Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Buenas de nuevo.

No sé si me cuelo aquí, pero a mi entender la entropía, energía, y demás de los agujeros negros no está cuantizada como tal, al menos desde una perspectiva semiclásica. Se encuentra que la entropía debe ser función del área, y por análisis dimensional Bekenstein propuso que la constante de proporcionalidad fuera proporcional a $l_P^{-2}$. Usando la temperatura de Hawking para un BH (que se derivó posteriormente) se puede obtener por argumentos termodinámicos la entropía si se supone $S=\gamma A$ como hizo Bekenstein, pero ahora se obtiene $\gamma=1/4 l_p^2$ de manera exacta. Eso ``se lee" como que la entropía del agujero negro es la resultante de medir su área en unidades de Planck Wheeler y dividir entre cuatro. Eso es concretamente también el número de bits de información que contiene el agujero negro. Hasta aquí nada de cuantización. Ahora si estudias cuánto es lo mínimo que crece un agujero negro cuando algo cae en él (artículo inicial de Bekenstein, apéndices), ves que en general es del orden de magnitud del área de Planck Wheeler, y dá que pensar, pero no veo más sobre como introducir cuantización aquí (y ojo, seguro que la hay. Desde LQG sí que se discute seriamente una cuantización del área, pero cuando se habla de entropía de Bekenstein-Hawking y demás creo que no).

Un saludo.

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
Yo si veo cuantizacion de Entropia, Masa, Energia...en los ANC.

Siguiendo el articulo 'Quantization of black holes entropy and its cosmological
consequences ' de Cristofano-Maiella-Stornaciolo (3/5/13) y desarrollando la formula:

$\dst{\frac{\pi}{2}\; R_s \; \frac{1}{\lambda_c} = \frac{S}{\kappa_B} = \pi \;n}$

me resulta: (Aqui 'n' siempre es un entero mayor o igual a 1 y representa 'bits').

$\dst{n=\frac{2\pi G}{c h}\cdot M^2 = K_1 \cdot M^2 \;\;\;(K_1=2.117 \cdot 10^9(\frac{1}{gr^2}))}$

$\dst{\frac{dM}{dn}=\frac{\Delta M}{1} =\frac{1}{2 \cdot K_1 \cdot M}}$

$\dst{n= \frac{c^3 \cdot A}{8 \cdot h \cdot G}}$

Y esto implica:
Area de 1 bit = 1.308 x 10^-64 cm^2. (Esto me supongo que sera el area de Planck-Wheeler)
¿Cuánto vale la masa de un ANC para que pueda 'tragar' una particula con una energia
mayor que la equivalente a la masa en reposo de un electron?
M= 2.595 x 10^17 gr.
Numero de bits: n = 1.42 x 10^44 bits

Y aún mas...Siguiendo la afirmación de Greene:
´´ Las características de un ´Universo´ extendido de Radio ´N´ veces
la Longitud de Planck son indistinguibles de las caracteristicas
de un ´Universo´ compacto de Radio ´1/N´ veces la Longitud de Planck´´.

Esto no solo implica cuantizacion de los ANC, sino cuantizacion de la Masa-Energia
de las particulas con una masa-energia menor que la masa de Planck...y
correspondencia entre los dos...

Curioso ¿No?
Un saludo.

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

No conocía el artículo. Cuando esté un poco más desahogado intento leerlo y seguimos discutiéndolo porque por ahora sobre este enfoque ni idea. Sobre lo que comentas lo único que te puedo decir es que el área que se obtiene para un bit según lo que has puesto es $16\pi^2 l_P^2$, no estrictamente $l_P^2$. Me recuerda a lo que te mencioné sobre el aumento del área al caer un fotón con longitud de onda igual al radio de Schwarzschild, solo que me salía el doble. Para que salga eso la longitud de onda debe ser igual al diámetro del agujero negro, lo cual tiene incluso aun más sentido. Echaré un ojo al artículo cuando pueda que ahora me intriga aun más.

