Dilatación del tiempo

[luisdlr]

Buenas tardes,

Estoy tratando de resolver este problema de relatividad que trata sobre la dilatación del tiempo. El enunciado es el siguiente:

Una partícula neutra de masa 200me (me = masa del electrón) se genera, por efecto de la radiación cósmica, a una altura de 10 km sobre el nivel del mar. Si su vida en reposo es de ∆t' = 2*10-6 s, calcúlese la energía cinética mínima que debe poseer, para alcanzar la superficie marina.

Lo que he hecho es lo siguiente:

He considerado un sistema sobre la superficie terrestre y otro ligado a la partícula, ambos con la dirección X coincidente y perpendicular a la superficie del mar. Entonces, el segundo se mueve respecto al primero con una velocidad v, que es la velocidad de la partícula.

En este sistema, la vida de la partícula será ∆t = γ∆t' (dilatación del tiempo). Por otro lado, la velocidad de la partícula será el espacio que recorre entre el tiempo, entonces será 10000/∆t. Y con estas dos ecuaciones, puedo construir un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas (∆t y v).

He resuelto dicho sistema, obtenido un valor de velocidad y calculado la energía cinética relativista... pero no he obtenido el resultado que me marca el libro de problemas (como mínimo 1'6 Gev), por lo que he debido hacer algo mal...

¿Alguien me podría ayudar a resolver el ejercicio? Creo que no he cometido ningún error matemático, por lo que quizás he fallado al plantear la resolución del ejercicio.

Muchísimas gracias de antemano.

¡Un saludo!

[Alriga]

Tu planteo es correcto, te has debido equivocar en las operaciones.

$t=\dfrac{\tau}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Elevando al cuadrado

$t^2-\dfrac{t^2 v^2}{c^2}=\tau^2$

$t^2=\tau^2+\dfrac{(v\cdot t)^2}{c^2}$

Necesitamos que

$v\cdot t=10000 \ m$

Sustituimos:

$t^2=\tau^2+\dfrac{10000^2}{c^2}$

Como conocemos los valores de tau y de c, sustituimos y operamos:

$c = 299792458$ m/s

$\tau=2\cdot 10^{-6}$ s

$t=3.3416\cdot 10^{-5}$ s

$v=\dfrac{10000}t=299255027$ m/s

$\beta=\dfrac vc=0.99821$

El factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=16.7082$

La energía cinética es la energía total menos la energía correspondiente a la masa:

$E_c=\gamma m c^2-m c^2$

$E_c=(\gamma -1) m c^2$

La masa del electrón es:

$m_e=9.11\cdot 10^{-31}$ kg

La masa de la partícula:

$m=200\cdot m_e=1.822\cdot 10^{-28}$ kg

$E_c=2.5723\cdot 10^{-10}$ J

$1 \ MeV=1.602\cdot 10^{-13}$ J

Por lo tanto, la energía cinética de la partícula es:

$E_c=1606 \ MeV>1.6 \ GeV$

Saludos.