Divulgación Las Transformaciones Vectoriales de Lorentz

[Kinetico]

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Este post presenta las transformaciones vectoriales de Lorentz de tiempo, posición, velocidad y aceleración.


Presentación


Si consideramos dos sistemas de referencia inerciales ( S y S' ) cuyos orígenes coinciden en el tiempo cero ( para ambos sistemas ) entonces el tiempo $( \, {t}' \, )$, la posición $( \, {\mathbf{r}}' \, )$ la velocidad $( \, {\mathbf{v}}' \, )$ y la aceleración $( \, {\mathbf{a}}' \, )$ de una partícula (masiva o no masiva) respecto al sistema de referencia inercial S' están dados por:


${t}' ~=~ \hspace{+0.24em} \gamma \left ( t - \dfrac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right )$


${\mathbf{r}}' ~=~ \hspace{-0.09em} \left [ \; \mathbf{r} + \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \dfrac{( \mathbf{r} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} - \gamma \, \mathbf{V} \, t \; \right ]$


${\mathbf{v}}' \hspace{-0.12em} ~=~ \hspace{-0.12em} \left [ \; \mathbf{v} + \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \dfrac{( \mathbf{v} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} - \hspace{+0.114em} \gamma \, \mathbf{V} \hspace{+0.114em} \; \right ] \dfrac{1}{\gamma \, \left ( 1 - \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right )}$


${\mathbf{a}}' ~=~ \hspace{-0.18em} \left [ \; \mathbf{a} - \dfrac{\gamma}{\gamma + 1} \dfrac{( \mathbf{a} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} + \dfrac{( \mathbf{a} \times \mathbf{v} ) \times \mathbf{V}}{c^2} \; \right ] \dfrac{1}{\gamma^2 \, \left ( 1 - \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right )^3}$


donde $( \, t, \, \mathbf{r}, \, \mathbf{v}, \, \mathbf{a} \, )$ son el tiempo, la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula respecto al sistema de referencia inercial S, $( \, \mathbf{V} \, )$ es la velocidad del sistema de referencia inercial S' respecto al sistema de referencia inercial S y $( \, c \, )$ es la velocidad de la luz en el vacío. $\gamma = ({1 - \mathbf{V} \cdot \mathbf{V}/c^2})^{-1/2}$

Por otro lado, en este caso en particular hay que tener siempre en cuenta que: $( \, c \, )$, $( \, \mathbf{V} \, )$ y $( \, \gamma \, )$ son constantes.


Desarrollo de v' y a'



${\mathbf{v}}' ~=~ \dfrac{{d\mathbf{r}}'}{{dt}'} ~=~ \dfrac{{d\mathbf{r}}'}{{dt}'} \: \dfrac{dt}{dt} ~=~ \dfrac{{d\mathbf{r}}'}{dt} \: \dfrac{dt}{{dt}'} ~=~ \left ( \dfrac{{d\mathbf{r}}'}{dt} \right ) \dfrac{1}{\left ( \dfrac{{dt}'}{dt} \right )}$

${\mathbf{a}}' ~=~ \dfrac{{d\mathbf{v}}'}{{dt}'} ~=~ \dfrac{{d\mathbf{v}}'}{{dt}'} \: \dfrac{dt}{dt} ~=~ \dfrac{{d\mathbf{v}}'}{dt} \: \dfrac{dt}{{dt}'} ~=~ \left ( \dfrac{{d\mathbf{v}}'}{dt} \right ) \dfrac{1}{\left ( \dfrac{{dt}'}{dt} \right )}$

${dt}' ~=~ \hspace{+0.24em} \gamma \left ( dt - \dfrac{d\mathbf{r} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right )$


$\left ( \dfrac{{dt}'}{dt} \right ) ~=~ \hspace{+0.24em} \gamma \left ( 1 - \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right )$


${d\mathbf{r}}' ~=~ \hspace{-0.09em} \left [ \; d\mathbf{r} + \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \dfrac{( d\mathbf{r} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} - \gamma \, \mathbf{V} \, dt \; \right ]$


