Otras carreras Distancia trenes aplicando la relatividad

[thewickedalf]

Tengo que decir que sé que ninguna ecuacion de Lorentz tiene sentido con velocidades que no sean cercanas a la de la luz, y de matemáticamente sé que el por qué es que la velocidad se encuentra dividida por la velocidad de la luz. Pero llevo horas, literalmente, buscando y buscando por internet, para saber como hacer este ejercicio, y aunque lo he encontrado, no entiendo qué es qué y paso de copiar y pegar.

Entonces, ¿podéis ayudarme a resolvero matemáticamente (porque explicarlo sé, pero sin ninguna fórmula)? Y por favor, si lo vais a hacer dejadme claro que entienda a qué se refiere cada incógnita, porque he visto un montón por la web, y supongo que muchas son representan lo mismo, por ejemplo gamma, "x", "L".

El enunciado es:
"La distancia que separa las ciudades de Sevilla y Barcelona es de aproximadamente 1000 km, que son recorridos por el AVE a una velocidad media de unos 200 km/h. Utilizando la corrección relativista, determina la distancia Sevilla-Barcelona que percibe un pasajero de dicho tren. Calcula la distancia que mediría un viajero que se moviese a la mitad de la velocidad de la luz. ¿Qué puedes concluir?"

[The Higgs Particle]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

Yo diría que es así:

Sea $d_0 \equiv$ distancia medida por un observador en el interior del tren.


1. Transformación de Lorentz para la longitud:

$d_0 = d \cdot \dst \frac{1}{\gamma}$ (I)

donde $d \equiv$ distancia entre ambas ciudades; y ya sabes que $\gamma = \dst \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$


2. Transformación de Lorentz para el tiempo:

El tiempo que mide un observador inercial respecto al tren sería:

$t = \dst \frac{d}{v}$

donde $d \equiv$ distancia entre ambas ciudades, $v \equiv$ velocidad del tren

Entonces, por la transformación de Lorentz:

$t = t_0 \cdot \gamma$

donde $t_0 \equiv$ tiempo medido para un observador en el tren.


Ahora bien, la cosa es que un observador en el tren seguiría pensando que su velocidad es de 200 km/h, de forma que lo que mediría sería:

$d_0 = v \cdot t_0 = v \cdot \dst \frac{t}{\gamma}$ (II)

3. Conclusión:

Si cogemos la expresión (II), podemos ver que:

$d_0 = v t_0 \cdot \dst= v \cdot \frac{t}{\gamma} = d \cdot \frac{1}{\gamma}$

Que es lo mismo que la expresión (I). Moraleja: la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo son las dos caras de una misma moneda.

Como has dicho que entendías la teoría, no me he entretenido mucho, pero si hay algo que no está claro pregunta.

[Jaime Rudas]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

Tengo que decir que sé que ninguna ecuacion de Lorentz tiene sentido con velocidades que no sean cercanas a la de la luz,

Opino que del ejercicio se puede concluir que, contrario a las transformaciones de Galileo, las transformaciones de Lorentz tienen mucho sentido tanto para velocidades altas (cercanas a la de la luz), como para velocidades bajas.

Entonces, ¿podéis ayudarme a resolvero matemáticamente (porque explicarlo sé, pero sin ninguna fórmula)?

Tal vez si nos dices cómo sabes explicarlo, te podamos orientar con las fórmulas.

[thewickedalf]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

Tal vez si nos dices cómo sabes explicarlo, te podamos orientar con las fórmulas.

Pues precisamente diciendo que las transformaciones sólo tienen sentido con velocidades cercanas a la de la luz, además sabía que en la expresión matemática que fuese se cumplía que v^2/c^2 era proporcional a la distancia, y ese es el motivo de que la velocidad deba de ser cercana a la de la luz para que tuviera sentido.

Pero bueno, ahora ya he comprendido lo que me faltaba gracias a The Higgs Particle

- - - Actualizado - - -

Como has dicho que entendías la teoría, no me he entretenido mucho, pero si hay algo que no está claro pregunta.

Gracias, me has resuelto la duda que tenía, como dije la teoría la entendía pero no sabía como calcular do con d.

No se me pasó por la cabeza que pudiera usar el tiempo para despejarlo.

Además, y supongo que esto está muy mal por mi parte, me liaba con las incógnitas, por ejemplo a lo que tu has llamado "d" lo he visto con "L" y sino me equivoco con "x" también, y bueno, entiendo que es la distancia ahora, pero gamma, aunque si sabia que era igual a (...........) no sé realmente lo que representa. En mi cacao mental, supuse incluso que representaba la velocidad, aunque sé que su nombre es el factor de Lorentz, sólo sabía eso, el nombre y la fórmula

[Alriga]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

A


$\gamma = \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Se le llama Factor de Lorentz. Como puedes observar, es adimensional, y se define para ahorrarse ir arrastrando esa farragosa expresión (con cociente y raíz) por todas las ecuaciones de Relatividad.

