1r ciclo La tortuga y la liebre relativistas

[Moto321]

Buenas tardes. Me hallo intentado solucionar el siguiente ejercicio.

Una liebre y una tortuga compiten en una carrera donde las dos salen del mismo lugar en sentidos opuestos hacia sus respectivas metas situadas a una distancia $d$ del punto de salida para el árbitro, que está parado en el origen, observando. Ve que las dos competidoras se alejan a una velocidad $v_0$ y llegan a la meta al mismo tiempo. Sin embargo, tanto la tortuga como la liebre se quejan al árbitro, pues cada una asegura que ha ganado la carrera. ¿Está justificada su queja? ¿Cuánto tarda la liebre en llegar a la meta según la tortuga?

Mi razonamiento es el siguiente.

Ambas quejas están justificadas, pues cuando la liebre llega a la meta, observa que la tortuga todavía no ha llegado a ella (la información lumínica del suceso "la tortuga llega a la meta" todavía no ha llegado a la liebre), y viceversa.

Según la tortuga, la liebre se mueve respecto el árbitro, que a la vez se mueve respecto ella misma. Con lo que la velocidad que lleva la liebre respecto la tortuga es $v=\frac{2v_0}{1+v_0^2}$, por la adición de velocidades relativistas. Pero como, según la tortuga, la distancia que recorre la liebre es $d$ (en esto tengo mis dudas), la liebre tarda $d/v=\frac{d(1+v_0^2)}{2v_0}$.

Gracias de antemano y un saludo.

[Jaime Rudas]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

¿Está justificada su queja? ¿Cuánto tarda la liebre en llegar a la meta según la tortuga?

Mi razonamiento es el siguiente.

Ambas quejas están justificadas, pues cuando la liebre llega a la meta, observa que la tortuga todavía no ha llegado a ella (la información lumínica del suceso "la tortuga llega a la meta" todavía no ha llegado a la liebre), y viceversa.

En mi opinión, no están justificadas: "ganar la carrera" significa llegar antes que el contrincante, sin embargo, el "llegar antes" puede ser relativo al observador que lo mide. Ahora bien, el hecho de que los dos contrincantes hubieran reclamado al árbitro significa que ambos lo consideraban el referente válido.

[Moto321]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

En mi opinión, no están justificadas: "ganar la carrera" significa llegar antes que el contrincante, sin embargo, el "llegar antes" puede ser relativo al observador que lo mide. Ahora bien, el hecho de que los dos contrincantes hubieran reclamado al árbitro significa que ambos lo consideraban el referente válido.

Precisamente, tal y como dices, "llegar antes" es relativo al observador que lo mide. La tortuga observa que la liebre todavía no ha llegado a meta cuando cruza la suya, y viceversa. ¿No? En cualquier caso, según la corrección del profesor, la queja de ambas está justificada, así que supongo que la respuesta es un argumento parecido.

Lo que realmente me interesa resolver del ejercicio es la segunda pregunta.

Gracias igualmente, Jaime.

[Richard R Richard]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

La velocidad de la liebre segun la tortuga es

$V_{lt}=\dfrac{V_t+v_l}{1+\dfrac{v_lV_t}{c^2}}=\dfrac{2v_0}{1+\dfrac{v_0^2}{c^2}}$

y la distancia que recorre la liebre segun la tortuga , es diferente de la que ve el juez

$d_{lt}=\dfrac{2d}{\gamma_j}$

la libre se aleja el doble de la distancia que ella recorre

luego el tiempo que tarda en llegar la liebre para la tortuga

$t_{lt}=\dfrac{d_{lt}}{V_{lt}}=\dfrac{ 2d \left(1+\dfrac{v_0^2}{c^2}<br /> \right )}{2v_0\gamma_j}$

mientras que ella tardo

$t_{ll}=\dfrac{ d}{v_0\gamma_j}$

luego

$\dfrac{t_{lt}}{t_{ll}}=\dfrac{\dfrac{\cancel {2 d} \left(1+\dfrac{v_0^2}{c^2}<br /> \right )}{\cancel {2v_0\gamma_j}}}{\dfrac{ \cancel {d}}{\cancel {v_0\gamma_j}}}=1+\dfrac{v_0^2}{c^2}>1$

de donde $t_{lt}>t_{ll}$ que justifica el reclamo de la tortuga, y debido a la relatividad también el de la liebre que será $t_{tl}>t_{tt}$

- - - Actualizado - - -

Además si el reclamo obedecería a que la tortuga observa llegar a la liebre en la meta entonces a ese tiempo habrá que adicionarle el tiempo que tarda la luz en ir de meta a meta,

$t_{olt}=t_{lt}+2\dfrac{d}{c}$

Lo que hace ovbio que siempre veremos llegar mas tarde al contrincante incluso a velocidades no relativistas, por ello que se dispone de un juez que determine el resultado correcto de la carrera.

[Moto321]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

Buenas, Richard. Gracias por tu contestación, como siempre. Creo que entiendo tu planteamiento.

Aunque me surge una duda: ¿estás considerando a la liebre y a la tortuga como un único sistema? ¿O como sistemas separados?

La $\gamma_j$ es la correspondiente a la velocidad de lejanía tanto de la liebre como de la tortuga respecto al juez?