Un saludo

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
¿Cuánto vale el radio de Schwarzschild de un ANC para que pueda absorber
un fotón de longitud de onda 'x'? (Sater)

Usando las formulas del mensaje anterior, a mi, me sale:

$\dst{R_s= \frac{x}{2 \cdot \pi}}$

De todas formas, deberiamos tener en cuenta que todos los AN deben tener momento angular
y todos estos mini-micro ANC deben tener carga...y que el horizonte de sucesos que los envuelve
no es esferico...y por lo tanto, esto no deberia ser una 'linea' de absorcion sino una 'banda'...
Un saludo.

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
¿Cuánto vale el radio de Schwarzschild de un ANC para que pueda absorber
un fotón de longitud de onda 'x'? (Sater)

Usando las formulas del mensaje anterior, a mi, me sale:

$\dst{R_s= \frac{x}{2 \cdot \pi}}$
.

De agujeros negros cuánticos no sé nada. Las fórmulas que he manejado en mensajes anteriores han sido para agujeros negros de Schwarzschild $R_S=2GM/c^2$, $A=4 \pi R_S^2$, y la energía de un fotón $E=h\nu$. Con ellas se puede ver que si se traga un fotón de longitud de onda $\lambda$, crecerá un $dA$ proporcional a esa masa, que sale lo que he puesto arriba. Ni idea sobre que tenga que tener una longitud de onda concreta dado un agujero negro concreto, en esta visión cualquier fotón dirigido hacia el agujero negro con longitudes de onda menores que su diámetro sería tragado (es cierto que clásicamente se pueden estudiar procesos de dispersión de fotones contra agujeros negros. De hecho, el espectro de cuerpo negro se puede obtener estudiando procesos de fotones que ''rebotan'' con el agujero negro). Una objeción que leí a Bekenstein sobre pensar en propiedades cuánticas de agujeros negros es:
"a black hole’s mass
cannot be below a Planck mass (∼ 2 × 10 −5 g) because
if it where, the hole would then be smaller than its own
Compton length, and would thus not exhibit the black
hole hallmark, the event horizon."

y se violaría la conjetura de censor cósmico.

Siento no ser de más ayuda. Cuando tenga tiempo intentaré seguir leyendo sobre el tema. Un saludo.

pd: buscando bibliografía al respecto, he encontrado el siguiente libro: "Quantum Black Holes", de Xavier Calmet Bernard Carr y Elizabeth Winstanley.

[Jaime Rudas]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Las fórmulas que he manejado en mensajes anteriores han sido para agujeros negros de Schwarzschild $R_S=2GM/c^2$, $A=4 \pi R_S^2$[...]

No sé mucho del tema, pero tenía entendido que $A=4 \pi R^2$ aplica para el área de una esfera en un espacio plano (euclídeo), mientras que para un espacio con curvatura positiva (como el de los agujeros negros) debería ser menor que eso. ¿Estoy errado?

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

No sé mucho del tema, pero tenía entendido que $A=4 \pi R^2$ aplica para el área de una esfera en un espacio plano (euclídeo), mientras que para un espacio con curvatura positiva (como el de los agujeros negros) debería ser menor que eso. ¿Estoy errado?

Para Schwarzschild sí sale eso. Hay que integrar para r fijo $\sqrt{g_{\phi \phi}g_{\theta\theta}}$. Perdona que no me explaye más que estoy con el movil.
Un saludo.

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
Según el articulo de Cristofano...Las relaciones entre Masa de Planck-Longitud de Planck-
Longitud Compton para n = 1 (bit) me salen:

$\dst{M= (\frac{ch}{2\pi G})^\frac{1}{2}}$

(Esto es la Masa de Planck). Como no hay n < 1, esta es la masa minima de un AN.

$\dst{R_S= 2 \cdot l_P}$

(El radio de Schw. de este AN vale 2 veces la Longitud de Planck)

$\dst{R_S= \frac{1}{\pi} \cdot \lambda_C}$

(El radio de Schw. de este AN vale 1/pi veces su Longitud de onda Compton).

