muones llegando a la tierra

[China]

Hola, no se por donde coger este problema... alguna ayuda?

El muon (µ+) es una parzcula pesada, de masa en reposo mo = 105,7 MeV/c2, inestable, que se desintegra según: µ+ → e+ + νe + ν¯µ La vida media del muon es de 2,2×10−6 s, medida en el sistema de referencia del propio muon. Los muones se producen a una altura sobre la superficie terrestre de 15 km. Siguiendo los cálculos de la mecánica clásica no llegarían a la superficie terrestre porque el Rempo que les llevaría es superior a su vida media. Sin embargo, es conocido que un elevado número de ellos alcanzan la superficie terrestre, hecho que es coherente con la teoría de la relaRvidad especial. a. Calcule, aplicando las transformaciones de Lorentz de la teoría de la relaRvidad especial, la velocidad mínima a la que deben viajar los muones para alcanzar la superficie terrestre. ¿A qué energía, en eV, equivale dicha velocidad? b. Uno de los mecanismos de producción de muones es la desintegración del pion en un muon y un neutrino: π+ → µ+ + νµ En el sistema de referencia del laboratorio el pion se encuentra en reposo y el momento lineal del muon es 29, 8 MeV/c. Asumiendo que la masa del neutrino es cero, calcule la masa del pion en MeV/c2.

[Alofre]

Hola! Te ayudo a plantear el primer apartado. Como supongo que sabrás, por las consecuencias de los postulados de la Teoría de la Relatividad Especial, si en un sistema de referencia propio (i.e. comóvil al observador) mides un tiempo $\Delta t_p$ entonces dicho tiempo será $\Delta t = \gamma \Delta t_p$ en otro SRI. En este caso el sistema de referencia propio es el del muón, para el cual su aparición y desintegración ocurren en el mismo punto y $t_p = 2.2 \cdot 10^{-6} ~s$. Así,
$t = (1-(v/c)^2)^{-1/2} \cdot t_p$. La velocidad mínima será aquella tal que $v=h/t$ donde $h=15 ~km$. A mí me salen $2, 99710020981 \cdot 10^8 ~m/s$, esto es, casi la velocidad de la luz.

[luisdlr]

Buenos días,

Disculpad que reflote este tema. Estoy tratado de hacer el mismo ejercicio, y el apartado a) lo he resuelto y me da mismo resultado que al compañero.

Quería pedir ayuda para resolver el apartado b):

Uno de los mecanismos de producción de muones es la desintegración del pion en un muon y un neutrino: π+ → µ+ + νµ En el sistema de referencia del laboratorio el pion se encuentra en reposo y el momento lineal del muon es 29, 8 MeV/c. Asumiendo que la masa del neutrino es cero, calcule la masa del pion en MeV/c2.

Lo que he planteado es conservación de la energía: energía del pion debe ser igual a la del muon y su neutrino, y luego por conservacion del momento, como el pion está en reposo, el momento del muon y del neutrino deben ser iguales en módulo.

Y ahí ya me he atascado. Quizás del momento del neutrino debería ser cero, porque nos dicen que su masa es cero.

Creo que debo sacar la energía del pion, para dividirlo por c² y sacar la masa. Pero no sé cómo sacar dicha energía, no obtengo un resultado coherente.

Muchas gracias de antemano,

Saludos cordiales

[guibix]

Buenas,

Lo que he planteado es conservación de la energía: energía del pion debe ser igual a la del muon y su neutrino, y luego por conservación del momento, como el pion está en reposo, el momento del muon y del neutrino deben ser iguales en módulo.

Y ahí ya me he atascado. Quizás del momento del neutrino debería ser cero, porque nos dicen que su masa es cero.

Si tratamos la masa del neutrino como cero, entonces debe tratarse como si fuera un fotón. Su relación energía momento es la misma que la del fotón:

$$E=pc$$

Por la conservación del momento lineal puedes obtener el momento del neutrino. Con él obtienes la energía del neutrino que sumada a la energía total del muon nos da la energía en reposo del pion. Su masa se obtiene dividiendo por $c^2$

$$m_\pi=m_\mu(1-v_\mu^2/c^2)^{1/2}+\frac {p_n}{c}$$

$m_\pi$ masa pion,
$m_\mu$ masa muon,
$v_\mu$ velocidad del muon,
$p_n$ momento neutrino.


