Aniquilación electrón-positrón

[luisdlr]

Buenos días,

Me gustaría pedir ayuda con la resolución de un ejercicio sobre un acelerador de partículas que no consigo resolver, puesto que apenas controlo sobre estos temas y estoy algo perdido. El enunciado es el siguiente:

En las instalaciones de un acelerador de partículas se consigue aumentar la masa del electrón en un factor de 15 respecto a la que tiene en reposo.
- a) Determine el valor de la energía cinética ganada por el electrón, en MeV.

A continuación, se hace chocar el electrón contra un positrón que circula en sentido opuesto con la misma velocidad y misma energía qeu el electrón, de tal forma que en el choque, se produce la aniquilación de las partículas y la formación de dos fotones con la misma energía.
- b) Determine las velocidades y los momentos lineales del electrón y del positrón.
- c) ¿Con qué velocidad percibe el positrón al electrón? ¿Cuál sería esta velocidad desde la perspectiva del universo clásico?
- d) ¿Cuál es la frecuencia y longitud de onda de la radiación electromagnética resultante tras la colisión? Describa las características de dicha radiación.

Muchas gracias de antemano, estos temas la verdad es que me resultan muy complicados.

Saludos cordiales

[Alriga]

a)

Si llamamos $m$ a la masa en reposo del electrón el enunciado nos dice:

$m_{eq}=\gamma m=15 m$

Y por lo tanto, el Factor de Lorentz es:

$\gamma =15$

La energía cinética es la energía total menos la energía de la masa:

$E_c=E-m c^2=\gamma m c^2- m c^2$

$E_c=(\gamma - 1) m c^2$

La energía correspondiente a la masa de un electrón son 511 keV, por lo tanto

$E_c=(15-1) \ 0.511=7.1540$ MeV


b)

$\beta=\sqrt{1-\dfrac 1{\gamma^2}}$

$\beta=0.9977753$

La velocidad tanto del electrón como del positrón:

$v=\beta c=0.9977753 \ c$

El momento lineal del electrón y del positrón tendrán el mismo valor $p$, puesto que ambos tienen la misma masa y van a la misma velocidad. Para cada uno de ellos:

$E^2=(m c^2)^2+p^2c^2$

$E=\gamma m c^2$

Combinando ambas y despejando el momento, obtenemos:

$p=\sqrt{\gamma^2 - 1} \ m c$

Como ya hemos calculado antes la velocidad, otra forma de obtener el momento lineal sería:

$p=\gamma m v$


c)

La composición relativista de velocidades nos permite calcular con qué velocidad percibe el positrón al electrón:

$v' = \dfrac {v + u}{1 + \dfrac{u\cdot v}{c^2}}$

$v' = \dfrac {\beta c + \beta c}{1 + \dfrac{\beta c \cdot \beta c}{c^2}}$

$v'=\dfrac{2\beta}{1+\beta^2} \ c$

$v'=0.9999575 \ c$

Esta velocidad desde la perspectiva del universo clásico sería:

$v_c'=v+u=\beta c +\beta c=2\beta c=1.99555 \ c$


d)

La colisión de un positrón y un electrón con iguales energías que chocan en sentido contrario, produce 2 fotones idénticos que se alejan uno del otro en dirección perpendicular a la recta del choque, en la misma recta y en sentidos contrarios debido a la conservación del momento lineal. Antes del choque:

$E_e+E_p=E+E=2E$

Después del choque:

$E_{f_1} +E_{f_2}=E_f+E_f=2 E_f$

Como la energía se conserva obtenemos de ambas que la energía de cada uno de los fotones es:

$E_f=E$

Como hemos visto en el apartado (b)

$E_f=E=\gamma m c^2$

Por otro lado sabemos que la relación entre la energía y la frecuencia de un fotón es:

$E_f=h \nu$

$\nu=\dfrac{\gamma m c^2}h$

Finalmente:

$\lambda = \dfrac c{\nu}$

Si pones números verás que la frecuencia y la longitud de onda que obtienes corresponde a radiación gamma. (Se considera radiación gamma cuando la frecuencia es mayor de 30E+18 Hz o lo que es lo mismo, cuando la longitud de onda es inferior a 10 picometros)

Si tienes alguna duda, pregunta.

Si estás estudiando estos temas, puede interesarte echar un vistazo a Interacción fotón - electrón y también Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío

Saludos.

[carroza]

Una aclaración, Alriga.

Los fotones no tienen por qué salir en direcciones perpendiculares a la recta del choque. Pueden salir ambos en cualquier dirección, incluyendo la dirección inicial del electrón y positron. La probabilidad de que los fotones salgan en diferentes direcciones, con respecto a la del haz electrón positrón, depende de cosas tales como el estado de polarización de electrón y positrón.

un saludo

[Alriga]

OK, gracias, lo corrijo.
Saludos.