1r ciclo Nave espacial que emite un haz

[Moto321]

Buenas tardes, me hallo en intentar resolver el siguiente ejercicio:

Una nave espacial se dirige hacia las nubes de Magallanes con velocidad constante $v$ respecto de la Tierra. Cuando llega al cinturón de Kuiper ha recorrido una distancia $d$ y, en ese momento, el piloto decide enviar una señal luminosa a su base, en Houston, para indicar que todo va bien. Pero un tiempo $\tau'$ más tarde, según él, se da cuenta que ha errado tipográficamente, así que decide enviar otro mensaje, esta vez corregido. Se pide hallar el tiempo que pasa entre la recepción del primer y segundo mensaje en Houston.

Mi planteamiento es el siguiente: la nave recorre una distancia $d$ respecto de la Tierra hasta llegar al cinturón de Kuiper, con lo que el tiempo invertido en ello es $t=d/v$. En ese momento emite el haz luminoso hacia la Tierra, con lo que $T=d/c$ es el tiempo invertido en ello. Sabemos que el tiempo se dilata a velocidades cercanas a $c$, con lo que un tiempo $\tau'$ más tarde para el piloto supone $\tau=\tau'/\gamma$, donde $\gamma=\frac{1}{ \sqrt{1-\beta{}^{2 }}}$, $\beta=\frac{v}{ c}$, para un observador en la Tierra. En este momento, se emite el nuevo haz, que, según un observador en la Tierra, tarda en llegar $T_2=l/c+d/c$, donde $l=v\tau$.

Estoy casi seguro que mi razonamiento es erróneo (por ejemplo, no he hecho ninguna contracción espacial) pero realmente no sé por qué debería hacerlo. Creo que me pierdo bastante en decidir cuáles son los sistemas de referencia idóneos sobre los cuáles calcular las magnitudes que se piden.

Gracias de antemano y un saludo!

[Richard R Richard]

Re: Nave espacial que emite un haz

si para la nave que viaja a velocidad $v$ ha pasado un tiempo $\Delta t$ entre ambas emisiones, la distancia que recorrió en ese lapso es de $\Delta x=v\Delta t$(suponiendo que la direccion en que se aleja coincide con una recta que pasa por su posicion y la tierra)

para la tierra sera $\Delta t'=\gamma\left(\Delta t+\dfrac{v\Delta x}{c^2}\right )$

Saludos

[Moto321]

Re: Nave espacial que emite un haz

si para la nave que viaja a velocidad $v$ ha pasado un tiempo $\Delta t$ entre ambas emisiones, la distancia que recorrió en ese lapso es de $\Delta x=v\Delta t$(suponiendo que la direccion en que se aleja coincide con una recta que pasa por su posicion y la tierra)

para la tierra sera $\Delta t'=\gamma\left(\Delta t+\dfrac{v\Delta x}{c^2}\right )$

Saludos

Gracias por la respuesta Richard, pero sigo sin entenderlo...

[Richard R Richard]

Re: Nave espacial que emite un haz

Aver el tiempo en que se emite el primer mensaje visto desde la tierra será


$t'_1= \gamma\left(t+\dfrac{v x}{c^2}\right )$

y el segundo emitido será un $\Delta t$ posterior y un $\Delta x$ mas lejos


$t'_2=\gamma\left((t+\Delta t)+\dfrac{v(x+\Delta x)}{c^2}\right )$

la diferencia de estos tiempos

$\Delta t'=t'_2-t'_1=\gamma\left((t+\Delta t)+\dfrac{v(x+\Delta x)}{c^2}\right )-\gamma\left(t+\dfrac{v x}{c^2}\right )<br />$

operando los terminos y simplificando llegas a que

$\Delta t'=\gamma\left(\Delta t+\dfrac{v\Delta x}{c^2}\right )$

[Moto321]

