Avanzado El radio de Schwarzschild y la velocidad de escape de la mecánica clásica

[guibix]

Muy buenas!

Tengo una duda sobre RG que lleva tiempo en mi cabeza. Tengo un conocimiento básico sobre RG bastante extenso pero incompleto (con algunas lagunas bastante grandes.) Si bien puedo entender muchos procesos de cálculo, también es cierto que me atraganto con su aparato matemático en donde puedo perder el hilo de un razonamiento.

La cuestión es sobre el famosísimo radio de Schwarchild.

$$r_s=\dfrac{2GM}{c^2}.$$

No tengo problema para asumir y entender más o menos su significado pero me chirría la típica explicación que se da al asunto: “Es el radio de un cuerpo masivo esférico dónde c es su velocidad de escape (más o menos)”.

Hasta aquí todo bien. Pero se obtiene aplicando la formula de velocidad de escape

$$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$$

y cuando $v_e=c,$ entonces $r=r_s.$

Pero esta ecuación de obtiene al igualar energía potencial y cinética.

$$\dfrac 1 2 mv^2=\dfrac{GMm}{r}.$$

Y como es evidente, esa energía cinética no es relativista. Si quisiera probar la velocidad de escape en relatividad, debería probar algo como:

$$mc^2(\gamma-1)=\dfrac{GMm}{r},$$

pero para $v=c$ obtenemos $r=0.$ Lo cual no es así (a no ser que esté calculando la singularidad pero tampoco me cuadra).

Sé que el tratamiento de energías gravitatorias en RG no es como campo escalar pero tampoco entiendo como se llega a esto. Supongo que necesitaría entender la deducción de la métrica de Schwarchild, pero si ya tengo dificultades para resolver problemas con ella, entender de donde surge la métrica me cuesta horrores. Y aunque la encuentro súper lógica y evidente, no acabo de pillar eso de la velocidad de escape Newtoniana.

¿Qué ocurre aquí?

¿Que la energía potencial no es $\dfrac{GMm}{r}$ y al resolver con $mc^2(\gamma-1)$ nos da $r=r_s$? Se "cancelan" términos para que de alguna manera quede la versión Newtoniana?

¿O la existe otro motivo por el cual la “versión relativista” de $v_e$ es igual a la Newtoniana?

¿Se puede explicar de una forma más intuitiva y “sencilla” sin tener que entrar demasiado en álgebra tensorial o geometría diferencial?

Gracias y un saludo!

[javisot20]

Saludos Guibix, tenía entendido que la razón por la cual se parece a la velocidad de escape newtoniana es porque, en el límite de bajas velocidades y campos gravitacionales débiles (comparados con la velocidad de la luz), la expresión relativista se reduce a la forma clásica. El límite newtoniano de la relatividad general, digamos.

Estar más o menos inmerso en un campo gravitacional influye en la versión que se debe elegir, pero claro, suponiendo que por arte de magia desaparece la curvatura debe recuperarse la versión clásica.

Mi conocimiento es el justo..esperemos una intervención experta que lo zanje en 2 movimientos. Saludos

[Richard R Richard]

$$mc^2(\gamma-1)=\dfrac{GMm}{r},$$

pero para $v=c$ obtenemos $r=0.$ Lo cual no es así (a no ser que esté calculando la singularidad pero tampoco me cuadra).

Cada vez que algo no me cuadra en RG es porque pasa el mago Taylor y luego todo cuaja, No se si esa es la razón, pero se podría comprobar.

Hace tiempo postee algo sobr la deducción de la métrica

https://forum.lawebdefisica.com/blog...e-schwarzchild


Saludos

[Alriga]

Hola, como modesta aportación, quisiera hacer notar que:

1. El radio de Schwarzrchild obtenido de la Relatividad General

$R_s = \dfrac{2GM}{c^2}$

Implica que ninguna luz emitida desde radios menores de él, $r_e < R_s$ puede alcanzar ningún punto de radio $\boldsymbol{r > R_s}$


2. La velocidad de escape en Mecánica Newtoniana se obtiene de igualar energía cinética y potencial:

$\dfrac 1 2 m v_e^2=\dfrac{GMm}r$

Para una determinada velocidad de escape el “radio de escape” que le corresponde es:

$R_e = \dfrac{2GM}{v_e^2}$

Y si la velocidad de la partícula fuese $c$ se obtiene

$R'_s = \dfrac{2GM}{c^2}$

La “forma literal” de esta última expresión newtoniana corresponde formalmente a la del Radio de Schwarzrchild de la Relatividad General, pero sus “propiedades” no son las mismas: tal como se ha deducido ahora, corresponde al concepto de “velocidad de escape” cuya implicación es que ninguna partícula con velocidad $c$ emitida desde radios menores del de Schwarzrchild, $r_e < R’_s$ puede alcanzar el infinito, es decir que la partícula emitida desde $r_e < R’_s$ en algún momento regresará y caerá en el cuerpo de masa M.

