1r ciclo Velocidad de una partícula

[EliotMV]

Hola, llevo unos días dándole vueltas a este problema:

Supongamos que se deja caer una partícula por un pozo que atraviesa la Tierra.

a) Calcula la velocidad cuando pasa por el centro de la Tierra desde un punto de vista de la Física Newtoniana.
b) Lo mismo, pero desde un punto de vista de la Física Relativista.

El primer apartado, si no estoy equivocado, la velocidad en el centro de la Tierra es wR, (w velocidad angular y R el radio de la Tierra), al comportarse como un oscilador armónico. El problema viene en el apartado b), soy incapaz de dar con la solución.

Gracias de antemano!

[angel relativamente]

Re: Velocidad de una partícula

Hola Eliot. Es verdad que desde un observador externo la velocidad angular tiene sentido, pero desde un observador solidario a la Tierra, ¿por qué utilizas la velocidad angular? Piensa que si la partícula lleva una velocidad en el centro de la Tierra es porque esta partícula ha estado cayendo hacia el mismo, sufriendo una aceleración debido a efectos únicamente gravitatorios y despreciando por tanto la rotación terrestre.

Saludos,

[Richard R Richard]

Re: Velocidad de una partícula

Hola Elliot

Como dice angel para que la partícula caiga en el pozo y llegue al centro de la tierra debes despreciar la rotación, de otro modo la velocidad tangencial hace que toque las paredes del pozo.



Sabes que la aceleración está dada por la cantidad de masa terrestre que queda entre la posición y el centro de la tierra, y no por lo que hay por arriba, así

$$a=\frac{\partial^2 r}{\partial t^2}=-\dfrac{GMr}{R^3}$$

ecuación diferencial que resuelves como una sinusoide en función del tiempo.


Si en cambio consideras la rotación de la tierra para llegar al centro debes imprimir una velocidad tangencial igual y opuesta a la velocidad tangencial de la superficie $V_t=\omega R$ a tu lanzamiento por lo que el tubo que te lleve al centro de la tierra no ha de ser recto. (todo esto suponiendo que el lanzamiento es en el ecuador si $V_{T_\alpha}=\omega R\cos\alpha$ , donde $\alpha$ es la latitud)

Por lo que tomando ejes cartesianos la velocidad inicial en el eje x es nula


$V_x=-\omega R \cos\alpha +\omega R \cos\alpha=0$

y en el y o coincidente con el radial $V_y$ responderá a la ecuación diferencial 1 anterior.


Ahora bien

con respecto a la relatividad no se puede hacer mucho porque la única métrica que responde a una distribución de masa esférica, es la solución se Schwarzchild ,

$\dd s^2=-c^2(1-\dfrac {2GM}{c^2r}) \dd t^2+\dfrac 1{1-\dfrac {2GM}{c^2r}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2$


pero es una solución para el vacío, no para el interior del planeta,
y tampoco incluye la rotación, para lo cual podría usar la métrica de Kerr que también es para vacío, no para el interior.

lo que intuyo es que debes generar una métrica que responda como lo hace el caso newtoniano, y obtener un resultado via solución numérica, y no una solución exacta que presumiblemente no haya métrica que la dé.

[Alriga]

Re: Velocidad de una partícula

Como te explican Angel y Richard, si deseamos tener solo en cuenta la gravedad, hay que hacer el pozo desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, solo de esa manera la partícula no irá todo el rato chocando contra las paredes del pozo.

En este enlace puedes ver los cálculos hechos para el caso Newtoniano: la velocidad al pasar por el centro de la Tierra es de 7.9 km/s Viaje al Centro de la Tierra

No creo que tenga mucho sentido hacer el cálculo relativista: si se hiciese solo diferiría del cálculo newtoniano en una cantidad pequeñísima, pues los efectos gravitatorios relativistas solo aparecen cuando hay en juego masas enormes y distancias muy cortas. Recuerda que por ejemplo, para calcular con precisión los elementos orbitales de Mercurio que está cerca de la gran masa del Sol, se hace usando la mecánica de Newton y que la Relatividad solo introduce una pequeñísima corrección que explica porqué el eje mayor de la órbita gira con una velocidad angular $\notcien{6.61}{-14}$ radianes por segundo más deprisa de la que se ha calculado aplicando la mecánica newtoniana.

Saludos.

[EliotMV]

Re: Velocidad de una partícula

Muchas gracias a todos, le he seguido dando vueltas y he pensado algo similar a esto, a ver qué tal está.


La fuerza en un oscilador armónico es tal que $F = -kx$, donde $k$ es la constante elástica y $x$ el desplazamiento.


Además, según la segunda ley de Newton, la fuerza es $F = \frac{dp}{dt }=F_t + F_n$ donde $F_t$ es la fuerza tangencial y $F_n$ la fuerza normal tal que:

$F_t = m_o\gamma^3 a_t$
$F_n= m_o\gamma a_n$

Aquí tengo una duda y es si sólo debería considerar $F_t$ al ser un movimiento en una única dimensión. Si es así, igualando las fuerzas quedaría:

$m_o\gamma^3 a_t=-kx$

Considerando $k = w^2m_o$, tendríamos:

$a_t=-\frac{w^2x}{\gamma^3}$

Por último, teniendo en cuenta que $a=\frac{du}{dt }$, si integramos la ecuación (y teniendo en cuenta que esté bien calculada la integral, cosa que dudo ), obtendríamos una velocidad tal que:

$u=-\frac{w^2xtc}{\sqrt{c^2+w^4x^2t^2} }$

Quitando esta última ecuación que estará mal, ¿el razonamiento que he seguido tiene sentido?

[Alriga]

Re: Velocidad de una partícula

Opino que tu razonamiento se basa en una premisa que no has demostrado y por lo tanto, todo lo que se deduce de ella solo podrá ser cierto si previamente demuestras que la premisa es cierta.

La premisa que utilizas es que en Relatividad es válida la aplicación a tu problema de la expresión:

$F = -k \ x$

Esta fórmula es la que figura en el enlace que te puse en el post #4 pero allí está deducida mediante la aplicación de la Mecánica Newtoniana.

Entiendo que si no demuestras primero que a partir de las ecuaciones de la Relatividad también eres capaz de deducir la misma expresión, el resto de tu desarrollo es papel mojado.

De la misma manera que la Relatividad te cambia $F=m a$ por $F=\gamma^3 ma$ es posible que también te cambie $F = -k \ x$ por otra expresión. Que eso sea o no así, debes demostrarlo.

Saludos.