1r ciclo Un ejército de naves espaciales invasoras

[Moto321]

Buenas tardes. Me hallo intentando resolver el siguiente ejercicio:

Tres naves espaciales (A, C y B) se alejan de la tierra en formación rectilínea separadas por una distancia $l$ entre sí y a una velocidad $v$ (ambas cantidades medidas en la Tierra). Los relojes de las naves están sincronizados entre sí. El Comandante va en la nave del medio (C), y se comunica con las otras dos naves por medio de ondas electromagnéticas (luz). Al cabo de un tiempo $\tau$ de haber salido de la Tierra (según su reloj) envía una señal a A y B, estando A por delante y B por detrás. Al recibir la señal, A y B envían inmediatamente sendas señales a una estación en la Tierra.

La pregunta es: ¿cuándo llegarán dichas señales a la Tierra de acuerdo con los relojes de la Tierra?

Mi planteamiento es el siguiente, calculando todo respecto la Tierra.

Para un observador de la Tierra, el tiempo $\tau$ se convierte en $\gamma\tau$. Aplicando las transformaciones de Lorentz, hallamos que la posición del sistema formado por las 3 naves respecto la Tierra es $x=\gamma(x'+vt')=\gamma(0+\beta\tau c)=\gamma\beta\tau c$. Es entonces cuando C envía las señales hacia A y B. La señal de C tarda en llegar a A (y a B) $l/c$, pero mientras ocurre esto, el sistema formado por las 3 naves se mueve una distancia $vl/c=\beta l$. Es entonces cuando A (y B) envían sus respectivas señales. La distancia que debe recorrer la señal de A hasta llegar a la Tierra es $\gamma\beta\tau c+\beta l=d$ y, por tanto, la señal tarda en llegar a la Tierra $d/c=\gamma\beta\tau+\beta l/c$.

Para el caso de la nave B parece que el resultado es el mismo, algo que no acabo de comprender. En cualquier caso, me gustaría saber si hay algún error o me ha faltado incluir algún término adicional a mi razonamiento.

Gracias de antemano y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Un ejército de naves espaciales invasoras

Aver, me queda un choclazo, pero creo que el planteo es correcto..

segun el comandante a tiempo $\tau$ emite la señal como las naves A y B estan en reposo con respecto a su nave el momento de la recepción será $t_A=t_B=t_c=\tau+\frac lc$ para las dos naves, si emiten simultaneamente con la recepción la posicón en el momento de la emision será

suponiendo velocidad constante desde el momento en que partieron de la tierra, cuando emite el comandante, su posición con respecto a un sistema de referencia solidario a su nave es $x_C=0$ y las de A y B seran $x_A=l$ y $x_B=- l$ respectivamente

al momento de recibir y emitir la señal la posicion de ambas naves sigue siendo será $x_A=+l$ y $x_B=-l$ en ese sistema de referencia

si transformamos los tiempos y posiciónes de emisión al sistema de referencia de la tierra

$t_A'=\gamma(t_A+\dfrac{x_Av}{c^2})$

$x_A'=\gamma(x_A+t_A v)$

$t_B'=\gamma(t_B+\dfrac{x_Bv}{c^2})$

$x_B'=\gamma(x_B+t_B v)$



reemplazando

$t_A'=\gamma(\tau+\dfrac lc+\dfrac{(l)v}{c^2})$

$x_A'=\gamma(l+(\tau+\dfrac lc) v)$

$t_B'=\gamma(\tau+\dfrac lc+\dfrac{(-l)v}{c^2})$

$x_B'=\gamma(-l+(\tau+\dfrac lc) v)$


los tiempos de recepción de la tierra seran

$T_A=t_A'+\dfrac{x_A'}{c}$

$T_B=t_B'+\dfrac{x_B'}{c}$

reemplazando y simplificando

$T_A=\gamma(\tau+\dfrac lc+\dfrac{(l)v}{c^2})+\dfrac{\gamma(l+(\tau+\dfrac lc) v)}{c}=\gamma \left(\tau+2\dfrac lc\right)\left(1+\dfrac vc\right)$

$T_B=\gamma(\tau+\dfrac lc+\dfrac{(-l)v}{c^2})+\dfrac{\gamma(-l+(\tau+\dfrac lc) v)}{c}=\gamma \tau\left(1+\dfrac vc\right)$


La diferencia de tiempos TA-TB no es $2\gamma\frac lc$ que parecería lógico ante una transformación de eventos simultaneos, pues los eventos de recepción no están separados temporalmente del mismo modo que los de emisión ya que la luz de A viajo mas distancia para que la tierra la pueda observarla.

[Moto321]

Re: Un ejército de naves espaciales invasoras

De acuerdo. Creo que lo entiendo, Richard. Muchas gracias!