tiempo en la tierra y en la nave espacial

[China]

Buenas, necesitaría aclarar algunas cosas sobre este problema:

"Supongamos que la nave Nostromo, desde que partió de la Tierra, va a estar viajando durante 55102 años, siempre en la misma dirección, a una velocidad media constante de 39200 km/h durante todo su recorrido, hasta que se estrellará en un planeta desconocido que encontrará en su trayectoria. Consideremos que la civilización que vivirá en la Tierra en esa época pudiera tener una tecnología que le permitiera a las naves espaciales desplazarse a velocidades próximas a la mitad de la velocidad de la luz, y por tanto en esos viajes se producirían efectos relativistas. Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a suponer que un astronauta de 26 años, casado con una mujer de 25 y con la que tenía un hijo de 2 años, formaría parte del equipo de otra nave llamada Pegasus que viajaría siempre en la misma dirección, y siguiendo la misma trayectoria que la Nostromo, hasta llegar al planeta desconocido para explorarlo durante un tiempo equivalente a 1 año terrestre y después volvería a la Tierra donde su mujer e hijo le esperarían.
Suponed despreciables los tiempos empleados en las aceleraciones para despegues y aterrizajes. Consideren el tiempo de estancia en el planeta desconocido equivalente a 1 año terrestre. Tengan en cuenta el tiempo de los viajes de ida y vuelta, que realizará ambos a la misma velocidad constante. La trayectoria seguida por la nave Pegasus en los viajes de ida y vuelta es la misma, Suponer que cuando inicia el viaje de vuelta el planeta desconocido estaba en la misma posición que cuando había llegado a él"

Entiendo el planteamiento, Edad mujer = Edad hombre y yo pondría: $25+ t= 26 +$

[Richard R Richard]

Buenas, necesitaría aclarar algunas cosas sobre este problema:

"Supongamos que la nave Nostromo, desde que partió de la Tierra, va a estar viajando durante 55102 años, siempre en la misma dirección, a una velocidad media constante de 39200 km/h durante todo su recorrido, hasta que se estrellará en un planeta desconocido que encontrará en su trayectoria.

Esta parte trata de que forme la idea de cual es la distancia euclídea o newtoniana entre los dos planetas , sin ninguna connotación relativista

$D'=v_N\cdot t_N =1000m/km39200km/h24h/d365.25d/a55102a=18934545974400000m\cong\notcien{1.89}{16}m$

Consideremos que la civilización que vivirá en la Tierra en esa época pudiera tener una tecnología que le permitiera a las naves espaciales desplazarse a velocidades próximas a la mitad de la velocidad de la luz, y por tanto en esos viajes se producirían efectos relativistas. Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a suponer que un astronauta de 26 años, casado con una mujer de 25 y con la que tenía un hijo de 2 años, formaría parte del equipo de otra nave llamada Pegasus que viajaría siempre en la misma dirección, y siguiendo la misma trayectoria que la Nostromo, hasta llegar al planeta desconocido para explorarlo durante un tiempo equivalente a 1 año terrestre y después volvería a la Tierra donde su mujer e hijo le esperarían.

Aqui sí hay que tener en cuenta los efectos relativistas.
Pero ,¿que es lo que están preguntando? ¿cual es la incógnita del problema?,¿ la edad que tiene la mujer o su hijo cuando ocurra su regreso?

$t'=\gamma t=\dfrac{t}{\sqrt{1-\dfrac{\left(\frac{c}{2}\right)^2}{c^2}}} =t\cdot 1,1547$

para el viajero la distancia al planeta se reduce a $D=\dfrac{D'}{\gamma}$ entonces el viaje de ida dura $t=\dfrac{D'}{\gamma v}$

para la tierra el tiempo de ida es $t'=\dfrac{\gamma D'}{\gamma v}=\dfrac{D'}{v}$

así que como cuando llega al planeta está en reposo con la tierra el tiempo transcurre igual por lo que las edades al regreso serán

