Divulgación La gravedad: física o geometría

[alexpglez]

Hola, querría preguntar aquí, ¿qué es la gravedad?
En una de las demostraciones que he visto, se deducen variando el escalar de Ricci y ver que salen las ecuaciones de Einstein.
En la demostración por parte de Einstein (que sólo he leído divulgativamente), usa el argumento de la conservación de la energía.

Mi duda es, a partir de los postulados de la relatividad especial: la constancia de la velocidad de la luz para todo observador y un espacio-tiempo de 3+1. ¿No se podría deducir de aquí las ecuaciones de campos de Einstein? ¿Qué otros postulados hacen falta para deducirlas?

Ya que, según pienso, la energía y el tensor de energía-impulso, es un elemento puramente matemático (otra cuestión es el significado físico), la curvatura es otro ente matemático, no encuentro el elemento físico (a parte del postulado citado anteriormente).

Gracias, saludos.

[Richard R Richard]

Re: La gravedad: física o geometría

Hagamos una analogía la relatividad especial es a la primera ley de newton, lo que la relatividad general es a la segunda ley de Newton.
La primera te dice que un objeto con cambiar su estado de movimiento, si no actúan fuerzas, en RE el estado de movimiento también permanece inalterable si no hay fuerzas.

Supongamos la segunda ley e impongamos la presencia de un objeto masivo como origen de la fuerza de gravedad como en la mecánica clásica , la compración con la RG dice que esa concentración de energía-momento debida a la conversión de la masa del objeto masivo en energía $E=mc^2$ curva el espacio tiempo y por ello todas las partículas de prueba en caída libre siguen una trayectoria geodésica de ese espacio tiempo.
En ausencia de velocidad relativa entre partícuala de prueba y la masa, la geodesica tiene dirección hacia la masa, así se observa una aceleración de la partícula de prueba, que seguimos denominando gravedad, cuando en realidad es el efecto que provoca el espacio curvo.

No se si puedo ser mas claro , pues la primera vez que retransmito el concepto que he aprendido en este mismo foro, te lo reescribo en otras palabras....

Presumo que no te hacen falta postulados, te hace falta la presencia de energía en cualquiera de sus formas para que curve el espacio tiempo,

Una masa de prueba que en el espacio tiempo 3+1 de RE es liberada conservará su estado de movimiento, en una geodésica recta, de lo cual extraemos conclusiones ya sabidas de dilatación temporal y contracción de longitudes para dos observadores en movimiento relativo entre sí, presumo que ya lo sabes, pero al liberar la misma masa a la misma velocidad en el espacio 3+1 curvo, caerá libremente siguiendo una geodésica de la métrica del espacio ( por ejemplo la de Schwarzschild para un tensor energía momento simétrico y la masa ubicada en el vacío).
La deducción de como se llega a esa métrica a partir de las ecuaciones de campo , la tengo en mi blog

Aplicado la definición matemática de geodésica, llegas a tener una magnitud comparable a la aceleración que será la "gravedad" proveniente por energía del cuerpo masivo que curva el espacio.

[guibix]

Re: La gravedad: física o geometría

Buenas alex!

Mi duda es, a partir de los postulados de la relatividad especial: la constancia de la velocidad de la luz para todo observador y un espacio-tiempo de 3+1. ¿No se podría deducir de aquí las ecuaciones de campos de Einstein? ¿Qué otros postulados hacen falta para deducirlas?

A parte de que te has olvidado del principio de relatividad (Las leyes físicas son las mismas para todo SRI), el postulado clave para poder entender la TRG y que no entra en la TRE es el principio de equivalencia: Todo sistema puntual en caída libre en un campo gravitatorio cumple con la TRE de manera local.

Esto obliga a tratar el tema de la curvatura, y de eso la TRE no dice nada. Sí que se puede crear sistemas de referencia acelerados para la TRE pero esto no es suficiente debido a la simetría esférica de la gravedad.

Es exactamente lo mismo que intentar solucionar un movimiento libre entre curvas de un coche a velocidad (en módulo) constante: mientras el terreno sea plano puedes usar la métrica euclidiana, pero si el terreno es ondulado, se tiene que introducir sí o sí la geometría diferencial de superficies (por supuesto me refiero a que el movimiento está restringido a la superficie y sin gravedad).