Saludos

[Alriga]

...El muon (µ+) es una partícula pesada, de masa en reposo $m_{\mu} = 105,7 \ MeV/c^2$ ...

apartado b):

Uno de los mecanismos de producción de muones es la desintegración del pion en un muon y un neutrino: π+ → µ+ + νµ En el sistema de referencia del laboratorio el pion se encuentra en reposo y el momento lineal del muon es $p_{\mu}=29, 8 \ MeV/c$. Asumiendo que la masa del neutrino es cero, calcule la masa del pion $m_{\pi}$ en $MeV/c^2$....

Inicial

Energía:

$$E_i=m_{\pi} c^2$$

Momento lineal

$p_i=0$

Final

Energía del muon:

$E_{\mu}=\sqrt{(m_{\mu} c^2)^2+(p_{\mu} c)^2}$

Energía del neutrino, como éste (según el enunciado) es de masa despreciable:

$E_{\nu}=p_{\nu} c$

Energía final:

$E_f=E_{\nu} + E_{\mu}$

$$E_f=p_{\nu} c+\sqrt{(m_{\mu} c^2)^2+(p_{\mu} c)^2}$$

Vamos a suponer sin pérdida de generalidad que el muon se mueve en la dirección del eje X positivo. El momento lineal del muon, según el enunciado:

$\vec p_{\mu}=29.8 \ \hat i\ MeV/c$

Momento final (conservación del momento lineal)

$\vec p_f=\vec p_{\mu}+\vec p_{\nu}=\vec p_i=0$

$29.8 \ \hat i+\vec p_{\nu}=0$

$\vec p_{\nu}=-29.8 \ \hat i \ MeV/c$

El momento del neutrino en módulo:

$p_{\nu}=29.8 \ MeV/c$

Igualando la energía inicial con la final $E_i=E_f$ (conservación de la energía)

$$m_{\pi} c^2=p_{\nu} c+\sqrt{(m_{\mu} c^2)^2+(p_{\mu} c)^2}$$

$m_{\pi} c^2=29.8+\sqrt{105.7^2+29.8^2}$

$m_{\pi}=139.6 \ MeV/c^2$

Si se están estudiando estos temas, puede interesar echar un vistazo a Interacción fotón - electrón y también Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío

Saludos.

PD. Mientras yo redactaba, veo que guibix ha contestado, saludos guibix

[Alriga]

El muon (µ+) es una partícula pesada, de masa en reposo mo = 105,7 MeV/c2, inestable, que se desintegra según: µ+ → e+ + νe + ν¯µ . La vida media del muon es de 2,2E−6 s, medida en el sistema de referencia del propio muon.

Los muones se producen a una altura sobre la superficie terrestre de 15 km. Siguiendo los cálculos de la mecánica clásica no llegarían a la superficie terrestre porque el tiempo que les llevaría es superior a su vida media. Sin embargo, es conocido que un elevado número de ellos alcanzan la superficie terrestre, hecho que es coherente con la teoría de la relatividad especial.

a) Calcule, aplicando las transformaciones de Lorentz de la teoría de la relatividad especial, la velocidad mínima a la que deben viajar los muones para alcanzar la superficie terrestre...

La Transformación de Lorentz permite escribir

$t=\dfrac{\tau}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Elevando al cuadrado

$t^2-\dfrac{t^2 v^2}{c^2}=\tau^2$

$t^2=\tau^2+\dfrac{(v\cdot t)^2}{c^2}$

Necesitamos que

$v\cdot t=15000 \ m$

Sustituimos:

$t^2=\tau^2+\dfrac{15000^2}{c^2}$

Como conocemos los valores de tau y de c, sustituimos y operamos:

$c = 299792458$ m/s

$\tau=2.2\cdot 10^{-6}$ s

$t=50.08296\cdot 10^{-6}$ s

$v=\dfrac{15000}t=299503080$ m/s

...A mí me salen $2, 99710020981 \cdot 10^8 ~m/s$ ...

Observad que la cifra que da Alofre no es correcta, supongo que se ha equivocado en los cálculos al operar.

...¿A qué energía, en eV, equivale dicha velocidad?...

$\beta=\dfrac vc=0.999035$

El factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=22.76498$

La energía total de la partícula:

$E=\gamma m c^2$

Nos dan el dato:

$m=105.7 \ MeV/c^2$

Por lo tanto:

$E=22.76498\cdot 105.7=2406.3 \ MeV/c^2=2.41 \ GeV/c^2$

Si nos piden la energía cinética, que es la parte de la energía total originada por la velocidad:

$E_c=E-mc^2=(\gamma -1) mc^2=2300.6 \ MeV/c^2=2.30 \ GeV/c^2$

Saludos.