Pero clásicamente sí puede alcanzar puntos arbitrariamente lejanos de M, de radio $\boldsymbol{r > R’_s}$ . Puntos tanto más lejanos conforme el punto de lanzamiento esté más cerca de $R’_s$ aunque se siga cumpliendo que el punto de lanzamiento tiene un radio inferior a $R’_s$

Por lo argumentado, entiendo pues que una frase del tipo “el Radio de Schwarzschild es el radio desde el que la velocidad de escape es la velocidad de la luz” dicha sin matices no está totalmente acertada, aunque haya concordancia formal entre dos expresiones matemáticas, una obtenida de la Relatividad General y otra de la Mecánica Newtoniana.

No sé si me he explicado bien lo que intento decir es que el Radio de Schwarzrchild de la Relatividad General es algo mucho más restrictivo en cuanto al comportamiento de la luz que meramente "el radio desde el que la velocidad de escape es la velocidad de la luz" desde el punto de vista clásico.

Saludos.

[javisot20]

Entendido, es cierto que la frase "el radio desde el que la velocidad de escape es la velocidad de la luz" siendo cierta peca de ambigüedad, debe desarrollarse un mínimo.

[carroza]

Hola.

Yo también entiendo que la explicación que se da para la expresión del radio de Schwarchild no es muy adecuada.

El radio de Schwarchild se vé, y se deriva, como muy bien ha hecho Richard, para un observador que está fuera de dicho radio. La métrica de Schwarzrchild se deriva partiendo de un observador que está muy lejos, a r muy grande, y las coordenadas que presenta (la unidad de distancia, y la unidad de tiempo) son las que usaría un observador lejano.

Este observador, integrando sus ecuaciones, encuentra que no es posible para el observar nada que esté dentro de una esfera que, con sus unidades de medida, corresponden al radio de Schwarzrchild.

Un observador en el interior de la esfera de Schwarzrchild, tendría una métrica totalmente diferente. Si el se dedicara a impulsar objetos hacia fuera, tendría expresiones para la energía cinética, para la energía de potencial, y para la velocidad de escape muy diferentes a las clásicas aquí utilizadas.

Quizás una posible interpretación, en la linea del argumento anterior, sería la siguiente:

Si, desde el punto de vista de un observador A lejano de una masa M, para el que es valida la métrica de Schwarchild, tenemos un observador B, estacionario a una distrancia r,
(es decir, montado en un cohete a plena potencia, para compensar la fuerza gravitatoria de M) tal que $r > R_s$, podemos imaginarnos que B puede enviar un objeto m a A, siempre que, medido por A, su velocidad inicial sea suficientemente alta, siempre cumpliendo que v<c.

Conforme situamos a B a distancias más cercanas a M, cumpliendo siempre que $r > R_s$, las velocidades iniciales necesarias para que el objeto llegue a A se harían más altas, siempre cumpliendo v<c. podemos extrapolar matemáticamente, de forma que si $r \to R_s$, por la derecha, es decir siempre $r > R_s$, entonces $v \to c$, por la izquierda, es decir siempre $v < c$.

Si quisieramos calcular esas velocidades $v$ de escape, para cada punto $r > R_s$, bastaría calcular la trayectoria de la partícula que empieza con velocidad nula en el punbto de A $r_0 \to \infty$, y cae libremente sobre la masa M. La inversa temporal de esta trayectoria es la de la particula que escapa.

Habría que ver cual es la velocidad en $r$ de la geodésica correspondiente. Un buen ejercicio para los expertos en relatividad general del foro.

Saludos

[guibix]

Muchas gracias a todos!

Creo que entiendo. En resumen: el valor de $R_S$ no debería obtenerse a partir de la velocidad de escape newtoniana aunque el resultado sea el mismo.

El razonamiento no es del todo correcto pero sí el resultado.

Seguiré ahondando por si me surge alguna otra duda.

Saludos.

