Fotón y tiempo

[leo_ro]

¿Por qué en relatividad se dice que el fotón no ""experimenta"" el tiempo y por lo tanto espacio?

Si sabemos que el fotón es un cuanto de la radiación electromagnética. Tomando solamente al campo eléctrico.

${\nabla}^{2} \vec{E} - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$

Los que nos da una posible solución de un campo eléctrico armónico $\vec{E} ( \vec{r}, t ) = E sin ( \vec{k} \dot \vec{r} - \omega t)$

Sabemos que la energía de la radiación

$E = {\int}_{V} \varepsilon {E}^{2} dV = n h f$


${\int}_{V} \varepsilon {E ( \vec{r}, t )}^{2} dV = n h f$

Por lo tanto el campo eléctrico varía con el tiempo y el espacio. Entonces, si hay tiempo en el fotón. Tenemos instantes donde es máximo el campo eléctrico, otros donde es mínimo y otros donde es cero. Así que ¿Cómo podría interpretarlo?

[carroza]

Hola.

Entiendo que la frase "el fotón no experimenta el tiempo", es una frase en sentido figurado. Estrictamente, el fotón no "experimenta" no deja de experimentar. Solamente un observador podrá experimentar.

Voy a usar el ejemplo que pones, para visualizar la dependencia temporal del campo eletromagnético.

Imagina un pulso de luz, visto por un observador A, en el que el campo eléctrico ( y magnético, claro), están formando un paquete de ondas, localizado en una pequeña zona del espacio. Esto podrá hacerlo con un desarrollo de Fourier, que cuanticamente corresponde a una superposición de fotones en un pequeño intervalo de energías $\delta_e$ en torno a una energía $e_A$. La variación característica con el tiempo del campo elećtrico, visto por A, $\vec E_A(\vec r, t)$, viene dado por una frecuencia $f_A = e_A/h$.

Ahora, quiero "acercarme" al pulso de luz. Para ello, consideramos un observador B, que se mueve a una velocidad muy alta con respecto a A, en la misma dirección del pulso de luz, aunque siempre inferior a c. Este observador B ve, por ejecto Doppler, al pulso de luz, con la misma velocidad, pero con una freciencia reducida. La energía de los fotones, tienen una distribucuón en torno a una energía reducida $e_B = e_A \sqrt{c - v \over c + v}$. La variación característica con el tiempo del campo elećtrico, visto por B, $\vec E_B(\vec r, t)$, viene dado por una frecuencia $f_B = e_B/h = f_A \sqrt{c - v \over c + v}$.

Ahora podríamos extrapolar. Cuanto más grande sea la velocidad, más pequeño será el parámetro $\sqrt{c - v \over c + v}$, y más pequeña es la frecuencia característica de la variación temporal del campo. El observador B, a velocidades muy altas, ve el campo electromagnético casi como si fuera estacionario.

No obstante, el fotón siempre se ve a una velocidad c desde cualquier observador, por lo que es claramente un abuso del lenguaje imaginarse un observador que se mueve con un fotón, o un fotón que "experimenta".

Un saludo

[leo_ro]

Exelente! Nunca lo hubiera imaginado.

Puede entenderse con una onda armónica pura, ¿Correcto? Si aumenta la velocidad del observador C en misma dirección pero sentido contrario al vector de onda k de la onda, entonces el periodo tiende 0.

Entonces. Si un observador hipotético C cuya velocidad tiende a c, vería el fotón con frecuencia infinita o periodo 0, de allí la famosa frase: "el fotón no experimienta el tiempo". Es correcto esto?

[carroza]

Hola. He corregido mi post anterior para poner las expresiones correctas del corrimiento Doppler relativista.

Si el observador C se mueve en el sentido contrario al del pulso de luz, la energía de los fotones aumenta, y la escala de variación temporal del campo electromagnético se hace mas corta.

No me gusta hablar de ondas armónicas puras, ya que entonces no puedo tener un pulso de luz localizado, con lo que no puedo decir si el observador se acerca o se aleja del pulso de luz. Por eso hablo de un pequeño intervalo de frecuencias o energías. Con respecto a la frase de marras, no sé si es famosa o no, pero rigurosa no es, por lo que indico en el post anterior.

Saludos

[leo_ro]

Gracias Carroza.

