Inercia, masa y efecto doppler ¿De donde surge la inercia de la energía interna de partículas compuestas?

[leo_ro]

Tengo una duda con respecto a la definición de masa y la inercia relacionada. Entiendo a la masa en reposo de una partícula como la energía necesaria para "crear" la partícula, principalmente este hilo se centra en el efecto en la inercia de las partículas.

Tampoco esta consulta está relacionada con la masa que los leptones adquieren por la interacción con el campo de Higgs sino la masa que se adquiere en los hadrones o particulas compuestas en general. Es decir, como la inercia de una partícula compuesta surge de la energía interna de ese sistema.

¿Es la inercia un efecto del momento y energía, en partículas compuestas, debido al efecto doppler (es decir por cuestiones relativistas de los campos)?

¿Cómo la energía aporta para a la inercia de una partícula compuesta como los hadrones? Para no entrar en cronodinámica cuántica, podemos tomar la masa inercial que "genera" un fotón "encerrado" en una caja con espejos perfectos.

El fotón tiene un momento igual a $p = \frac{h f }{c}$

Al tener paredes con espejos perfecto, entonces el fotón le transmite 2 veces el momento al rebotar, es decir, las paredes reciben un momento de 2p. Pero como el fotón "rebota" en ambas paredes opuestas, el momento total sobre la caja es cero, estamos ante una fuerza interna! y por supuesto en este análisis, no hay perdidas en temperatura porque el espejo es perfecto. Entonces al rebotar el fotón y salir con momento -p, podemos tomar a las paredes de la caja como fuentes del fotón.

Si sobre la caja aplicamos una fuerza externa ${F}_{ext} = \frac{d p }{dt}$.

Entonces el momento del fotón cuando sale de la pared, que llamaremos pared_1, de la caja es:

${p}_{t0} = \frac{h {f}_{0} }{c}$

Luego se aplica una fuerza sobre la pared_1. Cuando el fotón alcanza la pared opuesta (pared_2), la caja y por lo tanto la pared_2 cambió de velocidad por la aceleración y por lo tanto el momento que le transfiere al rebotar es:

${p}_{t1} = 2 \frac{h }{c} {f}_{0} \sqrt{\frac{1 - \frac{ {v}_{1} }{c} }{1 + \frac{ {v}_{1} }{c}} }$

Donde ${v}_{1} = {\int}_{t0}^{t1} a dt = {\int}_{0}^{T} a dt$ y ${p}_{t0} < {p}_{t1}$

luego el fotón regresa a la pared_1 y la velocidad de esta es:

${v}_{2} = {\int}_{t1}^{t2} a dt = {\int}_{0}^{2T} a dt$

De esta manera el momento que le transfiere el fotón a esta pared es:

${p}_{t2} = 2 \frac{h }{c} {f}_{0} \sqrt{\frac{1 + \frac{ ({v}_{2} - {v}_{1}) }{c} }{1 - \frac{ ({v}_{2} - {v}_{1}) }{c}} }$

Tal que: ${p}_{t2} > {p}_{t1}$ (Es aquí donde veo el efecto de inercia!)

De esta manera, por el efecto doppler relativista concluyo que al ejercer una fuerza externa sobre la caja implica

$d p = {p}_{t2} - {p}_{t1} = 2 \frac{h }{c} {f}_{0} \sqrt{\frac{1 + \frac{ ({v}_{2} - {v}_{1}) }{c} }{1 - \frac{ ({v}_{2} - {v}_{1}) }{c}} } - 2 \frac{h }{c} {f}_{0} \sqrt{\frac{1 - \frac{ {v}_{1} }{c} }{1 + \frac{ {v}_{1} }{c}} } = 2 \frac{h }{c} {f}_{0} (\sqrt{\frac{1 + \frac{ ({v}_{2} - {v}_{1}) }{c} }{1 - \frac{ ({v}_{2} - {v}_{1}) }{c}} } - \sqrt{\frac{1 - \frac{ {v}_{1} }{c} }{1 + \frac{ {v}_{1} }{c}} })$

Esa expresión gracias a ChatGPT se simplifica a:

