1r ciclo ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

[alejandrito29]

Hola

Cuando empieza la época de radiación cuyo factor de escala es $~t^{1/2}$??

He leído en algunos textos que empieza desde un comienzo, en otros que empieza a los 1 segundos, en otro a los 10 segundos, y en otros a los 3 minutos.

Saludos.

[Alriga]

Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

Yo diría que esas cifras diversas del comienzo y fin de la era son relativas a que definen "inicio y final de la época de la radiación" en función de diferentes fenómenos físicos, cosas como por ejemplo: "la era de la radiación se inicia con la aniquilación de pares y finaliza con el desacoplamiento de los fotones" o cosas así. Y ahí no entro.

Pero en cambio, si tu pregunta es: ¿Entre que tiempos es válida la aproximación $a=K \cdot \sqrt t$ ?

Eso es fácil, la respuesta es:

-- Desde el "final de la inflación" = "recalentamiento". Aquí hay ciertas discrepancias, pero $t \sim 10^{-32} \ s$

-- Hasta que el error calculándolo con esta fórmula respecto al valor real que se obtiene integrando las ecuaciones completas de Friedman, sea superior al que tú desees aceptar.

Si $Error \leq 2 \%$ $\Rightarrow t \leq 729 \ a\tilde nos$

Si $Error \leq 11.6 \%$ $\Rightarrow t \leq38851 \ a\tilde nos$

Por lo tanto si deseas cometer un error menor del 2% puedes aplicar la fórmula desde $10^{-32} \ s \leq t \leq 729 \ a\tilde nos$

Saludos.

PD: si "t" en segundos, $K \simeq \notcien{1.953857}{-10}$ y por lo tanto $a=\notcien{1.953857}{-10} \cdot \sqrt t$

[alejandrito29]

Re: cuando empieza radiación dominación?

Pero en cambio, si tu pregunta es: ¿Entre que tiempos es válida la aproximación $a=K \cdot \sqrt t$ ?

Eso es fácil, la respuesta es:

-- Desde el final de la inflación. Aquí hay ciertas discrepancias, pero $t \sim 10^{-32} \ s$

$K \simeq \notcien{1.953857}{-10}$

Muchas gracias, sí esa es mi pregunta.

PD: si "t" en segundos, $K \simeq \notcien{1.953857}{-10}$

¿me recomendarías algún libro en que salgan los valores de K,para $a(t)=Kt^{3/2}$??. Y además me diga entre que tiempos son validas las expresiones $a(t)=Kt^{1/2}$, $a(t)=Kt^{3/2}$ y $a(t)=\exp (H(t-t_0))$

[Alriga]

Factor de escala en función del tiempo cosmológico

No he encontrado en ningún libro de los que tengo ni buscando en Internet exactamente lo que pides, así que al final te lo he preparado yo. Lo que sigue es válido para un Universo plano, (curvatura = 0)

Los valores de los ratios de densidad y del parámetro de Hubble que he utilizado, son los de consenso después del análisis de los datos de Planck-2015.


1) Única ecuación de estado: RADIACION

Si t en segundos: $a=\notcien{1.953857}{-10} \ \sqrt{t \ }$

Si t en años: $a=\notcien{1.097602}{-6} \ \sqrt{t \ }$

Intervalo preferente de aplicación:

$10^{-32} \ s \leq t \leq 170000 \ a\tilde nos$


2) Única ecuación de estado: MATERIA

Si t en años: $a=\notcien{1.494045}{-7} \ t^{2/3}$

Intervalo preferente de aplicación:

$170000 \ a\tilde nos \leq t \leq 11550 \ MegaA\tilde nos$

( Nota: observa que el exponente es 2/3 y no 3/2 como tú has escrito por error disléxico-tipográfico )


3) Única ecuación de estado: ENERGIA OSCURA, (Constante Cosmológica)

Si t en años: $a=0.481742 \cdot \exp{(\notcien{5.759292}{-11} \cdot t)}$

Intervalo preferente de aplicación:

$11550 \ Ma \leq t \leq \infty$

En la tabla adjunta, en la segunda columna está el factor de escala “a” exacto calculado mediante las Ecuaciones de Friedmann. En las columnas siguientes, las aproximaciones de ecuación de estado única, con los correspondientes errores relativos.