Re: Nave espacial que emite un haz

Aver el tiempo en que se emite el primer mensaje visto desde la tierra será


$t'_1= \gamma\left(t+\dfrac{v x}{c^2}\right )$

y el segundo emitido será un $\Delta t$ posterior y un $\Delta x$ mas lejos


$t'_2=\gamma\left((t+\Delta t)+\dfrac{v(x+\Delta x)}{c^2}\right )$

la diferencia de estos tiempos

$\Delta t'=t'_2-t'_1=\gamma\left((t+\Delta t)+\dfrac{v(x+\Delta x)}{c^2}\right )-\gamma\left(t+\dfrac{v x}{c^2}\right )<br />$

operando los terminos y simplificando llegas a que

$\Delta t'=\gamma\left(\Delta t+\dfrac{v\Delta x}{c^2}\right )$

Buenas de nuevo! Gracias por la aclaración, Richard. Entonces, en todo momento, estás calculando tiempos en el sistema de referencia de la Tierra (el sistema S'), usando la transformación de Lorentz, no?
Pero, a ver si me aclaro, en la expresión $\Delta t'=\gamma\left(\Delta t+\dfrac{v\Delta x}{c^2}\right )$, entiendo que $\Delta t$ es el tiempo que en el enunciado sale como $\tau'$, y que $\Delta x$ es la distancia que recorre la nave en este $\Delta t$, es decir, $\Delta x = v\Delta t$.

La verdad es que no estoy muy seguro de mi razonamiento.

[Richard R Richard]

Re: Nave espacial que emite un haz

Buenas de nuevo! Gracias por la aclaración, Richard. Entonces, en todo momento, estás calculando tiempos en el sistema de referencia de la Tierra (el sistema S'), usando la transformación de Lorentz, no?

Pero, a ver si me aclaro, en la expresión $\Delta t'=\gamma\left(\Delta t+\dfrac{v\Delta x}{c^2}\right )$, entiendo que $\Delta t$ es el tiempo que en el enunciado sale como $\tau'$, y que $\Delta x$ es la distancia que recorre la nave en este $\Delta t$, es decir, $\Delta x = v\Delta t$.

[Moto321]

Re: Nave espacial que emite un haz

Entiendo, Richard. Muchas gracias!

[Benedictt]

Re: Nave espacial que emite un haz

Me parece que tienes exactamente la misma duda que yo. lol

Creo que la distancia y el tiempo entre dos sucesos es el mismo para todos los observadores independientemente de su movimiento. Pero, si no entiendo mal, la teoría de la relatividad especial predice lo contrario. Si el tiempo y la distancia son diferentes para un observador en movimiento, también lo debe ser diferente entre dos sucesos. Sería un problema si los dos observadores se juntan e intentan medir el tiempo entre los sucesos, pues ambos debería tener resultados diferentes y eso no es posible.

Si encuentras la razón, espero poder leerla por aquí.

Saludos!

[Richard R Richard]

Re: Nave espacial que emite un haz

Creo que la distancia y el tiempo entre dos sucesos es el mismo para todos los observadores independientemente de su movimiento.

Justamente todo lo contrario. las distancias medidas y los tiempos observados son relativos al estado de movimiento del observador, esto significa que dos eventos separados espacialmente que son simultáneos para un observador , no lo serán para ningún otro observador que este en movimiento relativo al primero. Y las medidas registradas para un mismo objeto, variara a distintas velocidades relativas entre el objeto y el observador

Pero, si no entiendo mal, la teoría de la relatividad especial predice lo contrario.Si el tiempo y la distancia son diferentes para un observador en movimiento, también lo debe ser diferente entre dos sucesos.

correcto

Sería un problema si los dos observadores se juntan e intentan medir el tiempo entre los sucesos, pues ambos debería tener resultados diferentes y eso no es posible.

Si encuentras la razón, espero poder leerla por aquí.

Saludos!

Es posible que dos observadores sincronicen relojes y reglas en un determinado punto del espaciotiempo. Deberías definir mejor que significa con "se juntan" para poder seguirte en la idea.

Vamos con un ejemplo , dos naves idénticas con los mismos relojes y las mismas reglas, están en reposo en el sistema de referencia O, la nave B se aleja y se mueve con velocidad relativista $v$ con respecto a la nave A, si desde ambas naves, a tiempo t se intenta medir la longitud un Objeto C de longitud $L_c$ en un sistema en reposo , que puede o estar moviéndose con respecto a A o B. Las lecturas de los instrumentos de las naves A y B serán diferentes. Y la medida será diferente también si coincide algún punto de lectura con el punto de sincronización o cero de referencia.