$\left ( \dfrac{{d\mathbf{r}}'}{dt} \right ) ~=~ \hspace{-0.09em} \left [ \; \mathbf{v} + \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \dfrac{( \mathbf{v} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} - \gamma \, \mathbf{V} \; \right ]$


${d\mathbf{v}}' ~=~ \Big [ \; d\mathbf{m} \cdot n - \mathbf{m} \cdot dn \; \Big ] \: \dfrac{1}{n^2}$


$\mathbf{m} ~=~ \hspace{-0.18em} \left [ \; \mathbf{v} + \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \dfrac{( \mathbf{v} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} - \hspace{+0.114em} \gamma \, \mathbf{V} \hspace{+0.114em} \; \right ]$


$d\mathbf{m} ~=~ \hspace{-0.18em} \left [ \; d\mathbf{v} + \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \dfrac{( d\mathbf{v} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} \; \right ]$


$n ~=~ \hspace{-0.18em} \left [ \; \gamma \, \left ( 1 - \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right ) \; \right ]$


$dn ~=~ \hspace{-0.18em} \left [ \; - \, \gamma \, \dfrac{d\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \; \right ]$


$\left ( \dfrac{{d\mathbf{v}}'}{dt} \right ) ~=~ \hspace{-0.18em} \left [ \; \mathbf{a} - \dfrac{\gamma}{\gamma + 1} \dfrac{( \mathbf{a} \cdot \mathbf{V} ) \, \mathbf{V}}{c^2} + \dfrac{( \mathbf{a} \times \mathbf{v} ) \times \mathbf{V}}{c^2} \; \right ] \dfrac{1}{\gamma \, \left ( 1 - \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2} \right )^2}$


Reglas y Propiedades


Derivada del cociente $:\;\;\;\; \mathbf{a} ~=~ \dfrac{\mathbf{m}}{n} \hspace{+0.75em} \rightarrow \hspace{+0.75em} d\mathbf{a} ~=~ \Big [ \; d\mathbf{m} \cdot n - \mathbf{m} \cdot dn \; \Big ] \: \dfrac{1}{n^2}$


Regla de la expulsión $:\;\;\;\; \mathbf{a} \times ( \, \mathbf{b} \times \mathbf{c} \, ) ~=~ \mathbf{b} \, ( \, \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \, ) - \mathbf{c} \, ( \, \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \, )$


Anticonmutatividad $:\;\;\;\; ( \, \mathbf{a} \times \mathbf{b} \, ) ~=~ - ( \, \mathbf{b} \times \mathbf{a} \, )$


Links


https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation

https://arxiv.org/abs/physics/0507099

https://arxiv.org/abs/physics/0702191


Nota


En algunos links anteriores, si la velocidad del sistema de referencia inercial S' respecto al sistema de referencia inercial S no es igual a cero $( \, \mathbf{V} \ne 0 \, )$ entonces:


$\dfrac{\gamma - 1}{\mathbf{V}^2} ~=~ \dfrac{\gamma^2}{\gamma + 1} \, \dfrac{1}{c^2} \hspace{+2.40em} ( \: \mathbf{V}^2 = \mathbf{V} \cdot \mathbf{V} \: )$


donde $( \, c \, )$ es la velocidad de la luz en el vacío y $\gamma = ({1 - \mathbf{V} \cdot \mathbf{V}/c^2})^{-1/2}$


Saludos.

[Schwarze97]

Re: Las Transformaciones Vectoriales de Lorentz

Maravillosos estos posts divulgadores para los que aún no estamos tan avanzados.

[Kinetico]

Re: Las Transformaciones Vectoriales de Lorentz

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Agrego otros links relacionados con las transformaciones vectoriales de Lorentz:


https://it.wikipedia.org/wiki/Compos...elle_velocità

https://en.wikipedia.org/wiki/Velocity-addition_formula

https://users.physics.ox.ac.uk/~smit...otes/rel_A.pdf

https://physics.unm.edu/Courses/Finl...ostTransfs.pdf


Saludos.


P/D: Gracias, Schwarze97. Espero que esta información te sea de utilidad.