[Richard R Richard]

Antes no tenía claro también porqué, sin haber una barrera física, nada podría salir del horizonte cuyo radio es justamente el de Scharzchild.
No me acuerdo en los relatos de que libro ...El universo en una cáscara de nuez, sino me equivoco el de libro Hawkins o el de Wheeler quizás, dice que uno puede franquear ese horizonte de un AN supermasivo sin percibirlo, (sin espaguetización) en caída libre en un sentido pero no en el otro acelerando
Llamaria poderosamente la atención, si realmente fuera una velocidad de escape, que si solo el hecho de pasar ese radio, digamos desacelerando una nave, que se mantenía en las proximidades del horizonte ni siquiera la luz con su alta velocidad pudiese franquearlo.
Si uno pensara que la fórmula del radio de Scharzchild refiere a que la luz no puede llegar al infinito, podría uno estar tentado a decir que si puede escapar pero en órbitas ,nunca llegará al infinito pero sí más cerca, un simil como un proyectil que no alcance 11km/s volverá a la tierra, nada se dice sobre la trayectoria de los que casi casi alcanzan la velocidad de escape, cuanto más cerca de esa velocidad más tardarán en caer y más lejos de la tierra llegan antes de su regreso. Del mismo modo se podría imaginar la luz pudiendo salir de ese horizonte para volver a caer , sin que los observadores lejanos la detecten , puesto que no hay nada que la pueda acelerar cuando esta fuera del horizonte, hace su órbita y regresa , pero así jamás se ha explicado al horizonte, esa imagen mental debe resultar falsa.

Pero sí me han explicado que la curvatura en el horizonte es tan grande, que las tres direcciones espaciales son tangentes a la superficie imaginaria de una esfera de ese radio del horizonte y la luz no escapa porque no hay dirección de escape, y esto no tiene nada que ver con la fórmula newtoniana de la velocidad de escape.

Asumo entonces que es una mera coincidencia formulística y no refleja para nada la misma mecánica de un escape.

[javisot20]

Si uno pensara que la fórmula del radio de Scharzchild refiere a que la luz no puede llegar al infinito, podría uno estar tentado a decir que si puede escapar pero en órbitas ,nunca llegará al infinito pero sí más cerca, un simil como un proyectil que no alcance 11km/s volverá a la tierra, nada se dice sobre la trayectoria de los que casi casi alcanzan la velocidad de escape, cuanto más cerca de esa velocidad más tardarán en caer y más lejos de la tierra llegan antes de su regreso.

Hola Richard, intentaba entender esta parte "nunca llegará al infinito pero sí más cerca",
un proyectil en la tierra no puede tardar un tiempo infinito en volver a caer salvo que estrictamente iguale o supere la velocidad de escape. ¿Si hablamos de no igualar la velocidad de escape pero estar cada vez más cerca debe converger?, se puede estar cada vez más cerca de la velocidad de escape y tardar más tiempo en caer pero en cantidades cada vez más pequeñas, ¿no?

[Alriga]

...¿Si hablamos de no igualar la velocidad de escape pero estar cada vez más cerca debe converger?, se puede estar cada vez más cerca de la velocidad de escape y tardar más tiempo en caer pero en cantidades cada vez más pequeñas, ¿no?...

Claro. Si la velocidad es menor a la de escape, en mecánica newtoniana la trayectoria es cerrada, es un círculo o una elipse (excentricidad $0 \leq e <1$) cuyo eje mayor puede ser arbitrariamente grande, por lo tanto el tiempo de "subida y bajada" también puede ser arbitrariamente grande (aunque finito) si la velocidad se acerca mucho a la de escape.

En el límite cuando la velocidad es exactamente la de escape, la excentricidad es $e=1$ la elipse "se abre" y se convierte en una parábola. Para velocidades superiores a la de escape, la trayectoria es hiperbólica. Tal vez te interese repasar el artículo Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas y sus comentarios.

Saludos.

[carroza]

Hola.

He intentado buscar las solucones del problema de una partícula que cae sobre una masa, en la dirección radial, pero aunque tengo las ecuaciones de la geordésica en la Wikipedia, no he encontrado la solución explícita que me de v(r), visto desde el observador lejano que vé la métrica de Schwarzchild.