$E_h=26+2t+1$

$E_m=25+2t'+1$

Recuerda de usar correctamente las unidades $c=299792458m/s$ y que el tiempo $t$ o $t'$ que obtienes está en segundos, no en años para calcularlo en años debes dividir por $3600s/h24/d365.25d/a=31557600s/a$

Suponed despreciables los tiempos empleados en las aceleraciones para despegues y aterrizajes. Consideren el tiempo de estancia en el planeta desconocido equivalente a 1 año terrestre. Tengan en cuenta el tiempo de los viajes de ida y vuelta, que realizará ambos a la misma velocidad constante. La trayectoria seguida por la nave Pegasus en los viajes de ida y vuelta es la misma, Suponer que cuando inicia el viaje de vuelta el planeta desconocido estaba en la misma posición que cuando había llegado a él"

Entiendo el planteamiento, Edad mujer = Edad hombre y yo pondría: $25+ t= 26 +$

Estas son solo aclaraciones para fijar que tipo de calculos puedes o no hacer.
Edito

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Cuando regresa los dos tienen aproximadamente la misma edad 34 años

[China]

Hola Richard, no se que ha pasado que como habrás visto el mensaje inicial está cortado, no se han guardado las dudas que planteaba ni las preguntas que se hacen en el problema:
Yo ahí explicaba los pasos que dan en la resolución que yo tengo, y la primera pregunta que plantean es la velocidad a la que viaja la nave para que las edades de ambos sean iguales a la vuelta, por tanto la velocidad es desconocida, por ello no entiendo que pinta la velocidad c/2 que da el enunciado (verdad es que el resultado es 1,41 exp(8), prácticamente la mitad de c) ¿Qué sentido tiene que den la v y la pidan?? el resultado del apartado b que es la edad , resulta aprox la que te sale a ti, 34 años...
Una de mis dudas es por qué se suma el año terrestre a ambas edades, si ya se están sumando los tiempos correspondientes, ese año no se por qué se suma en las dos edades.
Otra era que en la resolución que tengo pasaban la distancia a años luz que salía 2,016 años luz y a partir de ahí se afirma que la distancia al planeta es 2c, ni idea por qué, no lo entiendo.
Ya siento que no se enviase el texto completo, disculpas..

[Richard R Richard]

Hola, cuando hice el calculo con c/2 dio aproximadamente 34 años para cada uno, dije aproximadamente, pero para ser certeros al decir exactamente la misma edad, habría que saber la fecha y hora de nacimiento de ambos para que podamos tener una idea del Delta t de tiempo necesario de desfase entre el viajero y la residente, (es muy vaga la referencia a la edad en años dada la poca diferencia entre ambos) con eso hacer la operatoria inversa a la que hice y te dará algo parecido a c/2 aunque no exactamente.
Opino que c/2 no es la respuesta a la pregunta , sino que es parecido, o quizá se trate de alguna errata.

Respecto a la resolución yo la hice tomado el tiempo en segundos, pero es válido también resolver usando el tiempo en años, se trata solo de una conversión simple de unidades y 2.016 años luz multiplicado por $9,46 \times10^{15} m$ que es un año luz expresado en metros debería darte D' la distancia vista desde tierra.

La distancia al planeta no puede ser 2c ya que c es una medida de velocidad a lo sumo es 2 debe tener unidades, si tienes el enunciado completo cópialo y pégalo como texto

[China]

