^\nu}$

Me da que no es la misma, sino que está multiplicada por un escalar. Me gustaria saber si el fallo es procedural o conceptual.
Gracias!