Ojalá te sea útil, saludos

Tiempo cosmológico (años)	Factor de escala a	RADIACION ( 1 )	% ERROR RADIACION	MATERIA ( 2 )	% ERROR MATERIA	ENERGIA OSCURA ( 3 )	% ERROR ENERGIA OSCURA
8,3E-19	1,0000E-15	1,0000E-15	0,00%
8,3E-07	1,0000E-09	1,0000E-09	0,00%
8,3E-05	1,0000E-08	9,9999E-09	0,00%
8,3E-03	1,0000E-07	9,9993E-08	0,01%
0,829	0,000001	0,000001	0,07%
20,612	0,000005	0,000005	0,34%
323	0,000020	0,000020	1,31%
718	0,000030	0,000029	1,93%
1.948	0,000050	0,000048	3,11%
7.375	0,000100	0,000094	5,74%
40.358	0,000250	0,000221	11,8%
56.016	0,000300	0,000260	13,4%
137.563	0,000500	0,000407	18,6%	0,000398	20,4%
444.476	0,001000	0,000732	26,8%	0,000870	13,0%
5.788.967	0,005000			0,004817	3,7%
16.801.463	0,010000			0,009801	2,0%
192.298.459	0,050000			0,049775	0,4%
545.503.653	0,100000			0,099746	0,3%
1.541.526.868	0,200000			0,199372	0,3%
2.814.143.082	0,300000			0,297802	0,7%
4.278.576.724	0,400000			0,393759	1,6%
5.863.552.436	0,500000			0,485815	2,8%
7.505.449.049	0,600000			0,572728	4,5%	0,742238	23,7%
9.151.719.639	0,700000			0,653681	6,6%	0,816056	16,6%
10.763.885.115	0,800000			0,728355	9,0%	0,895455	11,9%
12.317.381.827	0,900000			0,796849	11,5%	0,979265	8,81%
13.799.001.762	1,000000			0,859532	14,0%	1,066496	6,65%
15.203.580.633	1,100000			0,916912	16,6%	1,156354	5,12%
20.086.210.962	1,500000			1,103983	26,4%	1,531851	2,12%
24.874.216.574	2,000000					2,018252	0,91%
31.803.636.333	3,000000					3,008127	0,27%
36.771.281.978	4,000000					4,004500	0,11%
40.635.956.553	5,000000					5,002794	0,06%
43.797.301.345	6,000000					6,001849	0,03%
46.471.643.667	7,000000					7,001265	0,02%
48.788.938.734	8,000000					8,000872	0,01%
50.833.283.235	9,000000					9,000592	0,01%
52.662.203.334	10,00000					10,00038	0,00%
64.696.357.608	20,00000					19,99946	0,00%
80.605.988.466	50,00000					49,99821	0,00%
92.641.265.007	100,0000					99,99637	0,00%

[alejandrito29]

Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

muchas gracias.

¿como usaste la ecuación de Friedmann para calcular los factores de escala?, por ejemplo para energía oscura.

Pregunto por que la ecuación de Friedmann es:

$\frac{H}{H_0}=\Omega_r a^{-4}+ \Omega_M a^{-3}+ \Omega_\Lambda$

¿me explicarías?, muchas gracias

[Alriga]

Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

... la ecuación de Friedmann es:

$\frac{H}{H_0}=\Omega_r a^{-4}+ \Omega_M a^{-3}+ \Omega_\Lambda$

Observa que te has olvidado de la raíz cuadrada, lo correcto para un universo plano es:

$\dfrac{H(a)}{H_0}=\sqrt{\Omega_{R_0} \ a^{-4}+ \Omega_{M_0} \ a^{-3}+ \Omega_{\Lambda_0}}$

... ¿como usaste la ecuación de Friedmann para calcular los factores de escala?, por ejemplo para energía oscura ...