Supongamos que la nave Nostromo, desde que partió de la Tierra, va a estar viajando durante 55102 años, siempre en la misma dirección, a una velocidad media constante de 39200 km/h durante todo su recorrido, hasta que se estrellará en un planeta desconocido que encontrará en su trayectoria. Consideremos que la civilización que vivirá en la Tierra en esa época pudiera tener una tecnología que le permitiera a las naves espaciales desplazarse a velocidades próximas a la mitad de la velocidad de la luz, y por tanto en esos viajes se producirían efectos relativistas. Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a suponer que un astronauta de 26 años, casado con una mujer de 25 y con la que tenía un hijo de 2 años, formaría parte del equipo de otra nave llamada Pegasus que viajaría siempre en la misma dirección, y siguiendo la misma trayectoria que la Nostromo, hasta llegar al planeta desconocido para explorarlo durante un tiempo equivalente a 1 año terrestre y después volvería a la Tierra donde su mujer e hijo le esperarían. Supongan ustedes despreciables los tiempos empleados en las aceleraciones para despegues y aterrizajes. Consideren el tiempo de estancia en el planeta desconocido equivalente a 1 año terrestre. Tengan en cuenta el tiempo de los viajes de ida y vuelta, que realizará ambos a la misma velocidad constante. La trayectoria seguida por la nave Pegasus en los viajes de ida y vuelta es la misma, Suponer que cuando inicia el viaje de vuelta el planeta desconocido estaba en la misma posición que cuando había llegado a él.
1. Calcular a qué velocidad, en m/s, se desplazaría la nave Pegasus para que el astronauta y su mujer tuvieran la misma edad cuando él regrese.
2. ¿Cuál sería la edad, en años, de la mujer y la de su hijo cuando el astronauta volvió a la Tierra? Datos: VLUZ = c = 3•108 m/s ; 1 año = 365 días.

[China]

Ese es el enunciado completo, pero me puedes decir porque hay que sumar uno a la edad de la tierra y a la de la nave??

[Richard R Richard]

Hola. Ahora sí te confirmo que $c/2$ no es un dato para calcular nada del problema , solo sirve para que la velocidad que obtengas pueda ser cotejar y esté en ese rango, es como que te digan que tu auto puede viajar normalmente a 100km/h y tu viaje lo harás a 99 km/h para que te cierre el enunciado.

entonces usa el redondeo de $c$ a de $\notcien{3}{8}m/s$ y 365 días por año para calcular $D'$ y $t'$.

Ahora vamos por la edad, tienes que suponer que la diferencia de edades de piloto y mujer es exactamente 1 año es decir 26-25 años ,no hay mas datos.
Ahora en que consiste el viaje ,

• en un viaje de ida a velocidad relativista incógnita.
• luego sigue un año de exploración del planeta similar a la tierra , así que el tiempo allí transcurre, allí a la misma tasa que en la tierra. Si el hombre pasa un año allí también pasa un año en la tierra,por eso lo sumas a la edad de regreso.
• luego un viaje de vuelta a velocidad relativista exactamente igual en duración y distancia al de ida.

Así la edad final del piloto es la edad inicial más dos duraciones de viaje a velocidad $v$ más 1 año que paso en el planeta.

$E_{hf}=E_{hi}+2t+1$

para la mujer su edad final será la inicial más dos duraciones de viaje sin velocidad(en reposo), más un año tiempo similar al usado en la exploración.

$E_{nf}=E_{mi}+2t'+1$

Ahora igualas edades finales

$E_{hi}+2t+1=E_{mi}+2t'+1$

De donde $t'-t=1/2$ año

Además de que $t'=\gamma t$

De allí $\gamma t-t=(\gamma-1)t=\dfrac12$

Como $D=\dfrac{D'}{\gamma}=\dfrac{v_Nt_N}{\gamma}$

La distancia recorrida por el viajero es más corta que la que se observa en la tierra medida por la nave Nostromo $D'=v_Nt_N$ para el piloto su tiempo será, $t=D/v=\dfrac{v_Nt_N}{v\gamma}$

Luego

$(\gamma-1)\dfrac{v_Nt_N}{v\gamma}=\dfrac12$

donde $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

y ahora hay que despejar $v$ (una cuadrática o una simplificación) y tienes el primer punto.
Para el segundo solo hay que reemplazar $v$ y calcular $t$ o $t'$ y reemplazar en las fórmulas iniciales.

