Avanzado CÁLCULO de GEODÉSICAS en el ORIGEN para una MÉTRICA

[beliytxuri]

Sea la siguiente métrica:

${ds}^{2}=-{dt}^{2}+{a(t)}^{2}[{dr}^{2}+{f(r)}^{2}({d\theta}^{2}+{\sin}^{2}\theta {d\varphi}^{2})]$, donde $f(r)$ es tal que $f(0)=0$.

Apliquemos la ecuación de las geodésicas:

$\frac{d}{d\tau }({g}_{\alpha\beta }\frac{{dx}^{\beta }}{ d\tau})-\frac{1}{2 }{\partial}_{\alpha }{g}_{ \mu\nu}\frac{{dx}^{ \mu}}{ d\tau}\frac{{dx}^{ \nu}}{ d\tau} = 0$

para el caso, por ejemplo, de $\alpha=\varphi$.

Como ningún factor de la métrica depende de $\varphi$, el sumando que incluye ${\partial}_{ \varphi}$ es nulo. Además, como la métrica es diagonal, la ecuación de las geodésicas queda reducida a:

$\frac{d}{d\tau }({g}_{\varphi\varphi }\frac{d\varphi}{ d\tau}) = 0$, donde ${g}_{ \varphi\varphi}={a(t)}^{2 }{f(r)}^{2 }{\sin}^{ 2}\theta$

Para una partícula libre situada en el origen (recordemos que $f(0)=0$), ¿cuál sería su geodésica para la componente $\varphi$?

Se deduce de arriba que ${g}_{\varphi\varphi }\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d\tau} } = cte$, pero ${g}_{\varphi\varphi }=0$ en el origen.
¿Cómo se puede llegar a la conclusión de que $\varphi=cte$, que es lo que parece más natural?

Como siempre, muchas gracias.

[Alriga]

Re: CÁLCULO de GEODÉSICAS en el ORIGEN para una MÉTRICA

Yo no domino para nada estos temas, pero veo que la métrica que expones coincidiría con la métrica FLRW en el caso particular en el que tu $f(r)^2 \equiv r^2$ y la curvatura k de la FLRW sea nula k=0

En este documento, a partir de la página numerada como 23, explica como se obtienen las geodésicas de la métrica FLRW utilizando los Símbolos de Christoffel y la ecuación de las geodésicas:

$\dfrac{d^2 x^{\mu}}{d\tau^2}+\Gamma_{\beta \gamma}^{\alpha} \ \dfrac{d x^{\beta}}{d\tau} \ \dfrac{d x^{\gamma}}{d\tau}=0$

Échale un vistazo a ver si te ayuda: Gravitación y métricas de la Relatividad General

Saludos.

[beliytxuri]

Re: CÁLCULO de GEODÉSICAS en el ORIGEN para una MÉTRICA

Las geodésicas sí que las tengo calculadas. Por ejemplo:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d\tau}}( {g}_{\varphi\varphi } \frac{\mathrm{d\varphi} }{\mathrm{d\tau} }) = 0$

Lo que no llego es a la conclusión de que $\varphi=cte$, partiendo de dicha ecuación.