Ya que, según pienso, la energía y el tensor de energía-impulso, es un elemento puramente matemático (otra cuestión es el significado físico), la curvatura es otro ente matemático, no encuentro el elemento físico (a parte del postulado citado anteriormente).

Los tensores son elementos matemáticos abstractos del mismo modo que lo son los vectores, escalares, etc. Por ejemplo, en el tensor de energía-momento de un rayo de luz, está toda la información de dicho rayo, además, indica que su el momento lineal es proporcional y en la dirección del flujo de energía, y aunque parezca una tontería, no lo es, porqué se describe la energía, el momento y la polarización en una sola magnitud tensorial. En el tensor de curvatura se describe cómo se miden las distancias espacio-temporales entre puntos en cada región, y eso, creo que es un elemento muy físico.


Espero haberte podido ayudar.

Saludos!

[Julián]

Re: La gravedad: física o geometría

Los tensores son elementos matemáticos abstractos del mismo modo que lo son los vectores, escalares, etc. Por ejemplo, en el tensor de energía-momento de un rayo de luz, está toda la información de dicho rayo, además, indica que su el momento lineal es proporcional y en la dirección del flujo de energía, y aunque parezca una tontería, no lo es, porqué se describe la energía, el momento y la polarización en una sola magnitud tensorial. En el tensor de curvatura se describe cómo se miden las distancias espacio-temporales entre puntos en cada región, y eso, creo que es un elemento muy físico.

Antes de hacer un pregunta me gustaría dar la aclaración que lo que define las distancias en el espacio de minkowsky es la métrica, es decir, la matriz con diagonal (-1,1,1,1). De acá tenemos que ${ds}^{2} = {\nu}_{u v} {x}^{u}{x}^{v}$, luego podemos seguir con la velocidad, aceleración, etc. Y yo anteriormente me pregunta ¿por qué es necesaria la métrica si en el espacio euclidio solo es necesario el producto escalar? Pues en el espacio euclidio la métrica tiene como diagonal (1,1,1), es decir, en sí no es necesaria pero si en variedades diferentes para poder encuadrar los resueltados.
La cuestión es que el tensor energia momento modifica la métrica y por lo tanto cambia la lóngitud, etc.

Yo por mi parte ando ocupado con la universidad y este es mi último año de cursado y no puedo empaparme más del tema sobre relatividad general por el momento como leer un libro entero de relatividad (más que nada es por curiosidad) pero me interesaría ver que algún forero haga el desarrollo de la ecuación de Einstein, haciendo incapié en cada paso. Por ejemplo la resolución para una distribución de energía-momento en particular, como la métrica de Schwarzschild[FONT=sans-serif] pero explicada o si es posible una resolución más simple todabía para otra distribución de energía-momento. Quizás un chorro de partículas tiene una solución más simple, no lo sé. O quizás un caso hipotético de un chorro de extensión infinita de partículas con momento p den una solución simple. [/FONT]

[alexpglez]

Re: La gravedad: física o geometría

Cierto es que debo ver algún enlace de la deducción histórica de Einstein.
Quizá debería modificar mi pregunta, ¿en todo universo matemático (es decir, que no se tienen por qué cumplir las leyes de la mecánica cuántica o del electromagnetismo) existe la gravedad (tal que existan unas ecuaciones de Einstein para ese universo)?

- - - Actualizado - - -

Y esto me lleva a otra pregunta interesante.
¿Es la constante de proporcionalidad entre el tensor de Einstein y el tensor métrico, una constante matemática (como $\pi$ ó $e$), que sólo depende de un cierto valor arbitrario referido a las unidades en las que se toman las medidas?

[Richard R Richard]

Re: La gravedad: física o geometría

Antes de hacer un pregunta me gustaría dar la aclaración que lo que define las distancias en el espacio de Minkowsky es la métrica, es decir, la matriz con diagonal (-1,1,1,1). De acá tenemos que ${ds}^{2} = {\nu}_{u v} {x}^{u}{x}^{v}$, luego podemos seguir con la velocidad, aceleración, etc. Y yo anteriormente me pregunta ¿por qué es necesaria la métrica si en el espacio euclideo solo es necesario el producto escalar?

porque en geometría diferencial en espacios curvos (riemmanianos) el producto escalar se define

$\bar V \cdot\vec W= V_{\mu}W^{\mu}=<br /> g_{\mu \nu} V^{\mu}W^{\mu}<br />$

en el espacio euclidiano $g_{\mu \nu}$ es la matriz cuya diagonal son valores unitarios o igual a la matriz identidad, se obvia ese paso de multiplicar por la matriz identidad que no varia el resultado.