Por definición del parámetro de Hubble:

$H(a)=\dfrac{\dot a} a$

$\dfrac{da}{dt}=H(a) \cdot a$

$dt=\dfrac{da}{H(a) \cdot a}$

El Parámetro de Hubble:

$H(a)=H_0 \ \sqrt{\Omega_{R_0} \ a^{-4}+ \Omega_{M_0} \ a^{-3}+ \Omega_{\Lambda_0}}$

Para valores del factor de escala "$a$" lo suficientemente grandes:

$$\dfrac{\Omega_{R_0}}{a^4} \simeq 0 \quad \dfrac{\Omega_{M_0}}{a^3} \simeq 0 \ \Rightarrow \ H(a) \simeq H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}$$

Y la integral queda:

$\dst dt = \dfrac 1 {H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}} \int \dfrac{da} a$

Integrando y despejando el factor de escala:

$a(t)=K \cdot \exp(H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}} \ \cdot t)$

$H_0=\notcien{2.1953}{-18} \ s^{-1}$

$\Omega_{\Lambda_0}=0.6911$

Y puedes ajustar la constante de integración K para obtener el valor exacto en un punto. Yo lo he ajustado para obtener:

t=92.641.265.007 años $\Rightarrow$ a=100

Obteniendo $a(t)=0.481742 \cdot \exp{(\notcien{5.759292}{-11} \cdot t)}$ con t en años

Saludos.

[alejandrito29]

Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

Observa que te has olvidado de la raíz cuadrada, lo correcto es:

$\dfrac{H(a)}{H_0}=\sqrt{\Omega_{R_0} \ a^{-4}+ \Omega_{M_0} \ a^{-3}+ \Omega_{\Lambda_0}}$



Por definición del parámetro de Hubble:

$H(a)=\dfrac{\dot a} a$

$\dfrac{da}{dt}=H(a) \cdot a$

$dt=\dfrac{da}{H(a) \cdot a}$

Si $\Omega_{R_0} \simeq \Omega_{M_0} \simeq 0 \ \Rightarrow \ H(a) \simeq H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}$

$\dst dt = \dfrac 1 {H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}} \int \dfrac{da} a$

Integrando y despejando el factor de escala:

$a(t)=K \cdot \exp(H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}} \ \cdot t)$

$H_0=\notcien{2.1953}{-18} \ s^{-1}$

$\Omega_{\Lambda_0}=0.6911$

Y puedes ajustar la constante de integración K para obtener el valor exacto en un punto. Yo lo he ajustado para obtener:

t=92.641.265.007 años $\Rightarrow$ a=100

Obteniendo $a(t)=0.481742 \cdot \exp{(\notcien{5.759292}{-11} \cdot t)}$ con t en años

Saludos.

Muchísimas gracias,y disculpas por tantas preguntas

No deberían sumar 1? $\Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} +\Omega_{\Lambda_0}=1 ?$

Si $\Omega_{\Lambda_0}=0.6911$ y los otros dos son cero, entonces no suman 1.

[Alriga]

Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

... Si $\Omega_{R_0} \simeq \Omega_{M_0} \simeq 0 \ \Rightarrow \ H(a) \simeq H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}$

No deberían sumar 1? $\Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} +\Omega_{\Lambda_0}=1 ?$

Si $\Omega_{\Lambda_0}=0.6911$ y los otros dos son cero, entonces no suman 1.

Ups, sí perdona, es un lapsus, no quería decir eso, lo que quería decir es que:

Si

$$a >> \quad \longrightarrow \quad \dfrac{\Omega_{R_0}}{a^4} \simeq 0 \quad \dfrac{\Omega_{M_0}}{a^3} \simeq 0 \quad \Rightarrow \quad H(a) \simeq H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}$$

Lo corrijo en el post, gracias y saludos.