2o ciclo ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

[Tango Alfa]

Supongamos un acelerador de partículas lineal de longitud suficiente para realizar este experimento. Me gustaría saber cómo se calcula la velocidad que adquiere una partícula, por ejemplo un protón, al cabo de 3 segundos, suponiendo que el protón empieza en reposo absoluto. El acelerador tiene una potencia de empuje de 360 watios, o dicho de otra forma el acelerador suministra una energía de empuje de 360 julios cada segundo. Pongo el supuesto de un acelerador lineal para que no existan pérdidas de energía como las que aparecen en un sincrotón. En este experimento, toda la potencia es empleada en acelerar el protón, sin pérdidas de energía. Los cálculos deben hacerse con las fórmulas relativistas, es decir, considerando el aparente aumento de masa del protón debida a la velocidad que va adquiriendo. He intentado resolver este problema pero soy incapaz de manejar correctamente las fórmulas relativistas . Agradecería mucho cualquier ayuda. Considero este problema necesario para entender correctamente toda la teoría especial de la relatividad. Resumen de datos para encontrar la velocidad al cabo de 3 segundos: Potencia del acelerador lineal: 360 Watios (360 Julios cada segundo). Masa del protón: 1,67 x 10 elevado a -27 kg. Tiempo trancurrido hasta alcanzar la velocidad que deseamos saber: 3 segundos. En el segundo cero el protón está en reposo absoluto. Deben tenerse presentes los efectos relativistas.

[arivasm]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Suponiendo una potencia $P$ constante, el trabajo resultante realizado sobre el protón, $Pt$ será igual a la variación de su energía cinética. Como inicialmente es nula, el valor final de la misma será $\dst \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2=Pt$. Sólo queda despejar la velocidad.

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Acabo de hacer los números y la potencia que pones es una verdadera animalada si se aplica a un solo protón! Estás seguro que los datos son esos (¿no se aplicará a un bunch de protones?) Ten en cuenta que 1080 J son $\notcien{6,7}{21}\,{\rm eV}$ que es una barbaridad en comparación con la energía en reposo de un solo protón, de 938 MeV

[Tango Alfa]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Hola Arivasm,
Gracias por interesarte en mi pregunta.
He puesto un ejemplo, y la potencia es correcta aunque sea una animalada. Me gustaría que, si puedes ayudarme, me des el valor que resulta con los datos de partida que pongo en la pregunta. Despejar la velocidad de tu fórmula no es sencillo para mí, mis matemáticas son limitadas aunque mis conocimientos sobre física no lo sean tanto.
Te agradezco toda la ayuda que puedas prestarme.
Yo tengo una formulación propia para obtener la velocidad con esos datos de partida, pero mi formulación es clásica, no relativista. Aunque soy consciente de que seguramente estaré equivocado, me gustaría ver las diferencias entre los resultados relativistas y los míos.

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Otra cosa. en la fórmula que me das no aparece el tiempo. Entiendo que debería aparecer ya que cuanto más tiempo esté el protón recibiendo el empuje, mayor será la velocidad que alcance, no?
En mi problema ejemplo yo considero que transcurren 3 segundos. Me interesa saber la velocidad que alcanza el protón cuando han transcurrido justo 3 segundos.
Un saludo.

[arivasm]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Despejar la velocidad de tu fórmula no es sencillo para mí, mis matemáticas son limitadas aunque mis conocimientos sobre física no lo sean tanto.

No me puedo creer que estés estudiando relatividad especial y que no seas capaz de despejar $v$ en esa fórmula!

Recuerda que una regla del foro es ayudar a aprender, no quitarle el trabajo a la gente!

Yo tengo una formulación propia para obtener la velocidad con esos datos de partida, pero mi formulación es clásica, no relativista.

La clásica sería muy obvia: $Pt=\frac{1}{2}mv^2$

Aunque soy consciente de que seguramente estaré equivocado, me gustaría ver las diferencias entre los resultados relativistas y los míos.

Salta a la vista que no tienen nada que ver el uno con el otro! (debido al enorme valor de la potencia, $P$)

en la fórmula que me das no aparece el tiempo.

Claro que sí: es la $t$

En mi problema ejemplo yo considero que transcurren 3 segundos. Me interesa saber la velocidad que alcanza el protón cuando han transcurrido justo 3 segundos.