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$k=\dfrac12 365\cdot24\cdot 3600 s$

$D'=v_Nt_N=55102a365d/a24h/d39200km/h1000m/km =18921585984000000m$

$v=\dfrac{2k}{D'\left(\dfrac{k^2}{D'^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}$

$v=141176562,86m/s \quad\to\quad v=0.47058c\approx 0.5c$

[Fortuna]

Una cosa curiosa, en el problema en la segunda parte del supuesto, es que si en vez de ser el viajero quien vuelve, es el compañero quien que va a su re-encuentro, en las mismas condiciones, en el encuentro no hay diferencia de tiempos propios transcurridos desde la marcha. Aparentemente, el principio de relatividad no se cumple ya que debería dar lo mismo que sea A quien va a B que B el que va a A. Un análisis un poco más detallado lo aclara. A mí me gusta hacerlo usando el efecto doppler relativista pero hay quien lo ve más claro con diagramas de Minkowsky.

[Richard R Richard]

Aparentemente, el principio de relatividad no se cumple ya que debería dar lo mismo que sea A quien va a B que B el que va a A.

Hola Fortuna , el principio de relatividad se cumple, este problema es el caso típico de la paradoja de los gemelos con una variante mínima, el gemelo que no envejece es el que acelera. Decimos que acelera cuando tiene que frenar para estudiar el planeta y acelera para emprender el regreso.

En este problema es el hombre el que acelera las dos veces y rompe la simetría, es él el que envejece menos por lo que su mujer lo alcanza en edad.

En cambio si cada uno ejecuta un viaje y se reencuentran en el planeta y no en la tierra, la simetría se recupera y los dos envejecerían la misma cantidad de tiempo, por lo tanto su diferencia de edades permanecería inalterada al fin de los dos viajes.

[China]

Hola, nada que no llego al resultado, a partir de la ecuación que Richard deja, he intentado poner todo en función de v, en las ecuaciones que pongo a continuación lo que llamo L0=Vntn es decir es la distancia conocida desde la tierra al planeta, de modo que la única incógnita que queda es v y no llego, una manita porfa..

$(\gamma-1)\dfrac{v_Nt_N}{v\gamma}=\dfrac12$ a partir de aquí me queda $1- \frac{1}{\gamma}=\frac {v}{2L_o}$ y sabiendo que $\frac{1}{\gamma}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ lo sustituyo y opero y llego a $v=\frac{4L_0c^2}{c^2+4L_0^2}$

[Richard R Richard]

Partiendo de

$(\gamma-1)\dfrac{v_Nt_N}{v\gamma}=\dfrac12$

vamos simplificando nombres de variables

$(1-\dfrac1\gamma)\dfrac{v_Nt_N}{v}=\dfrac12= k$ ojo con las unidades que sean compatibles

$k=\dfrac12 365\cdot24\cdot 3600 s$

$D'=v_Nt_N=55102a365d/a24h/d39200km/h1000m/km =18921585984000000m$

queda

$(1-\dfrac1\gamma)\dfrac{D'}{v}= k$

paso de términos

$(1-\dfrac1\gamma)= k\dfrac{v}{D'}$

reemplazo $\gamma$ en función de $v$

$(1- k\dfrac{v}{D'})=\dfrac1\gamma=\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$

elevo al cuadrado cada miembro

$(1- k\dfrac{v}{D'})^2=1-\dfrac{v^2}{c^2}$

factorizo y simplifico

$\cancel1- 2k\dfrac{v}{D'}+k^2\dfrac{v^2}{D'^2}=\cancel1-\dfrac{v^2}{c^2}$

acomodo signos y paso de miembro

$- 2k\dfrac{v}{D'}+k^2\dfrac{v^2}{D'^2}=-\dfrac{v^2}{c^2}$

entonces $v=0$ o simplificando $v$

$\dfrac{2k}{D'}-k^2\dfrac{v}{D'^2}=\dfrac{v}{c^2}$

$\dfrac{2k}{D'}=k^2\dfrac{v}{D'^2}+\dfrac{v}{c^2}$

$\dfrac{2k}{D'}=v\left(k^2\dfrac{1}{D'^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)$

despejo $v$

$v=\dfrac{2k}{D'\left(\dfrac{k^2}{D'^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}$

el resto es calcular con las unidades correctas.