1r ciclo Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

[SCHRODINGER27]

Hola, tengo problemas con el siguiente ejercicio:


Un espacio-tiempo está descrito por el siguiente elemento de línea (con c=1 unidades):

$ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2-(2+cos(u))cos(u)dt^2$ $+2(1+cos(u))cos(u)dtdx-cos^2(u)dx^2$

donde $u=t-x$. ¿Qué podemos decir del campo gravitatorio descrito por esta métrica?


Yo he empezado escribiendo la matriz de la métrica:

$\begin{pmatrix} -(1+2cos(u)+cos^2(u))&2cos(u)+2cos^2(u)&0&0 \\ 2cos(u)+2cos^2(u)&1-cos^2(u)&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

Y lo único que se me ocurre es que, cuando el coseno se anula, nos queda la métrica de Minkowski diag(-1,1,1,1). Además, también decir que la métrica no es permanente, pues va oscilando, así como decir que en los ejes y y z, el campo gravitatorio es simétrico. No sé qué más decir o si lo dicho es correcto...

Gracias de antemano

[saturno]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Mira a ver que pasa con los conos nulos, el tensor de curvatura, los símbolos de christoffel, las geodésicas... Recuerda que en el espacio de minkowski no hay curvatura, luego por ende no se puede hablar de "gravedad".

[SCHRODINGER27]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Según el profesor, no hay calcular símbolos de Christoffel por ser muy largo, aún así, ¿a qué conclusión se llegaría?

[carroza]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Hola.

Yo diría (aunque no estoy seguro) que, como el tensor métrico es sólo función de una coordenada (u=(x-t)), puedo siempre buscar una cierta redefinción de mis coordenadas (x,t), de manera que tenga

x'= a(u) x + b(u) t,
t'= c(u) x + d(u) t,

de forma que en las nuevas coordenaras x', t' la métrica sea la de Minkowski.

En otras palabras, que no hay curvatura ni gravedad, solo una selección complicada de las definciones de coordenadas y tiempos.


Saludos

[Richard R Richard]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Y lo único que se me ocurre es que, cuando el coseno se anula, nos queda la métrica de Minkowski diag(-1,1,1,1).

cuando te mueves a velocidad c=1 el la metrica seria isotropica

Además, también decir que la métrica no es permanente, pues va oscilando, así como decir que en los ejes y y z, el campo gravitatorio es simétrico. No sé qué más decir o si lo dicho es correcto...

Gracias de antemano

Coincido que la métrica no crea aceleraciones,no habría entonces gravedad. Muy diferente es la métrica de Schwarzschild

[saturno]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

No es que haya hecho una búsqueda intensiva la verdad, pero la métrica que más se le asemeja es la metrica de Peres. Por eso me gustaría preguntar si esta bien copiada por si te has dejado algo, porque no coincide por un simple +1, de todas formas no vendría a cuento.

Que vaya oscilando puede indicar que sea un tipo de propagación de ondas gravitacionales.

[carroza]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Ahora creo que lo tengo claro. El tensor de curvatura depende de derivadas segundas cruzadas del tensor métrico.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry#In_an_inertial_frame

Si la métrica depende solamente de una coordenada (u=(x-t)), no es posible construir derivadas segundas cruzadas que no se anulen. Por tanto, el tensor de Riemann se anula y no hay curvatura ni gravedad.

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Gracias a todos por vuestras respuestas y sólo deicr a Saturno que está perfectamente copiado, por desgracia. Ya lo tengo claro más o menos, gracias!

[relojdepared]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Y no podria tratarse de una onda gravitacional?

[Richard R Richard]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

Las ondas gravitacionales tienen que tener en algun instante ,la derivada segunda no nula con respecto a la dirección de propagación de la onda, cosa que aqui no sucede pues $u=t-x$

[saturno]

Re: Dada una métrica, qué puedes decir del campo gravitatorio

A mi no me da nulo el tensor de curvatura pues, la componente $R_{0 1 1 0}\neq 0$.