Sin embargo, hay un caso limite que es interesante: Si dejamos caer una partícula sobre una masa M, la veremos inicialmente como acelera, según las leyes de Newton. No obstante, conforme la vemos acercarse al radio $R_s$, la contracción del tiempo juega su papel, y la veremos (desde nuestro sistema) moverse cada vez más lento, de forma que queda congelada en la proximidades de $R_s$. Por tanto, para nuestro sistema, que tiene la métrica de Schwarzchild, la velocidad de todas las partículas que caen radialmente, se hace cero.

Ahora invertimos, mentalmente, la dirección del tiempo. Encontraremos que partículas próximas a $R_s$, con velocidades prácticamente nulas (desde nuestro sistema de referencia), en dirección hacia el exterior, pueden acelerar inicialmente, y luego frenarse, conforme entran en el régimen Newtoniano, para alcanzarnos a nosotros, que estamos a distancias muy grandes de la masa.

Con esto, llegamos al resultado paradójico de que la velocidad de escape, correspondiente a $R_s$, no es c, sino cero! Todo visto, claro está, desde el observador externo, que es el que vé la métrica de Schwarzchild.

Un saludo

[javisot20]

Si que es curioso ese dato, al final decir que la velocidad de escape de Rs es =0 es una manera de decir que no existe velocidad de escape en este caso, no existe velocidad de escape para salir de un agujero negro, claro.

[Richard R Richard]

Hola.

He intentado buscar las solucones del problema de una partícula que cae sobre una masa, en la dirección radial, pero aunque tengo las ecuaciones de la geordésica en la Wikipedia, no he encontrado la solución explícita que me de v(r), visto desde el observador lejano que vé la métrica de Schwarzchild.

En otro hilo, he escrito las dos ecuaciones diferenciales con dos incógnitas, que relacionan la aceleración del tiempo y de la coordenada radial en función de un parámetro. Nunca pude hallar v(t) explicitamente, pero si se pueden graficar poner los valores iniciales que se desean, cuanto mas ajustados a la realidad mejor, hecho eso con juego de valores Delta x y Delta t entre un par se valores Delta lambda del parámetro se puede calcular la velocidad en el tramos y también la aceleración,
Si me hago tiempo resuelvo el problema de ese hilo y lo posteo.
La paradoja se resuelve al mirar en coordenadas propias del móvil o bien con Rindler para el estático. Es claro que deberías llegar a que la aceleración radial decrece con el cuadrado de la coordenada radial, y que la velocidad inicial es siempre superior a la final.Solo lo aclaro para un público no tan avanzado que pudiera leernos a futuro.

Saludos

[guibix]

Por tanto, para nuestro sistema, que tiene la métrica de Schwarzchild, la velocidad de todas las partículas que caen radialmente, se hace cero.

Ahora invertimos, mentalmente, la dirección del tiempo. Encontraremos que partículas próximas a $R_s$, con velocidades prácticamente nulas (desde nuestro sistema de referencia), en dirección hacia el exterior, pueden acelerar inicialmente, y luego frenarse, conforme entran en el régimen Newtoniano, para alcanzarnos a nosotros, que estamos a distancias muy grandes de la masa.

Con esto, llegamos al resultado paradójico de que la velocidad de escape, correspondiente a $R_s$, no es c, sino cero! Todo visto, claro está, desde el observador externo, que es el que vé la métrica de Schwarzchild.

Sí, esto lo vi estudiando precisamente las coordenadas de Rindler, en donde el horizonte se comporta prácticamente igual que al de un agujero negro (AN) en cuanto a "velocidad de caída" observada: todo "se detiene" en el horizonte.

Por otra parte aquí hay otra aparente paradoja: Si los objetos nunca llegan al horizonte, el AN nunca crecería. Evidentemente eso se debe a que consideramos los objetos sin masa. Lo máximo cerca del horizonte que se puede observar un objeto con masa m es hasta una distancia del orden de su propio radio de Schwartzchild $2Gm/c^2.$ O sea, que debido a la contracción espacial, cuando el objeto se encuentra enteramente a una distancia inferior a su propio $R_s,$ el AN aumentará su tamaño en esa misma medida y el objeto desaparecerá por completo dentro del AN.

¿Sería eso correcto?

Porque se me ocurre que con las coordenadas de Rindler podría aproximarse el crecimiento de un AN de tamaño infinito para un observador acelerado a una distancia fija del horizonte que va echando materia en él. Como el crecimiento de un AN solo depende de masa que cae en él y no de su propia masa, un AN de masa infinita debería servir y un observador acelerado a una distancia fija del horizonte tendría una métrica exactamente igual a la de Rindler.

Lo intentaré en algún momento pero estaría bien planteado?

