Volumen de una esfera en geometría no euclidea

[Alriga]

Gracias carroza por tu interés en el tema. Primero me he dedicado a repasar los cálculos sin entrar "en la esencia". Un par de dudas: entiendo que tú calculas:

$$\displaystyle \int_0^a \dfrac{r^2 \dd r}{\sqrt{1 - K r^2}}={1 \over K^{3/2}} \left( { \arcsin( \sqrt{K}a) \over 2} -{ \sqrt{K}a(1-Ka^2) \over 2 } \right)$$

A mí esta integral me sale:

$\displaystyle \int_0^a \dfrac{r^2 \dd r}{\sqrt{1 - K r^2}}=\dfrac{\arcsin (\sqrt K a)}{2K^{3/2}}-\dfrac{a\sqrt{1-K a^2}}{2K}$

Más adelante calculas:

$\displaystyle V(R) = {4 \pi \over K^{3/2}} \left( { \sqrt{K}a \over 2} -{ \sin(2\sqrt{K}R) \over 2 } \right)$

La "a" es claramente un gazapo tipográfico, ha de ser "R", pero además, a mi me sale uno de los denominadores "4":

$\displaystyle V(R) = {4 \pi \over K^{3/2}} \left( { \sqrt{K}R \over 2} -{ \sin(2\sqrt{K}R) \over 4 } \right)$

Desarrollando esta última para curvaturas pequeñas obtengo:

$V(R)=\dfrac 4 3 \pi R^3 \left (1- \dfrac{K R^2}5 \right )$

Que curiosamente es lo mismo que deduces tú ¿Puedes comprobarlo por favor?

Por otro lado, a mi "instinto" (que puede estar equivocado), no sé porqué, no le acaba de gustar esta última expresión.

Gracias y saludos.

[javisot20]

Yo sugeriría a los moderadores del foro que abrieran una sección de "Cagadas de chatgpt", donde puedan ponerse resultados como el que indicas.

Lo propuse hace tiempo pero se conoce que no lo vieron conveniente. Propuse que primero las respuestas pasen un cierto filtro antes de ser compartidas.
En mi comentario verás un ¿es correcto? ya que me estaba pareciendo incorrecto el resultado.

Gracias por confirmarlo.

La expresión que da de geometría hiperbólica es obviamente falsa, ya que no es dimensionalmente correcta, y no depende de la curvatura.

"El volumen de una esfera en geometría hiperbólica depende del radio de la esfera y de la curvatura constante de la geometría hiperbólica. La fórmula para el volumen de una esfera de radio r en la geometría hiperbólica con curvatura constante -1 es:

V = (4/3) * pi * (sinh(r))^3 "

¿es falso entonces?

[carroza]

He consultado a chatgpt3, dice que el volumen de una esfera en geometría hiperbólica es V = (2/3)πsinh^3(r), donde sinh es la función seno hiperbólico.
En geometría elíptica V = (4/3)πR^3/(1 - kR^2)

Hola. Chatgpt no tiene ni ..... idea de física. Es un algoritmo que busca cosas y las pone, sin entender nada. La expresión que da de geometría hiperbólica es obviamente falsa, ya que no es dimensionalmente correcta, y no depende de la curvatura. la segunda también es falsa, porque da un volumen nulo cuando la esfera ocupa todo el volumen del espacio elíptico.

Yo sugeriría a los moderadores del foro que abrieran una sección de "Cagadas de chatgpt", donde puedan ponerse resultados como el que indicas.

Saludos

[javisot20]

Inocentemente supuse que una esfera en geometría euclídea tiene el mismo volumen que esa misma esfera en geometría no euclídea (y que cambiaban otras cosas). Compruebo que no.

He consultado a chatgpt3, dice que el volumen de una esfera en geometría hiperbólica es V = (2/3)πsinh^3(r), donde sinh es la función seno hiperbólico.
En geometría elíptica V = (4/3)πR^3/(1 - kR^2)


¿Es correcto?

[carroza]

En un hilo reciente sobre la curvatura del universo, surgió el problema de obtener el volumen de una esfera. La respuesta obvia es $V = {4 \pi \over 3} R^3$. No obstante, ese valor no es válido si estamos en un espacio curvo. La pregunta es: ¿Si nuestro universo tiene una curvatura K, cúál, es el volumen de una esfera de radio R?

Adjunto una solución que se me ocurre, pero no estoy seguro de que sea la correcta. Cualquier comentario, o cualquier solución alternativa, será bienvenida.

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Parto del tensor métrico, para una geometría curva. https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...3Walker_metric

$(ds)^2 = (dr)^2 {1 \over 1 - K r^2} + r^2 (d\theta)^2 + r^2 \sin^2(\theta) (d \phi) ^2$

Esto corresponde a caracterizar nuestros puntos dando las coordenadas polares $(r, \theta, \phi)$. Aqui hay que tener cuidado, porque $r$, a pesar de su nombre, no es estrictamente el radio de la esfera que buscamos, sino una variable util.

Ahora, consideremos el volumen del objeto geométrico que se caracteriza por $r<a$, y valores arbitrarios de $\theta , \phi$. Estaremos de acuerdo en que este objeto es una esfera, aunque no es correcto, como veremos, que tenga radio a. Este volumen se obtiene integrando las variables con la raiz cuadrada del determinante del tensor métruco:

$V(a) = \int dr d\theta d\phi \sqrt{|g|} = \int dr {r^2 \over \sqrt{1 - K r^2}} \sin(\theta) d\theta d\phi = 4 \pi \int_0^a dr {r^2 \over \sqrt{1 - K r^2}}$

el resultado dela integral es $V(a) = {4 \pi \over K^{3/2}} \left( { \arcsin( \sqrt{K}a) \over 2} -{ \sqrt{K}a\sqrt{1-Ka^2} \over 2 } \right)$

Ahora, para obtener el "radio" R de esta figura hay que obtener la distancia del punto con r=0 al punto co r=a, usando el tensor métrico:

$R = \int_0^a dr {1 \over \sqrt{1 - K r^2} } = K^{-1/2} \arcsin(\sqrt{K}a) )$

Con esto, nos queda el volumen de la esfera en función del radio como

$V(R) = {4 \pi \over K^{3/2}} \left( { \sqrt{K}R \over 2} -{ \sin(2\sqrt{K}R) \over 4 } \right)$

Desarrolando esta solucion para curvaturas pequeñas, obtengo

$V(R) = {4 \pi R^3 \over 3 } \left( 1 - {K R^2 \over 5} \right)$,

expresion que puede ser util para el hilo reciente del tamaño del universo comparado con el universo visible