Volviendo al tema del problema que inicio el hilo , hay que reconocer que el tiempo al que le llega la señal al observador , no es exactamente el tiempo en que parte la señal, que es el que se puede calcular con las transformaciones de Lorentz , en base a la mediciones en otro sistema de referencia.

Que quiero decir con esto que las transformaciones de Lorentz solo permiten establecer relaciones entre los espacios y los tiempos entre eventos en 2 sistemas de referencia, pero nada dice de los tiempos que tardan en visualizarse esos eventos en otras disposiciones espaciales y temporales dentro de un mismo sistema de referencia.

[Benedictt]

Re: Nave espacial que emite un haz

Es posible que dos observadores sincronicen relojes y reglas en un determinado punto del espaciotiempo. Deberías definir mejor que significa con "se juntan" para poder seguirte en la idea.

.

Con se juntan me refiero a que están uno al lado del otro y en reposo.

Intentare explicarlo.

La relatividad especial predice que si alguien que está en reposo envía dos señal de luz con un tiempo A entre ellas, para un observador en movimiento ese tiempo A será menor.


A hora bien supongamos que esos dos observadores atrapan esas dos señales de luz en medio de dos espejos para tener constancia de la distancia entre ellas. Cuando ambos observadores comparen los reloj estando uno en reposo con relación al otro (o sea, que su tiempo y sus distancia sean iguales) verían que la distancia entre sus señales es distinta. Sabiendo que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores sin importar la velocidad a la que se muevan, este resultado seria imposible. Para que fuera posible tendría la luz que:
aumentar o disminuir su velocidad (y sabemos que es constante) o contraerse la distancia entre las dos señales (esto tampoco es posible porque entre las dos señales no hay movimiento pues su velocidad es la misma).

Saludos!

[Moto321]

Re: Nave espacial que emite un haz

Jaja veo que todavía ayuda en algo este post. Me alegro jeje Por cierto, Richard, al final conseguí aprobar la asignatura de Relatividad Especial, y uno de los motivos es porque me ayudaste mucho durante el semestre pasado. Quiero volver a darte mis más sinceras gracias. Un saludo y espero que vaya bien todo.

[Richard R Richard]

Re: Nave espacial que emite un haz

Sigo sin comprender tu planteo ¿Como le cambias la cantidad de movimiento en la dirección x al fotón para desacelerarlo y llevarlo al otro sistema de referencia en reposo?....como atrapas un foton?

La relatividad especial predice que si alguien que está en reposo envía dos señal de luz con un tiempo A entre ellas, para un observador en movimiento ese tiempo A será menor.

de acuerdo

Ahora bien supongamos que esos dos observadores atrapan esas dos señales de luz en medio de dos espejos para tener constancia de la distancia entre ellas.

distancia espacial, espaciotemporal, temporal ? no puedo sacar la ficha de lo que intentas explicar... te dire lo que entiendo...

Según tu esquema de la izquierda se puede expresar de dos maneras

1)dos eventos simultáneos a distinta distancia espacial del espejo o

2)dos eventos separados en el tiempo emitidos en la misma posición relativa al espejo.

en ambos casos la separación temporal de cada tic en cada lado del espejo dependerá de la distancia espacial A y la ubicación del espejo , dos observadores con espejos en distinta posición observarán los tic desfasados en el tiempo pero conservarán el periodo entre tics.



Para el de la derecha repitiendo las mismas suposiciones solo habra desfase con el mismo periodo entre observadores que viajen a la misma velocidad con respecto al espejo, pero los periodos observados en el caso B difieren de los del caso A

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Jaja veo que todavía ayuda en algo este post. Me alegro jeje Por cierto, Richard, al final conseguí aprobar la asignatura de Relatividad Especial, y uno de los motivos es porque me ayudaste mucho durante el semestre pasado. Quiero volver a darte mis más sinceras gracias. Un saludo y espero que vaya bien todo.

Me pone de muy buen humor que te haya servido nuestro granito de arena, significa es tiempo bien empleado cuando uno pasa por aquí...

Saludos