Otras carreras Diferencia entre cuadrivectores del espacio curvo y del espacio Loretz-Minkowski.

[Gravity]

Buen dia amigos. Quiero saber y disculpen mi ignorancia, la diferencia entre los cuadrivectores del espacio curvo y los cuadrivectores del espacio seudo plano de Lorentz-Minkowski. En el espacio curvo hay aceleración y fuerza, la velocidad es variable y las trayectorias de los cuerpos son curvas (Geodésicas). En el espacio seudo plano la velocidad es constante, el cuadrivector momemtum es constante y éstas diferencias son notables cómo consecuencia. Pero cuando geometricamente se habla que los cuadrivectores covariantes y contravariantes del espacio seudo plano son muy diferentes a los cuadrivectores covariantes y contravariantes del espacio curvo, no comprendo en que son diferentes geométricamente o físicamente, porque matemáticamente no hay dudas ya que depende de la matriz de la transformación de las bases al hacer un cambio de coordenadas. Pero no entiendo, y discúlpen nuevamente mi falta de conocimiento lo de esa diferencia fisico-geométrica entre los cuadrivectores covariantes y contravariantes de ambos espacios curvo y de Lorentz-Minkowski. Lo de esta diferencia entre estos cuadrivectores lo leí en un trabajo de Internet públicado por el Ingeniero Armando Martínez Tellez en su blog de la Teoría de la Relatividad General, pero él no esplica la diferencia.

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre cuadrivectores del espacio curvo y del espacio Loretz-Minkowski.

Bueno quizá no sea muy didáctico lo que te voy a decir, y a que en el foro hay voces mas claras que la mia para explicar, pero vamos por partes...

un espacio curvo es aquel que por el contenido de cualquier clase de energía, (materia o radiación) la métrica no es plana, y la relación entre la curvatura y la energía viene explicada por las ecuaciones de campo de Einstein,*Nota

Un espacio de minkowski lo entiendo como un espacio plano de tres dimensiones espaciales y una temporal, con la característica que la dimensión temporal es hiperbólica

$ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-dt^2$ o $ds^2=dt^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2$

esto es un espacio $\mathbb {R}^3_1$ o $\mathbb {R}^1_3$ plano

el espacio de Lorentz-Minkowski es aquel donde se ha definido la relación entre las variables espacio y tiempo es decir la magnitud ct esta a escala con las espaciales

$ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-c^2dt^2$ o $ds^2=c^2dt^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2$

Ambos espacios son planos....

Para que tengas curvatura el contenido energético debe ser distinto de nulo en alguna región del espacio tiempo.

Hay 2 formas de abordar el tema una es asumir la distribución de energía , resolver inversamente las ecuaciones de campo para ver si hay alguna métrica compatible con esa distribución, o poner condiciones ideales a metricas que representen fenómenos conocido de espacios curvos(Schwarzchild, Kerr, FRLW,etc), y ver que distribuciones de materia y energía son necesarias para obtener ese espacio curvo.
La primera es muy difícil se trata de resolver 10 ecuaciones no lineales con 10 incógnitas en el mejor de los caso, y solo se hacen modelizaciones en base a ordenadores.
La segunda asumiendo algunos criterios, de simetría, homogeneidad en la densidad, etc llevan a resultados muy útiles sorprendentes, y debidamente contrastados con la experiencia.

Ej Métrica de Schwarzchild

$\dd s^2=-c^2(1-\dfrac {2GM}{c^2r}) \dd t^2+\dfrac 1{1-\dfrac {2GM}{c^2r}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2$

es un espacio métrico curvo que es una solución a las ecuaciones de campo de einstein en el vacío para un objeto esférico masivo de densidad constante, y explica como funciona lo que se conocía con el término gravitación.

Métrica FRLW

$\dd s^2= -c^2t^2+\dfrac1{1-kr^2}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)$

también es un espacio métrico curvo basado en los criterios de isotropía y homogeneidad ,la ecuación explica como es posiblemente la geometría del universo.