Pero como el espacio de Minkowski la matriz diagonal $g_{\mu \nu}$ tiene el valor que representa a la tiempo tiene el signo inverso que las que representan espacio, el producto escalar se define de manera distinta.

La cuestión es que el tensor energía momento modifica la métrica y por lo tanto cambia la longitud, etc.

La distancia que tal cual sucede en RE depende del observador, la distancia medida, varia en función de la posición del observador con respecto al objeto que curva el espacio tiempo. Luego con las transformaciones de los sistemas de coordenadas usando la métrica se puede concluir que dos observadores en distinta posición deben concluir en la misma medición del espacio-tiempo, lo que en RE se hacia mediante las transformaciones de Lorentz.

Yo por mi parte ando ocupado con la universidad y este es mi último año de cursado y no puedo empaparme más del tema sobre relatividad general por el momento como leer un libro entero de relatividad (más que nada es por curiosidad) pero me interesaría ver que algún forero haga el desarrollo de la ecuación de Einstein, haciendo incapié en cada paso. Por ejemplo la resolución para una distribución de energía-momento en particular, como la métrica de Schwarzschild[FONT=sans-serif] pero explicada o si es posible una resolución más simple todabía para otra distribución de energía-momento. Quizás un chorro de partículas tiene una solución más simple, no lo sé. O quizás un caso hipotético de un chorro de extensión infinita de partículas con momento p den una solución simple. [/FONT]

yo no he encontrado ejemplo mas fácil, todo te lleva el cálculo de las matrices inversa de la métrica, el caulculo de las 64 derivadas parciales de la metrica , el calculo de los 64 símbolos de Christoffel, luego las 16 componentes del tensor de Einstein y las 16 del de Ricci y el calclulo del escalar de Ricci, con los mismos datos que vienes calculando llegas a la ecuación de la geodésica aplicando

$\dfrac{d^2 x^\mu}{dt^2} + \sum_{\sigma,\nu}<br /> \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \dfrac{dx^\sigma}{dt}\dfrac{dx^\nu}{dt} = 0$

para cualquier espacio

yo probe una vez con la métrica de Schwarzschild que es solución exacta de las ecuaciones de Einstein y no es nada fácil ya lo creo

$\dd s^2=-c^2(1-\dfrac {2GM}{c^2r}) \dd t^2+\dfrac 1{1-\dfrac {2GM}{c^2r}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2<br />$

Cierto es que debo ver algún enlace de la deducción histórica de Einstein.
Quizá debería modificar mi pregunta, ¿en todo universo matemático (es decir, que no se tienen por qué cumplir las leyes de la mecánica cuántica o del electromagnetismo) existe la gravedad (tal que existan unas ecuaciones de Einstein para ese universo)?

Interpreto que preguntas si es valida la ecuación de Einstein para cualquier espacio riemmaniano y la respuesta es si.

La ecuación del tensor Einstein

$G_{uv}=T_{uv}+\dfrac 12 g_{uv}G$

que deriva en las ecuaciones de campo es única, pero si la métrica del espacio cambia, cambia todo el comportamiento de lo que este inmerso en ese espacio tiempo.

¿Es la constante de proporcionalidad entre el tensor de Einstein y el tensor métrico, una constante matemática (como $\pi$ ó $e$), que sólo depende de un cierto valor arbitrario referido a las unidades en las que se toman las medidas?

El caso de $\pi$ tiene el valor de 3.141526....en el espacio euclídeo pero no será es mismo valor para cualquier espacio curvo, ese valor sera constante en ese espacio, como lo es $\pi$ en el euclídeo, no dependerá de ninguna unidad y si dependerá de la geometría del espacio.

Así que lo que preguntas sobre la proporcionalidad entre los tensores métrico y el de Einstein, esta dada por el tensor de Ricci , que cambia de valor para cada métrica. Es decir la fórmula de Einstein que relaciona la geometría del espacio con su contenido de energía, es la misma para todos los espacios. El valor de las componentes de los tensores varia dependiendo de la métrica de cada espacio-tiempo que consideres,o sea de como esta distribuida la energía(masa) en el espacio-tiempo.