Como la potencia es tan sumamente gigantesca es prácticamente igual a la velocidad de la luz, de la que se diferencia sólo en una cantidad que es unas $10^{26}$ veces más pequeña que la velocidad de la luz!, es decir, el resultado es igual al 99,999999999999999999999998% de $c$.

Insisto: ¿de dónde has sacado esos datos? ¿los has inventado tú?

[Tango Alfa]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

No es mi intención quitarme trabajo, perdón si así lo parece.
Los datos los he inventado yo porque en mis cálculos he trabajado suponiendo la masa del protón igual a 10 kg y la velocidad de la luz igual a 12 m/s. Quizás debería haber explicado esto desde el principio o haber rehecho mis cálculos con el valor real de la velocidad de la luz.
De todas formas gracias por aclarar que el tiempo es la "t", perdón también por no haberlo apreciado antes.
Despejaré "v" de tu fórmula y resolveré la fórmula con mis datos imaginarios de la masa y velocidad.
Gracias por la ayuda.

[arivasm]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

OK. Para que verifiques tu resultado: $\dst v=c\sqrt{1-\left(\frac{mc^2}{mc^2+Pt}\right)^2}$. Si, como en tu caso $Pt$ es muchísimo mayor que $mc^2$ conviene usar un desarrollo de Taylor de orden 1 y entonces $\dst v\approx c\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{mc^2}{Pt}\right)^2\right]$

[Tango Alfa]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Muchas gracias por el despeje y por toda la información!. Ha sido de gran ayuda.

[carroza]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Hola.

Un apunte: Es técnicamente imposible hacer un acelerador lineal que transmita toda su energía a un sólo protón. De hecho, la mayor parte de la energía de los aceleradores lineales se emplea en generar el campo eléctrico que acelera los protones, si estos están en el punto adecuado, en el instante adecuado.

Pero bueno. Si aceptamos el enunciado del problema, es facil calcular que la velocidad del protón, con una precision muy alta, será c (el factor gamma, que es E/mc^2, es un numero altisimo).

En ese caso, la longitud del acelerador, debe ser igual al producto de la velocidad de la luz por tres segundos, o sea, 900000 km. O sea, que ese acelerador lineal es 700 veces mas largo que el diametro de la tierra.

Saludos

[DDD]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Si aceptamos el enunciado del problema, es facil calcular que la velocidad del protón, con una precision muy alta, será c

[FONT=Verdana]Un protón tiene masa, de modo que, si la relatividad de Einstein es correcta, un protón no podría alcanzar la velocidad de la luz en el vacío (el valor c) y, por supuesto, tampoco podría superarla.[/FONT]

[FONT=Verdana]En el libro "Sobre la teoría de la relatividad especial y general", primera parte, epígrafe 11 (titulado "La transformación de Lorentz"), Albert Einstein escribió lo siguiente:
"De aquí inferimos que en la teoría de la relatividad la velocidad c desempeña el papel de una velocidad límite que no puede alcanzar ni sobrepasar ningún cuerpo real. Añadamos que este papel de la velocidad c como velocidad límite se sigue de las propias ecuaciones de la transformación de Lorentz".[/FONT]

[FONT=Verdana]Una partícula con masa como un protón obviamente es un "cuerpo real". En el caso del fotón, esta partícula sí que se desplaza a la velocidad de la luz, pero no se puede considerar estrictamente un "cuerpo" si no tiene masa.[/FONT]

[FONT=Verdana]Por ello sería más consistente con la relatividad que la velocidad alcanzada por el protón fuese igual al 99,999999999999999999999998% de [/FONT][FONT=Verdana]c (como ha dicho arivasm en el post 4)[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]

[FONT=Verdana]Un saludo.[/FONT]

[Alriga]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

DDD, hay que leer hasta el final, lo que dice carroza es:

... Si aceptamos el enunciado del problema, es fácil calcular que la velocidad del protón, con una precisión muy alta, será c (el factor gamma, que es E/mc^2, es un numero altísimo)...