$dp = \frac{2 h {f}_{0}}{c} \sqrt{c - v_1}\left(\sqrt{\frac{c + a\,dt}{c + v_1}} - 1\right)$

$\frac{dp}{dt} = \frac{2 h {f}_{0}}{c} \frac{1}{dt} \sqrt{c - v_1}\left(\sqrt{\frac{c + a\,dt}{c + v_1}} - 1\right)$

Sabiendo que $F = \frac{dp}{dt} = m a$ y que ${f}_{0} = c / \lambda$ entonces:

$dm = \frac{2 h}{\lambda dt} \frac{\sqrt{c - v_1}}{a} \left(\sqrt{\frac{c + a\,dt}{c + v_1}} - 1\right) = \frac{2 h}{\lambda dt} \frac{\sqrt{c - v_1}}{dv/dt} \left(\sqrt{\frac{c + a\,dt}{c + v_1}} - 1\right)$

Por ultimo, la masa que "genera" ese foton en la caja es:

$dm = \frac{2 h}{\lambda } \frac{\sqrt{c - v_1}}{dv} \left(\sqrt{\frac{c + a\,dt}{c + v_1}} - 1\right) = \frac{2h}{\lambda}\frac{1}{v_2 - v_1}\left(\sqrt{\frac{c+v_2}{c+v_1}}-1\right)<br />$ (*)


Mas allá si es correcta o no esta ultima expresión. ¿Está directamente relacionada la inercia de un objeto con el efecto doppler relativista? Entiendo que llevado esto a un átomo de hidrógeno, con un protón y un electrón, al aplicar una fuerza externa que implique una aceleración en el sistema protón-electrón, las partículas virtuales del campo EM tendrán una densidad energética mayor y por lo tanto mayor densidad de momento contra la fuerza externa que en el sentido opuesto. ¿Es correcto esto?

Lo mismo pasaría con los gluones en los hadrones. Al aplicar una fuerza externa sobre un protón por ejemplo, tendríamos mayor densidad de momento de los gluones virtuales, por efecto doppler relativista, contra la fuerza externa que en el sentido contrario. ¿Correcto?


Edito:

dada esta ultima expresion $m= \frac{2h}{\lambda}\frac{1}{v_2 - v_1}\left(\sqrt{\frac{c+v_2}{c+v_1}}-1\right)$ veo que se puede simplificar mas si considero que v_1=0

$dm= \frac{2h}{\lambda}\frac{1}{dv}\left(\sqrt{\frac{c+a dt }{c}}-1\right)$


Simplificación de la raíz cuadrada:

$dm = \frac{2h}{\lambda}\frac{1}{dv}\left(\sqrt{1+\frac{a dt}{c}}-1\right)$

Expansión en serie de Taylor:

$dm = \frac{h}{\lambda}\frac{a}{cdv}\frac{dt}{c}+\mathcal{O}\left(\left(\frac{a dt}{c}\right)^2\right) = \frac{h}{\lambda}\frac{1}{{c}^{2} } = \frac{p}{{c}^{2} }$

[carroza]

Hola.

Creo que es util describir las cosas en física usando el marco más sencillo posible: la mecánica clásica, o bien, si es necesario la mecánica relativista clásica, o bien, si es necesario, la mecánica cuántica, y si fuera estrictamente necesario, la mecánica cuantica relativista y la teoría cuántica de campos.

La inercia es una propiedad que se observa y se describe en la mecánica clásica: Las cosas tienden a mantener su velocidad. Para que esta velocidad cambie, se necesita un agente externo, una fuerza, y la respuesta del sistema, es decir, el cambio de la velocidad, que es la aceleración, depende de una propiedad del sistema, que es la masa. Y ahi tienes la ley de Newton $\vec F = m \vec a$.

En la mecanica clásica, la masa de un sistema cerrado es invariante. En mecánica relativista clásica, la masa puede cambiar si de alguna forma doy energía al sistema. De ahi el $E= m c^2$ . En un sistema compuesto, si descomponemos la energía en diferentes componentes (energía cinética, energía potencial), podremos hablar de diferentes componentes de la masa, aunque eso no es necesariamente util, y desde luego no nos sirve para interpretar que la "masa" proviene de algún tipo de "energía". La masa completa, por definición, se manifestará en una inercia, que a velocidades pequeñas se describe por la ley de newton.