[Alriga]

Re: La gravedad: física o geometría

¿Es la constante de proporcionalidad entre el tensor de Einstein y el tensor métrico, una constante matemática (como $\pi$ ó $e$), que sólo depende de un cierto valor arbitrario referido a las unidades en las que se toman las medidas?

En la relación entre el Tensor de Curvatura de Einstein y el Tensor Energía-Momento aparecen 2 constantes universales no matemáticas:

$\dst G_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$

G la Constante de Gravitación Universal de Newton

c la Velocidad de la Luz en el vacío

Pero como en el detalle el Tensor de Curvatura es:

$\dst G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over 2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}$

Ahí aparece una 3ª constante universal:

$\boldsymbol{\Lambda}$ la Constante Cosmológica

La expresión desarrollada de la Ecuación de Campo es:

$\dst R_{\mu\nu} - {1\over 2}R g_{\mu\nu} + \boldsymbol{\Lambda} g_{\mu\nu} = {8 \pi \boldsymbol{G} \over \boldsymbol{c}^4} T_{\mu\nu}$

En la que se ven las 3 constantes no matemáticas que aparecen.

Saludos.

[Julián]

Re: La gravedad: física o geometría

porque en geometría diferencial en espacios curvos (riemmanianos) el producto escalar se define



en el espacio euclidiano es la matriz cuya diagonal son valores unitarios o igual a la matriz identidad, se obvia ese paso de multiplicar por la matriz identidad que no varia el resultado.

Pero como el espacio de Minkowski la matriz diagonal tiene el valor que representa a la tiempo tiene el signo inverso que las que representan espacio, el producto escalar se define de manera distinta.

Si eso lo aclaré después.

La distancia que tal cual sucede en RE depende del observador, la distancia medida, varia en función de la posición del observador con respecto al objeto que curva el espacio tiempo. Luego con las transformaciones de los sistemas de coordenadas usando la métrica se puede concluir que dos observadores en distinta posición deben concluir en la misma medición del espacio-tiempo, lo que en RE se hacia mediante las transformaciones de Lorentz.

Pues en RE la distancia espacial o temporal dependen del observador pero la distancia del evento $s$ o $ds$ tiene modulo contante para todos los observadores, pudiendo variar tanto la parte temporal o espacial pero el evento en el espacio tiempo es constante para todos.

yo no he encontrado ejemplo mas fácil, todo te lleva el cálculo de las matrices inversa de la métrica, el caulculo de las 64 derivadas parciales de la metrica , el calculo de los 64 símbolos de Christoffel, luego las 16 componentes del tensor de Einstein y las 16 del de Ricci y el calclulo del escalar de Ricci, con los mismos datos que vienes calculando llegas a la ecuación de la geodésica aplicando

Estoy seguro que sea posible encontrar una resolución más simple, salvo que quizás esa configuración de energía momento no se de. Por ejemplo el "polvo", considerando un cilindro de largo infinito pero de sección de área finita pero grande por ejemplo 1000 Km cuadrados donde existe un chorro de partículas muy denso y con gran momento. Supongo que la solución es más simple a la vista ya que se podría utilizar coordenadas cilíndricas en vez de esféricas dando como resultado curvas de nivel. O quizás una configuración que se pueda trabajar en coordenadas cartesianas. Quizás un cubo.

Aquí hay una buena explicación de como formular el tensor energía momento, http://teoria-de-la-relatividad.blog...a-tension.html

al parecer el tensor energía momento para un flujo de partículas, viendolas desde una posición en reposo, moviéndose en la dirección $\hat{x}$ tiene la siguiente forma:

$\dst \begin{bmatrix}{\rho}&{0}&{0}\\{0}&{p}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}$

Abría que seguir a partir de acá. Lamentablemente no conozco ningún simulador para la relatividad general, de manera de probar configuraciones y corroborar los cálculos. En cualquier otra área (electricidad, electrónica, mecánica), es fácil, la practica de los fenómenos por los simuladores que aplican los modelos matemáticos para la resolución.

Quizá debería modificar mi pregunta, ¿en todo universo matemático (es decir, que no se tienen por qué cumplir las leyes de la mecánica cuántica o del electromagnetismo) existe la gravedad (tal que existan unas ecuaciones de Einstein para ese universo)?

Es dificil pensar un universo sin energía. Considerando que por mecánica cuántica te refieres a todas las interacciones que se dan y cuya resolución se obtienen de aplicar el hamiltoniano (o langrangiano), sin energía potencial o cinética es complicado.