Dados 2 protones, tal que el protón A se desplaza a una velocidad ${V}_{A} = 5 m/s$ y el proton B ${V}_{B}= 150000000 m/s$

Si una radiación EM es emitida a una distancia $d$ de cada protón y si la longitud de onda de la radiación para un observador en reposo de la fuente de la radiación es ${f}_{0} = 5.4507719 * {10}^{14} hz$

Para el caso del protón A:

${f}_{A} = \frac{c - 5}{ c} {f}_{0} = 0.99999998332 {f}_{0} = 5.4507719 * {10}^{14} hz$

${\lambda}_{A} = c/f = (299792458)/( 5.4507719 {10}^{14}) =5.50000006 * {10}^{-7} m = 550 nm$

Para el caso del protón B:

${f}_{B} = \frac{c - 150000000}{ c} {f}_{0} = 0.4996538572 {f}_{0} = 2.7234992 {10}^{14} hz$

${\lambda}_{B} = c/f = (299792458) /( 2.7234992 * {10}^{14}) = 1.1 \mu m$

Por lo tanto, la longitud de onda que "ve" el protón B es mucho mayor, tal es asi que tendería a infinito cuando la velocidad ${V}_{B}$ tienda a infinito. Y por lo tanto, si interacciona el fotón con el protón A le transferirá mas energía que si lo haría con el protón B.

¿Es esto correcto? El problema es que me parece una aproximación muy clásica, sin tener en cuenta los efectos relativistas. Lo que concluyo que si el protón B tiende a infinito, como la frecuencia de onda tiende a cero, cada vez menos energía le puede transmitir al protón.

[carroza]

Hola.

Deberías utilizar las fórmulas del efecto Doppler relativista. Así, la frecuencia que ve el observador que se mueve con el protón B es

$f_B = \sqrt{c-v \over c+v} f_0$, Esto es diferente al factor $f_B = {c-v \over c} f_0$ que tu estás utimizando. El cociente de ambas expresiones es $\gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Aparte de eso, tu conclusion cualitativa es correcta. El observador solidario con el protón B ve una frecuencia de la radiación más baja, y una longitud de onda más larga, que el observador solidario con A (B ve un corrimiento al rojo). La energía que transferiría el fotón al protón B, si ambos interaccionan, es por tanto más baja que la que transferiría al protón A..

Un saludo

[leo_ro]

Aparte de eso, tu conclusion cualitativa es correcta. El observador solidario con el protón B ve una frecuencia de la radiación más baja, y una longitud de onda más larga, que el observador solidario con A (B ve un corrimiento al rojo). La energía que transferiría el fotón al protón B, si ambos interaccionan, es por tanto más baja que la que transferiría al protón A.

Lo que me lleva también a concluir lo siguiente. Mas allá de que la masa aparente del protón aumente a medida que se "acerca" a la velocidad de la luz, no podrá alcanzarla además porque los fotones cada vez transfieren menos energía, tal es así que si la velocidad del protón tiende a c, entonces la energía del fotón tiende a cero.

Si la velocidad del protón es 0.9999999 la velocidad de la luz, entonces el fotón le transmitirá una energía 0.9999999 menor que la energía necesaria para crear ese fotón en su fuente.

¿Qué el protón aumente su masa y que el fotón disminuya su energía cuando el protón aumenta la velocidad (misma dirección y sentido que el fotón), ¿son efectos diferentes con una misma causa o están relacionados?

Paso a explicar:

Si la energía del protón es:

${E}^{2} = {m}^{2} {c}^{4} + {p}^{2}{c}^{2} <br />$

Cuando aumenta su velocidad, la variación de la energía depende solo de la variación del momento:

$\Delta E = \sqrt{{ \Delta p}^{2}{c}^{2}} = h {f'}_{2} - h {f'}_{1} <br />$

En donde la energía que le transmite el fotón depende de la diferencia de energía del fotón incidente menos el fotón dispersado, siguiendo el efecto campton.