Ahora bien

Buen dia amigos. Quiero saber y disculpen mi ignorancia, la diferencia entre los cuadrivectores del espacio curvo y los cuadrivectores del espacio seudo plano de Lorentz-Minkowski.

un cuadrivector posición lo puedes definir en cualquier espacio, las relaciones que obtienes al derivarlos y obtener velocidad y aceleración esta influido por la forma de la metrica, el producto escalar en cada espacio es diferente, y esas diferencia marcan lo que es o no posible observaren la realidad.

En los espacios curvos cualquier objeto sigue una linea geodesica, y dependiendo del sistema de referencia del observador, sera posible determinar si hay o no fuerzas actuando y transformar las medidadas de un sistema en las del otro, transformando los vectores.

En el espacio curvo hay aceleración y fuerza, la velocidad es variable y las trayectorias de los cuerpos son curvas (Geodésicas). En el espacio seudo plano la velocidad es constante, el cuadrivector momemtum es constante y éstas diferencias son notables cómo consecuencia.

Correcto, la curvatura dice a la materia como moverse, y a la vez la materia curva el espacio. En ausencia de materia se mueve en lineas rectas, en espacio con materia la linea recta es la geodesia , pero esta e curva y la materia se moverá siguiendo esa curva.La explicación newtoniana será la de su segunda ley y la gravitación.

Pero cuando geometricamente se habla que los cuadrivectores covariantes y contravariantes del espacio seudo plano son muy diferentes a los cuadrivectores covariantes y contravariantes del espacio curvo, .

No hay mucha diferencia en un espacio plano la métrica es la matriz identidad y en los textos se la omite, pero el tratamiento de los cuadrivectores en ambos espacios es el mismo, en el espacio plano las componentes son constantes, o es el 1, pero en los espacios curvos, la relación entre componentes son funciones no lineales de la posición, velocidad etc y las componentes no son constantes si no funciones. la transfomación de un vector en otro se hace multiplicando por la matriz de transformación entre sistemas de referencia.

* Nota hay distribuciones de materia que pueden dar por resultado espacio planos., es decir puede haber curvatura nula aún cuando el contenido de materia energía no lo es.

[Jaime Rudas]

Re: Diferencia entre cuadrivectores del espacio curvo y del espacio Loretz-Minkowski.

un espacio curvo es aquel que por el contenido de cualquier clase de energía, (materia o radiación) la métrica no es plana, y la relación entre la curvatura y la energía viene explicada por lase ecuaciones de campo de Einstein,*Nota

Un espacio de minkowski lo entiendo como un espacio plano de tres dimensiones espaciales y una temporal, con la característica que la dimensión temporal es hiperbólica

$ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-dt^2$ o $ds^2=dt^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2$

esto es un espacio $\mathbb {R}^3_1$ o $\mathbb {R}^1_3$ plano

el espacio de Lorentz-Minkowski es aquel donde se ha definido la relación entre las variables espacio y tiempo es decir la magnitud ct esta a escala con las espaciales

$ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-c^2dt^2$ o $ds^2=c^2dt^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2$

Ambos espacios son planos....

Para que tengas curvatura el contenido energético debe ser distinto de nulo en alguna región del espacio tiempo.
[...]
* Nota hay distribuciones de materia que pueden dar por resultado espacio planos., es decir puede haber curvatura nula aún cuando el contenido de materia energía no lo es.

Así es. Por ejemplo, el modelo cosmológico que mejor se ajusta a lo que observamos es el que corresponde a la métrica de FLRW de espacio plano:

$ds^2=-c^2dt^2+a(x)(dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2)$

que, aunque espacialmente plano, es, según entiendo, espaciotemporalmente curvo.

[Gravity]

Re: Diferencia entre cuadrivectores del espacio curvo y del espacio Loretz-Minkowski.

Gracias amigos. Despejaron todas mis dudas.