En ningún momento dice que la velocidad del protón sea c o superior. Tal vez no lo haya expresado muy bien, pero cuando dice "con una precisión muy alta" se está refiriendo a que a la velocidad del protón le falta poquísimo para ser c, y lo explicita diciendo que el factor gamma es muy alto, (pero no dice que sea infinito como debería ser para que v fuese c)

Lo importante del mensaje de carroza es que "es técnicamente imposible hacer un acelerador lineal que transmita toda su energía a un sólo protón" y que aunque fuese posible "se necesitaría un acelerador lineal más largo de 2.3 veces la distancia de la Tierra a la Luna"

Saludos.

[DDD]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Hola, Alriga

Es posible que el post de Carroza no esté muy bien redactado y donde escribió "con una precisión muy alta" quisiera decir "con una aproximación muy alta" (al valor c). De todos modos, yo creo que sería mejor que el mensaje lo aclarase el propio Carroza ...

Y ya que dices lo de "leer hasta el final", ahora he observado que en el último párrafo de ese mismo post hay otro error:

En este caso, la longitud del acelerador, debe ser igual al producto de la velocidad de la luz por tres segundos, o sea, 900000 km. O sea, que ese acelerador lineal es 700 veces mas largo que el diametro de la tierra.

Si el protón parte del reposo para alcanzar la máxima velocidad posible ("casi c") después de 3 segundos, tal como se planteó inicialmente el problema, entonces la longitud del acelerador de partículas tendrá que ser menor de 900000 kms, ya que al tener una velocidad media menor, el protón recorrerá menos distancia en esos 3 segundos.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Pues ahora que me fijo bien, este carroza está hecho un desastre , también dice que en 3 segundos la luz recorre 900.000 km,...
... cuando en realidad solo recorre 899.377,374 km

[arivasm]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Me temo que has vuelto a escribir sin pensar demasiado, amigo/a DDD: el trabajo aplicado sobre el protón del enunciado, $Pt$, será igual a su energía en reposo, $mc^2$ en un tiempo de tan sólo $\notcien{4}{-19}{\rm s}$. Dicho de otra manera, en un tiempo absolutamente minúsculo la velocidad del protón del enunciado será muuuuy próxima a c. Por tanto, la estimación de carroza es totalmente correcta. Ten en cuenta, además, que su intención no era soltar cifras y cifras (como ha subrayado de un modo humorístico Alriga) sino dar a entender que los datos que ha inventado nuestro amigo autor de este hilo claramente están muy alejados de nada real, como por otra parte ya le señalé al principio (sin considerar los aspectos señalados por carroza, que vuelven aún más irrealizable el acelerador del enunciado).

[guibix]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

Pues ahora que me fijo, este carroza está hecho un desastre, también dice que en 3 segundos la luz recorre 900.000 km, cuando en realidad solo recorre 899.377,374 km

Sí, y teniendo en cuenta que por la aceleración que lleva el protón, desde el inicio del recorrido ya iría a casi c. O sea que quizás el protón recorra algunos metros menos que la luz.

Para el compañero DDD, solo decir que es habitual aproximar c como 300.000 km/s y por lo tanto es normal aproximar 3 s/luz como 900.000km. Si hablamos de un objeto que solo arrancar ya se pone a "casi c" y que llega aún más a "casi c" en tres segundos por un orden de 24 cifras significativas, entonces decir que el acelerador necesita 900.000 km es una aproximacióm más que satisfactoria. Incluso diría que es mejor decir 900.000 km que decir 899.377,374 km. Pues lo que interesa aquí es el orden de magnitud, no el número exacto, y para ello es mejor usar números redondos. Esto también significa que para cualquiera que tenga un mínimo vagaje, cuando se usan números redondos, todo el mundo sabe de que es una aproximación. Pues casi nunca salen números redondos cuando se calcula el valor exacto de algo.

Saludos.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se calcula la velocidad de un protón, que es acelerado en un acelerador de partículas?

... la longitud del acelerador, debe ser igual al producto de la velocidad de la luz por tres segundos, o sea, 900000 km. O sea, que ese acelerador lineal es 700 veces mas largo que el diámetro de la tierra ...

Ja, ja,... pues resulta que, del único gazapo real del post de carroza: que 900.000 km no son 700 veces el diámetro de la Tierra sino 70 veces, ninguno nos habíamos dado cuenta hasta ahora.
Saludos.