2o ciclo Partícula relativista

[Marcos Castillo]

Aupa he resuelto la primera parte de un ejercicio, pero la segunda se me resiste. Lo escribo :
"Demostrar que la velocidad $v$ de una partícula de masa $m$ y energía total $E$ es $v/c=[1-((mc^2)^2/E^2]^{1/2}$ y que, cuando la energía $E$ es mucho mayor que $mc^2$, es válida la aproximación $v/c=1-((mc^2)/2E^2)$. ¿Esta última fórmula cómo se obtiene?. Un saludo!

[Richard R Richard]

Re: Partícula relativista

Has probado con aproximar la funcion $v/c=[1-((mc^2)^2/E^2]^{1/2}$ por medio de un polinomio de Taylor...$v=f(E)$

$f_{(x)}=f_{(x_0)}+f'_{(x_0)}(x-x_0)<br /> +f''_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^2}{2!}<br /> +\ldots+f^{(n)}_{(x_0)}<br /> \dfrac {(x-x_0)^n}{n!}<br />$

Saludos

[Marcos Castillo]

Re: Partícula relativista

$T(x)=[1-((mc^2)^2/0]^{1/2}...$ El primer término me sale infinito. He elegido 0 por pensar que iba a ser más sencillo. ¿Es cuestión de elegir otro valor?.

[Richard R Richard]

Re: Partícula relativista

?Porque haces tender a 0 a la energia E si el enunciado te dice que es más grande que $mc^2$
Asigna a E un valor $E_0$ tal que $E_0\gg mc^2$

[Breogan]

Re: Partícula relativista

Hola:

Aupa he resuelto la primera parte de un ejercicio, pero la segunda se me resiste. Lo escribo :
"Demostrar que la velocidad $v$ de una partícula de masa $m$ y energía total $E$ es $v/c=[1-((mc^2)^2/E^2]^{1/2}$ y que, cuando la energía $E$ es mucho mayor que $mc^2$, es válida la aproximación $v/c=1-((mc^2)/2E^2)$. ¿Esta última fórmula cómo se obtiene?. Un saludo!

Es como te dice Richard, pero tenes que hacer algunos pasos previos.
No se nada de relatividad pero voy a jugar un poco con las ecuaciones.

La ecuación original es:

$\dst v/c=[1-((mc^2)^2/E^2]^{1/2}$

Entramos E dentro del parentesis:

$\dst v/c=\left[ 1-\left( \frac {mc^2}{E} \right)^2 \right] ^{1/2}$

Ahora hacemos el cambio de variable $\dst u = \frac {mc^2}{E}$, resultando que cuando:

$\dst E \gg mc^2 \quad \Rightarrow \quad \frac {mc^2}{E} \to 0 \quad o \quad u \to 0$

Por lo cual la ecuación en u que nos queda:

$\dst f(u)=v/c=\left[ 1-u^2 \right] ^{1/2}$

la podemos desarrollar alrededor del punto u₀=0:

$$\dst f(u) = f(u_0) + \left. \frac {f'(u)}{1!} \right|_{u=u_0}\ (u-u_0) + \left. \frac {f''(u)}{2!} \right|_{u=u_0}\ (u-u_0)^2 + R_3[f(u)]$$

solo incluí hasta la 2º derivada que es lo que nos interesa en este problema.

$\dst f(u_0) = 1$

$\dst f'(u_0) = 0$

$\dst f''(u_0) = -1$

por lo cual, si no me equivoque, la ecuación (1) queda:

$$\dst f(u) = 1 - \frac 1 2 \ u^2 + R_3[f(u)]$$

Ahora deshacemos el cambio de variables anterior:

$$\dst f(E) =v / c = 1 - \frac 1 2 \ \left( \frac {mc^2}{E} \right)^2 + R_3[f(u)]$$

R3[f(u)] es el resto en el desarrollo de Taylor que tiende a cero cuando u tienda a cero, o sea que:

$\dst Cuando \ E \gg mc^2 \quad \Rightarrow \quad \frac {mc^2}{E} \to 0 \quad o \quad u \to 0 \quad \Rightarrow \quad R_3[f(u)] \to 0 \quad y \quad v/c$$\dst = 1 - \frac 1 2 \ \left( \frac {mc^2}{E} \right)^2$

s.e.u.o.

Suerte

[Marcos Castillo]

Re: Partícula relativista

Muchas gracias, Richard y Breogan, por el cable que me habéis echado. Algún momento espero ser yo quien ayude, cada vez me siento más seguro con esta asignatura. ¡Un saludo!