Entonces, como la energía del fotón a su vez, depende de la velocidad del protón:

$\Delta E = \sqrt{{ \Delta p}^{2}{c}^{2}} = h \sqrt{\frac{c - v}{c+v}} ({f}_{2} {f}_{1})<br />$

De allí concluyo de que no hay forma de alcanzar la velocidad de la luz porque no hay forma de darle energía cinética. Cuando v=c entonces la energía de los fotones sería cero siempre, lo que tiene sentido porque en ese caso hipotético el fotón no alcanzaría al protón. Por lo tanto cuando la dirección y sentido de la velocidad del protón y del fotón son iguales pero el modulo de la velocidad del protón tiende a c, "da el efecto" de mayor masa en el protón debido a que la transferencia de momento del fotón al protón dismuye. ¿Es correcto esto?

Lo que si no puedo verlo en el caso en que la dirección de la velocidad del protón sea igual a la dirección del fotón pero con sentido opuesto. En este caso la energía del fotón para el protón sería mucho mayor que la energía que se suministró para crear el fotón, ya que aumenta la frecuencia del fotón. En este caso estimo que la dispersión del fotón es mucho mayor cuanto mayor sea la velocidad del protón y por lo tanto se ve el efecto de más masa.

[guibix]

Muy buenas.

Este tema siempre me ha parecido fascinante. Hay una forma más "geométrica" de enfocar tu duda.

Para un sistema de referencia inercial (SRI) y con una dimensión espacial y una temporal, usamos la métrica de Minkowski:

$c^2\dd\tau^2=c^2\dd t^2-\dd x^2$.

Donde $\tau$ es el tiempo propio de una partícula que se mueve por el espacio-tiempo medido desde un SRI con coordenadas $(t,x).$ Y $c$ es... bueno, esa constante.

Si lo arreglamos como

$1=\frac{\dd t^2}{\dd\tau^2}-\frac{\dd x^2}{c^2\dd\tau^2}$,

obtenemos que toda partícula con masa viaja por el espacio-tiempo a un segundo por segundo. Parece obvio (y lo es) pero significa que toda partícula con masa "experimenta el tiempo" siempre igual. Ningún efecto relativista conseguirá que tu te veas a ti mismo (como observador puntual) yendo más rápido o lento en el tiempo.

Pero una partícula sin masa cumple que $c^2\Delta t^2=\Delta x^2$ y esto implicaría que 1=0 (cosa evidentemente imposible). En una partícula masiva, la diferencia entre $\frac{\dd t^2}{\dd\tau^2}$ y $\frac{\dd x^2}{c^2\dd\tau^2}$ siempre es uno y esto es independiente de su velocidad (estrictamente menor a $c$). En cambio para una partícula sin masa las dos partes son exactamente iguales y la única solución posible es

$0=\frac{\dd t^2}{\dd\tau^2}-\frac{\dd x^2}{c^2\dd\tau^2}$,

Existe un “salto cualitativo”, sin valores intermedios entre 0 y 1, para partículas con masa y partículas sin ella (tienen masa o no la tienen). La masiva siempre tiene tiempo propio no nulo, por pequeño que sea. Y desde cualquier SRI $S$ puede medirse la trayectoria de una partícula para crear un SRI $S'$ con la partícula en reposo y con su tiempo propio como coordenada $t'$. Pero el caso de la luz siempre tendrá un tiempo propio nulo y nunca se podrá crear una coordenada $t'$ ya que "multiplicará por cero" cualquier medida de cualquier SRI.

Esto es, a mi parecer, lo de que “la luz no experimenta el tiempo”.

Ah, lo mismo vale por las coordenadas espaciales, por lo que la luz tampoco “experimenta el espacio”.

Para resumir, en Relatividad Especial hay tres posibles resultados de la métrica de Minkowski:

$0<c^2 \Delta t^2- \Delta x^2$
que podemos llamar "trayectoria temporal" y es para medir tiempos propios de una partícula con masa,

$0=c^2 \Delta t^2- \Delta x^2$
que usamos para restringir las trayectorias de partículas sin masa que podemos llamar "trayectoria lumínica"

y

$0>c^2 \Delta t^2- \Delta x^2$
donde hacemos un cambio de variable $-\dd\tau^2=\dd s^2$ que llamaremos "trayectoria espacial" y lo usaremos para medir distancias propias $x'$ en los SRI $S'$ de partículas con masa. También se puede usar para medir tiempos propios de partículas superlumínicas (taquiones) pero resultan tener tiempos imaginarios, cosa que hace pensar que no pueden ser reales.

Bueno, he tenido que quitarme telarañas pero espero haber aclarado algo sobre el tema y no haber cometido algún error garrafal.

Un saludo.