Además el valor de $\gamma$ te da una idea de cuán grande es la velocidad respecto a la luz:

Si $v=0$ entonces $\gamma = 1$

Conforme aumenta la velocidad, el Factor de Lorenz aumenta, y cuando $v \rightarrow c$ entonces $\gamma \rightarrow \infty$

En este vídeo se explica de dónde sale el Factor de Lorentz:

... las transformaciones sólo tienen sentido con velocidades cercanas a la de la luz, ...

Así no está bien expresado, pues las transformaciones de Lorentz son aplicables y tienen sentido a cualquier velocidad. Lo que es sí cierto es que sólo son significativas a velocidades cercanas a la de la luz, o dicho de otro modo, los valores numéricos resultado de los cálculos efectuados empleando la relatividad, difieren poquísimo de los resultados de los cálculos realizados empleando la Mecánica Newtoniana, excepto cuando hay velocidades implicadas que no son despreciables respecto de la velocidad de la luz.

Saludos.

[thewickedalf]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

A
Así no está bien expresado, pues las transformaciones de Lorentz son aplicables y tienen sentido a cualquier velocidad

Gracias por aclararme la idea del factor de Lorentz, siempre he tenido claro que se puede aplicar con todo, y que simplemente si se usa con con velocidades de la vida cotidiana el efecto es tan pequeño, que se puede despreciar, pero llevas toda la razón, si digo que no tiene sentido, puede dar a entender que es algo que sólo funciona experimentalmente con valores cercanos a la luz y es falso con valores mucho menores; lo tomaré en cuenta.

[The Higgs Particle]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

Le he estado dando vueltas porque apenas dije nada sobre cómo interpretar en general el problema - cuyo enunciado no me gusta nada cómo está explicado, por cierto - y las ecuaciones porque dijiste que lo tenías muy claro, pero la verdad es que me dan remordimientos, así que voy a intentar explicarme mejor.

Los efectos relativistas, como la contracción de la longitud, no los observa un sujeto en el interior del sistema relativista, sino un observador fuera de él.

En este problema, por ejemplo, para un observador externo el tren en realidad tarda mucho menos en llegar a su destino (según los relojes de los pasajeros) de lo que él mismo observa (lee sobre la famosa paradoja de los gemelos): es como si la distancia que recorre el tren se hubiese contraído.

Así, por ejemplo, en la ecuación:

$L = \dst \frac{L_p}{\gamma}$

quiere decir que un pasajero cree que recorre los 1.000 km ($L_p$) que separan ambas ciudades pero para un observador desde fuera éste llega tan pronto (de nuevo, según los relojes de los pasajeros) que es como si hubiese recorrido $L$ (observa que siempre se cumple $L < L_p, \forall v < c$)

Igualmente, un observador desde el exterior percibe que el tiempo que tarda en llegar el tren es el "normal", $\Delta t = \dst \frac{L_p}{v} = \frac{1.000}{200}$, pero para un pasajero, cuando llega a su destino y compara su reloj con el de este observador, ve que marca un tiempo menor: para el pasajero el tiempo ha ido pasando de forma más lenta que en el exterior, de forma que mide un tiempo de viaje: $\Delta t' = \dst \frac{\Delta t}{\gamma}$ (con $\Delta t' < \Delta t, \forall v < c$).

Es decir, las ecuaciones que te he puesto antes son correctas, pero quería darle significado.

[thewickedalf]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

lee sobre la famosa paradoja de los gemelos

Antes que nada gracia por comentar de nuevo, porque según lo que te dije no lo había entendido, ya que me hice un lío pensando que tenia que no podía hacer el ejercicio porque no sabia la distancia real (la no relativista), y pensaba sustituir por el tiempo y hacer cosas raras, pero por suerte, al escribir que seguía teniendo dudas, me di cuenta de la tontería que estaba poniendo porque la distancia real me la daban, y no el tiempo.

Creo que al final lo entendí bien, así quedo mi respuesta:
"Para calcular la distancia tenemos que usar la transformación de Lorentz para la longitud:
do = d[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Donde “d” representa la distancia entre las dos ciudades y “γ” el factor de Lore ntz
Además tenemos que el tiempo que mide un observador inercial respecto al tren es:
t=$\frac{d}{v}$
donde “v” es la velocidad del tren; y por la transformación de Lorentz para el tiempo tenemos que:
t=t_o∙γ
Siendo “t_o” el tiempo medido para un observador en el tren
d_o=v∙t₀=v∙t/γ=d∙1/γ
Como vemos el observador dentro del tren mediría la distancia de la siguiente forma:
d_o= d[IMG]file:///C:/Users/Pc/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.png[/IMG]
Pero dado que:
[IMG]file:///C:/Users/Pc/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.png[/IMG]
Las transformaciones de Lorentz sólo tienen sentido cuando la velocidad es cercana a la velocidad de la luz, de lo contrario, podemos despreciar la diferencia al medir la distancia o el tiempo, como en este caso.
Y podemos calcular la velocidad en cada caso para comprobarlo, para el primer caso, si la velocidad es de 200 km/h:
d_o= d√(1-v^2/c^2 )= 1.000√(1-(200)^2/(3∙〖10〗^8 )^2 )= 1.000 km
Para el segundo caso, si la velocidad fuera de la mitad de la velocidad de la luz tenemos que:
d_o= d∙√(1-v^2/c^2 )= 1.000∙√(1-(1.5∙〖10〗^8 )^2/(3∙〖10〗^8 )^2 )= 866.03 km
Como podemos observar, las transformaciones de Lorentz sólo tienen sentido con velocidades cercanas a la de la luz."