[carroza]

Por otra parte aquí hay otra aparente paradoja: Si los objetos nunca llegan al horizonte, el AN nunca crecería. Evidentemente eso se debe a que consideramos los objetos sin masa. Lo máximo cerca del horizonte que se puede observar un objeto con masa m es hasta una distancia del orden de su propio radio de Schwartzchild $2Gm/c^2.$ O sea, que debido a la contracción espacial, cuando el objeto se encuentra enteramente a una distancia inferior a su propio $R_s,$ el AN aumentará su tamaño en esa misma medida y el objeto desaparecerá por completo dentro del AN.

¿Sería eso correcto?

Porque se me ocurre que con las coordenadas de Rindler podría aproximarse el crecimiento de un AN de tamaño infinito para un observador acelerado a una distancia fija del horizonte que va echando materia en él. Como el crecimiento de un AN solo depende de masa que cae en él y no de su propia masa, un AN de masa infinita debería servir y un observador acelerado a una distancia fija del horizonte tendría una métrica exactamente igual a la de Rindler.

Lo intentaré en algún momento pero estaría bien planteado?

Hola. En algun momento discutimos esta cuestión en el foro. Aunque el tiempo que tarda un objeto (de masa despreciable) en llegar al radio $R_s$ es i nfinito, el tiempo que tarda en llegar a, digamos, $R_s \times (1.000000001)$ es finito. Creo que el tiempo para llegar a $R$ va como $\log(R/R_s)$. Esto, unido al corrimiento al rojo de la radiación, hace que, tras un tiempo finito no demasiado largo, dejemos de percibir al objeto que cae, ya que la radiación que de el nos llega es demasiado débil.

Adicionalmente, está el hecho que indicas de que la caida constante de materia, hace aumentar constantemente la masa M en las proximidades del objeto, y con ella la curvatura. Sin embargo, no me parece obvio que directamente podamos aumentar la masa de la singularidad M, usdando directamente la métrica de Scwarzchild. La distribucion de materia que aquí consideramos es la de la singularidád, en R=0, más la masa que esté en el disco de acreción, en $R = R_s$.

El tema de usar Rindler, con una masa infinita, da un poco de vértigo. Imagino que puedes modelar un agujero negro grande, tipo el agujero central de Sagitario A*, en las proximidades del horizonte de sucesos, pero evitar los infinitos.

Un saludo

[guibix]

El tema de usar Rindler, con una masa infinita, da un poco de vértigo. Imagino que puedes modelar un agujero negro grande, tipo el agujero central de Sagitario A*, en las proximidades del horizonte de sucesos, pero evitar los infinitos.

Bueno, supongo que pienso en un AN con el límite de masa que tiende a infinito porqué eso convierte el horizonte de sucesos en uno idéntico al de Rindler y la simetría esférica del AN se alinea en una sola dirección, la perpendicular al horizonte . Eso no debería ser un problema (a parte del vértigo) porque no aparece ningún otro infinito a tratar. Incluso la gravedad no cambia con masas arbitrariamente grandes y solo depende de la distancia al horizonte (o eso me parece a mi, jeje). Pues por grande que sea la masa, el centro de masa se aleja en la misma medida. La gravedad debería ser finita y debería ser proporcional al inverso de la distancia al horizonte (coordenadas de Rindler). Pero por infinito que sea el radio, ese siempre aumentará su tamaño en proporción a la masa que se le añada.

No es que busque un AN infinito, es que si quiero aproximar la cercanía del horizonte con observadores en reposo con respecto del AN y quiero usar a Rindler, solo se me ocurre que eso sucede en el límite que el AN tiene radio infinito. De hecho, en coordenadas de Rindler no hay singularidad porqué esa quedaría al infinito. Para un observador que cae en ese AN tiende a ser un SRI cuando el radio o masa tiende a infinito, pues nunca alcanzará la singularidad y nunca notaría curvatura alguna.

A lo mejor me estoy desviando del tema del hilo. Al tener fresco el tema debido a nuestros últimos debates no he podido evitar mencionarlo aquí.

Saludos!

[javisot20]

Por otra parte aquí hay otra aparente paradoja: Si los objetos nunca llegan al horizonte, el AN nunca crecería.

Pregunto, ¿visto por quién, o es independiente?, un observador alejado puede decir que otro observador moviéndose hacia un horizonte de sucesos nunca llega al horizonte.
¿Coincide con lo que dice el observador más cercano al horizonte?