Divulgación E=mc2

[Bernardo Rebollo Montes]

He estado buscando por Youtube, vídeos que expliquen de forma clara como llegar matemáticamente a la ecuación de Einstein, pero no he encontrado ninguno que lo explique de manera del todo completa, ya que dan muchas cosas por supuestas. Mi nivel matemático físico no es muy alto y entiendo que quizás me sea imposible entenderla a la altura de conocimiento en la que me encuentro. Hago este hilo para que me aclaren como llegar matemáticamente paso a paso a la ecuación de E=mc2
Gracias de antemano, y me disculpo si ya hay un hilo sobre exactamente esto mismo y está delante de mis narices, pero no lo he encontrado.

[arivasm]

Re: E=mc2

Parte de la expresión del momento lineal relativista $p = \dfrac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Aplica el teorema de la energía cinética: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Tendrás que lidiar con unas cuantas integrales un tanto liosas.

De todos modos, como es obvio, sin una base física adecuada (es decir, una justificación de las primeras expresiones que pongo) y la base matemática necesaria (derivación e integración) no es posible hacerlo.

Googleando "demostración E=mc2" he visto este documento que hace los pasos anteriores, por si quieres verlo ya hecho, aunque no me extrañaría que fuese lo mismo que hayas visto en los vídeos que mencionas: https://es.slideshare.net/EzequielSk...mostracin-emc2

PD: Acabo de fijarme que eres estudiante de 2º ciclo de Física (¿lo eres?). No deberías tener problema.

[Bernardo Rebollo Montes]

Re: E=mc2

Gracias, voy a echarle un vistazo al documento que me has mandando. Con respecto a lo de mi perfil, lo del 2ndo ciclo de física. Me acabo de dar cuenta de que quizás es erróneo, estoy en 2ndo de Bachillerato. Las opciones que me permite poner la página son Secundaria o lo de ciclos de física 1 y 2. Entendí secundaria como quizás Enseñanza Secundaria Obligatoria, y aunque me pareció extraño lo de 2ndo ciclo, lo consideré al mismo nivel que Bachillerato. Aunque si que se corresponde más el segundo de Bachillerato con la opción "Secundaria", fallo mío.

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Creo que hay un error en la fórmula que escribiste, ¿En la quinta igualdad no debería ser dx/dt y no dt/dx?

[arivasm]

Re: E=mc2

Creo que hay un error en la fórmula que escribiste, ¿En la quinta igualdad no debería ser dx/dt y no dt/dx?

Cierto. Gazapo corregido.

estoy en 2ndo de Bachillerato

Entonces es posible que todavía no hayas visto la integración, al menos no todas las técnicas que suelen darse en 2º de bachillerato. No necesitarás más técnicas que ésas, con lo que, en el peor de los casos, simplemente tendrás que esperar hasta verlas.

Sobre la Física del problema, en 2º de bachillerato suele verse relatividad desde un punto de vista muy superficial, y también hacia final de curso. Deduzco de tu mensaje que eres un alumno con interés en la Física (), con lo que es posible que hayas empezado a ver cosas por tu cuenta. Por ejemplo, seguramente ya habrás visto la ley $\vec F = \dfrac{\dd\vec p}{\dd t}$, que es igualmente válida en relatividad; el teorema de la energía cinética, $W=\Delta K$; y posiblemente también te habrán contado que si llevas a la expresión del momento lineal $\vec p=m\vec v$ entonces obtienes para la energía cinética el famoso $K=\frac{1}{2}mv^2$. Lo que deberás ver por tu cuenta, porque no te lo contarán en clase, es la expresión del momento lineal relativista, $\vec p=\gamma m\vec v=\dfrac{m\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Los pasos que llevan al famoso $E=mc^2$ son en el fondo idénticos, salvo por la expresión del momento relativista (y por supuesto que las integrales que aparecen son más coñazo), ahora se llega a que la energía cinética es $K=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2$, que es interpretable como una diferencia de energías: la que posee la partícula en un sistema de referencia en el que está en movimiento menos la que posee en un sistema en reposo, $mc^2$.

La cuestión más fastidiada no está, en realidad, en el proceso que te expuse en el primer mensaje, sino en la expresión del momento lineal. Como dicen en esta presentación (que te enlazo pues te puede resultar útil) se trata de una tarea para valientes, al menos con las herramientas básicas de cálculo. Puedes verla hecha en este documento.

Las herramientas más adecuadas para todo esto son otras: las transformaciones de Lorentz (pero no escritas en la forma que se suelen contar en clase, sino en forma tensorial -matricial-). El camino pasa por demostrar que existe un tetravector invariante frente a las mismas que es el cuadrimomento, lo que lleva de un golpe a la expresión relativista del momento lineal *y* de la energía.

Te cuento esto último por lo siguiente (y aquí me sale la vena docente). Tienes dos opciones, seguir jugando a "fabricar cohetes con martillo y clavos" (me refiero a jugar con la relatividad con herramientas de cálculo poco adecuadas) o esperar a aprender a fabricar cohetes de verdad (aprender bien lo que estés dando, el año que viene matricularte en la carrera de Física y esperar a que llegue el momento oportuno, en que tengas los conocimientos necesarios). Mi consejo: sigue jugando, pero sin frustrarte cuando lleguen pasos agotadores, y menos aún si acabas diciendo "que le den a todo esto!"; reforzarás y aprenderás muchas cosas, sobre todo de matemáticas. Eso sí, siempre y cuando no te ocupe tanto tiempo que el precio que pagues sea que sacrifiques lo que yo llamo "los peajes". Es decir, no vaya a ser que por "jugar con el martillo y los clavos" acabes cosechando malas calificaciones en otras materias seguramente menos interesantes para ti (ya sabes, Historia, Lengua, Lingua, Filosofía, bla, bla, bla): el 60% de la nota que te dará el acceso a la carrera está ahí.

Vamos, que no vaya a ser que tu flamante cohete de madera te impida llegar a hacer los cohetes de verdad.

Un saúdo, compañeiro.

[Bernardo Rebollo Montes]

Re: E=mc2

Muchas gracias por el documento, he visto todo el procedimiento para llegar a la ecuación, y está perfectamente bien explicado. Nada en comparación con los vídeos que mencioné antes. Una experiencia muy bonita el entender todo el procedimiento, tanto del lado matemático como del lado físico. Un saludo muy grande, y gracias otra vez.

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Has dado en el clavo de lleno con todo lo que has dicho. Fantástica explicación, y fantástico consejo. Muchísimas gracias una vez más.