Un saludo

[leo_ro]

Tienes razón Carroza, no debo complicarme.

La inercia es la tendencia a mantener su estado de movimiento. Pero no entiendo como un fotón dentro de una caja incrementa la inercia siendo que no tiene masa o como los gluones incrementan la inercia de los hadrones si estos no tienen masa.

El protón está compuesto por dos quarks "up" (arriba) y un quark "down" (abajo), cuyas cargas eléctricas son +2/3 e y -1/3 e, respectivamente, donde "e" es la carga elemental. Si aplicamos un campo eléctrico a un protón aislado, en general, se espera que los quarks dentro del protón se polaricen en respuesta a un campo eléctrico aplicado. Es decir, los quarks pueden cambiar su orientación en respuesta al campo eléctrico. Si un fotón impacta en un quark up dandole energía. Este quark up se separa un poco del protón debido a la interacción con un fotón, los otros quarks y gluones dentro del protón se ajustarán para mantener el equilibrio de la carga de color y la energía del sistema.

Es decir, un fotón le da energía y momento a un quark pero esa energía se aplica a redistribuirse en todo el sistema gluones-quarks. Por lo que es un choque inelástico que no contribuye mucho a la energía cinética y eso nos da el efecto de más inercia?. ¿Viene por ahí la explicación?

[carroza]

Hola.

Lo que da lugar a la inercia es la masa que, teniendo en cuenta la expresión relativista $m c^2= \sqrt{E^2 - c^2 P^2}$, viene determinada por la energía en el sistema de referencia en el que el momento total es $\vec P = 0$. Cuando se dice que un fotón o un gluón aislado tienen masa cero, nos referimos a que cumplen $E= c P$. Sin embargo, un sistema compuesto de varios electrones o gluones puede perfectamente tener una masa no nula.

Creo que puede ser util la imagen de una caja ideal, hecha por espejos sin masa, que contiene un numero N determinado de fotones, cada uno de energía $\hbar \omega$, moviendose en varias diirecciones, de tal manera que el centro de masas de la caja con los fotones está en reposo, o sea, que el momento total de los fotones es $\vec P = 0$. Este conjunto de fotones tiene una energía $E = N \hbar \omega$, y por tanto, una masa $m = N \hbar \omega / c^2$. Si yo quisiera empezar a mover la caja, manteniendo la velocidad de la caja pequeña frente a c, sería aplicable la ley de newton $\vec F = m \vec a$.

Por tanto, no es correcto decir que la masa del sistema de fotones es igual a la suma de las masas (nulas) de los fotones. La masa no es aditiva. Sin embargo, suponiendo que los fotones no interactuan, la energía del sistema sí sería igual a la suma de las energías de los fotones, y el momento$\vec P$ del sistema se obtiene como la suma vectorial de los momentos de los fotones. De ahi puedo inferir la masa del sistema.

Si consideramos un protón, que está hecho de quarks, gluones, parejas quark-antiquarks, etc, y queremos entender su masa (938 MeV/c^2),sería un error expresar esta masa como una suma de las masas de los componentes. Tenemos que expresar la energía adecuadamente, usando, por ejemplo lagrangianos de teoría cuántica de campos, y evaluar las contribuciones de los campos de quarks, los campos de gluones, los lagrangianos de interacción, etc. Esto se calcula actualmente usando calculos no perturbativos de la QCD en el retículo, y sale razonablemente bien, el valor experimental.

Por supuesto, si aporto energía al protón, por ejemplo con radiación gamma, y lo convierto en una resonancia delta, la masa aumenta de 938 MeV/c^2 a 1232 MeV/c^2, con lo cual aumenta la inercia.

Bueno, yo me despido de este hilo. Otros compañeros te podrán aclarar más dudas, o redirigirte a otros hilos donde hemos tratado esto

Un saludo