No sé. Quizas esto difiere un poco de lo que dice Bekenstein en el mensaje #20 de Sater.
Un saludo.

[Jaime Rudas]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Para Schwarzschild sí sale eso. Hay que integrar para r fijo $\sqrt{g_{\phi \phi}g_{\theta\theta}}$. Perdona que no me explaye más que estoy con el movil.
Un saludo.

Caramba, eso supera por mucho mis capacidades; sin embargo, conceptualmente, no logro ver cómo sería posible que, en un espacio de curvatura positiva, el área de una esfera sea igual a la de un espacio plano. ¿La longitud de una circunferencia también sería πD?

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Intento explayarme un poco más: la métrica de Schwarzschild es
$ds^2=-\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)dt^2+\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2( d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$

El diferencial de volumen en n dimensiones es $\sqrt{|g|}d^n x$ con $g$ el determinante de la métrica del espacio en n dimensiones, y por tanto por ejemplo restrinjámonos a tiempo constante: si queremos medir el área (para esta geometría) a $r$ fijo, debemos integrar el determinante de la métrica restringiéndonos a las dimensiones restantes:
$A=\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi} r^2 \sin\theta d\theta=4\pi r^2$
Fíjate que el integrando es $\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}}$.

Si quieres saber la longitud de un circulo, te restringes a un $r$ y un $\theta$ concretos, y calculas
$C=\int_0^{2\pi}\sqrt{g_{\phi\phi}} d\phi=2 \pi r$
y hemos supuesto $\theta=\pi/2$, porque la métrica tiene una singularidad de coordenadas en $g_{\theta\theta}$ (su valor depende del ángulo, y puede llegar a hacerse cero, pero este espacio es simétricamente esférico por construcción y podemos rotar los ejes para hacerla desaparecer, y el mismo punto del espacio que antes no describíamos bien ahora sí luego es una singularidad aparente -al igual que el radio de Schwarzschild, hay coordenadas que hacen que ahí no pase nada, pero no así en el origen que es donde está la singularidad física-).

Por otro lado, el radio propio no coincide con la coordenada $r$ en este espacio (las longitudes se dilatan).

[Jaime Rudas]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Intento explayarme un poco más: la métrica de Schwarzschild es
$ds^2=-\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)dt^2+\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2( d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$

Lo siento: me pierdo; sin embargo, quizás la clave esté en esto:

Por otro lado, el radio propio no coincide con la coordenada $r$ en este espacio (las longitudes se dilatan).

¿Significa esto que el radio de la esfera es mayor que la coordenada $r$?

[Richard R Richard]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Lo siento: me pierdo; sin embargo, quizás la clave esté en esto:

Hola Jaime , creo que lo que hizo es fijar el tiempo y la coordenada radial, para la métrica de Schwarzchild y calcula lo que conocemos como Jacobiano que no es más que la raiz cuadrada del determinante de la matriz

$\begin{vmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2\sin^2\theta\end{vmatrix}=r^4sin^2\theta$

que representa la métrica en esas condiciones, luego calcula el área integrando con los límites de integración para todo el espacio de las variables $\theta$ y $\phi$ en polares...

mi duda radica en que no creo que pueden independizarse del valor de la masa M, y que los $a_{11}$y $a_22$ no son necesariamente 1

¿Significa esto que el radio de la esfera es mayor que la coordenada $r$?

Interpreto que si, la coordenada r esta referida a un SR en el centro del AN, pero nosotros lo observamos desde otro SR fijo o movil pero fuera del AN....

Creo que nosotros lo veremos más pequeño de lo que realmente es..... como el espacio se contrae a su alrededor , la misma regla la veremos corta en las cercanias del AN... , de modo que lo que medimos como area desde fuera, en realidad es mas grande cuando la vemos desde el AN

Saludos

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Buenas.