Y respecto a la paradoja de los gemelos, justo antes de este ejercicio resolví uno así, aunque ahora veo que se aplica la misma lógica, me resultó bastante más fácil de hacer, ahora, eso si, no entendí bien lo que hacía.

[Richard R Richard]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

"La distancia que separa las ciudades de Sevilla y Barcelona es de aproximadamente 1000 km, que son recorridos por el AVE a una velocidad media de unos 200 km/h

si la velocidad es de 200 km/h:
$d_0= d\sqrt{1-v^2/c^2 }= 1.000\sqrt{1-\dfrac{200^2}{(\notcien{3}{8})^2}}\cong 1.000 km$
Para el segundo caso, si la velocidad fuera de la mitad de la velocidad de la luz tenemos que:
$d_0=d\sqrt{1-v^2/c^2 }= 1.000\sqrt{1-\dfrac{(\notcien{1.5}{8})^2}{(\notcien{3}{8})^2}}= 866.03 km$

Solo una observación si usas $c=\notcien{3}{8}m/s$ la velocidad del tren tambien debe estar en esas mismas unidades $200km/h\cong \frac{200}{3.6}m/s$

la primera de las dos formulas debe darte un resultado mas proximo aun a 1000km

Es mejor que uses latex para las formulas...

[The Higgs Particle]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

Te digo lo mismo que Richard. El mensaje así está un poco infumable . Intenta poner LaTeX (aquí Alriga explica cómo )

Antes que nada gracia por comentar de nuevo, porque según lo que te dije no lo había entendido, ya que me hice un lío pensando que tenia que no podía hacer el ejercicio porque no sabia la distancia real (la no relativista), y pensaba sustituir por el tiempo y hacer cosas raras, pero por suerte, al escribir que seguía teniendo dudas, me di cuenta de la tontería que estaba poniendo porque la distancia real me la daban, y no el tiempo.

Creo que al final lo entendí bien, así quedo mi respuesta:
"Para calcular la distancia tenemos que usar la transformación de Lorentz para la longitud:
do = d[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Donde “d” representa la distancia entre las dos ciudades y “γ” el factor de Lore ntz
Además tenemos que el tiempo que mide un observador inercial respecto al tren es:
t=$\frac{d}{v}$
donde “v” es la velocidad del tren; y por la transformación de Lorentz para el tiempo tenemos que:
t=t_o∙γ
Siendo “t_o” el tiempo medido para un observador en el tren
d_o=v∙t₀=v∙t/γ=d∙1/γ
Como vemos el observador dentro del tren mediría la distancia de la siguiente forma:
d_o= d[IMG]file:///C:/Users/Pc/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.png[/IMG]
Pero dado que:
[IMG]file:///C:/Users/Pc/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.png[/IMG]
Las transformaciones de Lorentz sólo tienen sentido cuando la velocidad es cercana a la velocidad de la luz, de lo contrario, podemos despreciar la diferencia al medir la distancia o el tiempo, como en este caso.
Y podemos calcular la velocidad en cada caso para comprobarlo, para el primer caso, si la velocidad es de 200 km/h:
d_o= d√(1-v^2/c^2 )= 1.000√(1-(200)^2/(3∙〖10〗^8 )^2 )= 1.000 km
Para el segundo caso, si la velocidad fuera de la mitad de la velocidad de la luz tenemos que:
d_o= d∙√(1-v^2/c^2 )= 1.000∙√(1-(1.5∙〖10〗^8 )^2/(3∙〖10〗^8 )^2 )= 866.03 km
Como podemos observar, las transformaciones de Lorentz sólo tienen sentido con velocidades cercanas a la de la luz."

Y respecto a la paradoja de los gemelos, justo antes de este ejercicio resolví uno así, aunque ahora veo que se aplica la misma lógica, me resultó bastante más fácil de hacer, ahora, eso si, no entendí bien lo que hacía.

[Alriga]

Re: Distancia trenes aplicando la relatividad

Hola thewickedalf, como te dicen Richard y THP en la web hay varias páginas de ejemplos de utilización de LaTeX, yo aprendí ahí sin tener ni idea hace muy poco y me resultó más fácil de lo que esperaba, se tarda menos de una hora:

Cómo introducir ecuaciones en los mensajes

Página de prueba y ejemplos LaTeX

Por otro lado, si haces “doble click” en cualquier fórmula del Foro (por ejemplo la que yo acabo de poner en este hilo),

$\gamma = \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

aparece el texto de la fórmula en LaTeX, márcalo con el ratón, haz “copiar” y a continuación “pegar como texto sin formato” entre medio de los corchetes

[TEX]\gamma = \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}[/TEX]

y ya tienes una fórmula en LaTeX. Anímate, ya verás que es sencillo

Saludos.