Cuando te restringes a un subespacio haciendo alguna coordenada fija, podéis pensar que en el intervalo espaciotemporal (o que he denotado como $ds^2$) haceis $dx^i=0$, para la coordenada $x^i$ que fijéis. Eso hace que el intervalo espaciotemporal pase a tener menos sumandos, y la matriz de la métrica menor dimensión. Tenga la dimensión que tenga, el elemento de volumen (y por volumen entiendo volumen en 3D, pero área en 2D y longitud en 1D, así como "hipervolumen" por decir algo en 4D) se construye haciendo el determinante de la matriz que representa a la métrica en tal subespacio y multiplicando por los diferenciales de las coordenadas. Esta medida de un volumen infinitesimal es invariante bajo cambios arbitrarios de coordenadas, porque el producto de los diferenciales transforma justo de manera inversa a como lo hace el determinante de la métrica y en el cambio de coordenadas esos dos cambios opuestos se cancelan. Por eso no hay 1's como dice Richard, simplemente si me restrinjo a menor dimensión me quedo con la parte de la matriz que representa a la métrica asociada a tal subespacio.

Por otro lado, el tema de las coordenadas en relatividad general (en cualquier contexto en el que se trate con variedades) es peliagudo, así que espero no meter la pata. El espacio de Schwarzschild se construye como un espacio esféricamente simétrico y estático, y resulta en la expresión para la métrica (o mejor, el intervalo espaciotemporal, palabras que en relatividad se suelen intercambiar) que puse en el mensaje anterior. Las coordenadas $(t,r,\theta,\phi)$ son tiempo medido por un reloj en el infinito, radio resultante de situarte a una cierta distancia del centro del espacio (que es esféricamente simétrico), calcular la longitud de una circunferencia a tal distancia (como hice anteriormente) y dividir por dos pi. Las coordenadas angulares si coinciden con las polares esféricas. Esto no resulta en la distancia que medirías si desde el centro del espacio fueras hasta ese punto en el cual te has puesto a medir la circunferencia, porque las medidas radiales y temporales en Schwarzschild se distorsionan. De hecho, las coordenadas de Schwarzschild no son válidas en todo el espacio, solo para $r>2M$. Esto es porque estudiando la estructura causal del espacio con ellas te ves forzado a concluir que nada podría entrar al agujero negro (los rayos de luz que caen radialmente tienen como asíntota al horizonte de sucesos, cuando no debería ocurrir nada extraño ahí). Esto se soluciona pasando a otras coordenadas (Eddington-Finkelstein para estudiar este problema que os he dicho, aunque las que valen para todo el espacio si no recuerdo mal son Kruskal Szekeres).

[Jaime Rudas]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

[...] radio resultante de situarte a una cierta distancia del centro del espacio (que es esféricamente simétrico), calcular la longitud de una circunferencia a tal distancia (como hice anteriormente) y dividir por dos pi.

Creo que este es el punto clave: si $r$ resulta de dividir por $2\pi$ la circunferencia, necesariamente la circunferencia será $2\pi r$; sin embargo, entiendo que esa $r$ no se refiere al radio de la circunferencia, sino a la coordenada. Si esto es así, el radio de la circunferencia será necesariamente mayor que la coordenada $r$. ¿Voy bien?

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Creo que este es el punto clave: si $r$ resulta de dividir por $2\pi$ la circunferencia, necesariamente la circunferencia será $2\pi r$; sin embargo, entiendo que esa $r$ no se refiere al radio de la circunferencia, sino a la coordenada. Si esto es así, el radio de la circunferencia será necesariamente mayor que la coordenada $r$. ¿Voy bien?

Según entiendo yo, sí. A casi todos los efectos, puedes pensar en $(r,\theta,\phi)$ como las coordenadas esféricas de toda la vida, salvo que $r$ no mide distancias radiales, solo sirve para etiquetar puntos de distancias al centro tal que la longitud de la circunferencia que mides entre dos pi da $r$, o las áreas de circulos a distancia dada del centro entre 4 pi dan $r^2$. Pero la distancias radiales en el espacio se encuentran resolviendo

$$\int_{r_1}^{r_2}\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{2M}{r}}} dr$$

donde $r_2\ge r_1 > 2M$