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

¿estás considerando a la liebre y a la tortuga como un único sistema? ¿O como sistemas separados?

el problema pide que lo veamos como lo haría la tortuga, así que pongo un sistema de referencia viajando junto a la tortuga,

de ese modo lo velocidad del juez es $-v_0$ cuyo factor de lorentz lo denominé $\gamma_j$

La $\gamma_j$ es la correspondiente a la velocidad de lejanía tanto de la liebre como de la tortuga respecto al juez?

disculpa si no fui claro con la nomenclatura o de donde vienen los datos, aver si me puedo explicar mejor, $\gamma_j=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v_0^2}{c^2}}}$

es el factor de lorentz debido a la velocidad relativa de los competidores con respecto al juez.



retipeo parte de lo que ya te comentado, aunque quizás sobre esto no te quedan dudas ....


Según la teoría clásica la tortuga la liebre debería llevar $-2 v_0$ pero en relatividad sabemos que la adición de velocidades relativistas no es directa, sino que la podemos calcular como



$V_{lt}=\dfrac{V_t+v_l}{1+\dfrac{v_lV_t}{c^2}}=\dfrac{2v_0}{1+\dfrac{v_0^2}{c^2}}$


según el juez la distancia que deben recorrer ambos participantes es $d$ (en el sistema de referencia del Juez) pero esa distancia en el sistema de referencia de la tortuga es $\dfrac{d}{\gamma_j}$, además durante el transcurso de la carrera para llegar a la meta la liebre debe alejarse de la tortuga el doble de esa distancia, esto es

$d_{lt}=\dfrac{2d}{\gamma_j}$

entonces la división entre distancia y velocidad nos da el tiempo que tarda en llegar la liebre a la meta según la tortuga

$t_{lt}=\dfrac{d_{lt}}{V_{lt}}=\dfrac{ 2d \left(1+\dfrac{v_0^2}{c^2}<br /> \right )}{2v_0\gamma_j}$

luego tiene que hacer los cálculos para ella misma, y ella sabe que recorrió la distancia $\dfrac{ d}{\gamma_j}$ a velocidad $v_0$ puesto que es la velocidad con la que se aleja del juez, por lo que su tiempo de carrera es

$t_{ll}=\dfrac{ d}{v_0\gamma_j}$

Entonces como podemos hacer para comparar teóricamente si los tiempos son mayores ,menores o iguales, es estableciendo una relación sencilla, un ratio, si este es siempre mayor , menor o igual a la unidad servirá para extraer conclusiones.

$\dfrac{t_{lt}}{t_{ll}}=\dfrac{\dfrac{\cancel {2 d} \left(1+\dfrac{v_0^2}{c^2}<br /> \right )}{\cancel {2v_0\gamma_j}}}{\dfrac{ \cancel {d}}{\cancel {v_0\gamma_j}}}=1+\dfrac{v_0^2}{c^2}>1$

El término $\dfrac{v_0^2}{c^2}$ siempre es mayor que 0 y menor que la unidad, por lo que se puede ver que en el SR de la tortuga sucede que $t_{lt}>t_{ll}$, esto es la liebre tardó tiempo más que ella en recorrer la misma distancia, lo que justifica el reclamo de la tortuga,

Ahora bien el mismo planteo puede hacer la liebre debido a la relatividad y también su reclamo será valido pues llegará a la conclusión de que $t_{tl}>t_{tt}$

Este análisis se basa en lo que sucede en el sistema de referencia de la tortuga y no en lo que la tortuga aprecia con sus ojos , para ver a la liebre llegar a la meta todavía debe suceder que la luz de ese evento llegar a los ojos de la tortuga , entonces a ese lapso tiempo en el sistema de referencia de la tortuga , habrá que adicionarle el tiempo que tarda la luz en ir de la meta de la liebre a la meta de la tortuga, así

$t_{olt}=t_{lt}+2\dfrac{d}{c}$

echando mas leña al fuego sobre el reclamo.

Saludos

[Moto321]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

Gracias por las aclaraciones, Richard. Pero aun así, me surge una duda.

según el juez la distancia que deben recorrer ambos participantes es $d$ (en el sistema de referencia del Juez) pero esa distancia en el sistema de referencia de la tortuga es $\dfrac{d}{\gamma_j}$

Respecto a esto, en el sistema de referencia de la tortuga, esa distancia no sería $\gamma_j d$, en lugar de $\dfrac{d}{\gamma_j}$? Puesto que, respecto los sistemas en reposo (en este caso el juez), las distancias se contraen y los tiempos se dilatan, no?

[Richard R Richard]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

Gracias por las aclaraciones, Richard. Pero aun así, me surge una duda.



Respecto a esto, en el sistema de referencia de la tortuga, esa distancia no sería $\gamma_j d$, en lugar de $\dfrac{d}{\gamma_j}$? Puesto que, respecto los sistemas en reposo (en este caso el juez), las distancias se contraen y los tiempos se dilatan, no?

Justamente lo contrario en el sistema de referencia de la tortuga, las distancias medidas en reposo son las mas largas, y las que se mueven se contraen en el factor de Lorentz, y los tirmpos mas cortos se miden en el sitema de referencia en reposo, si alguna vez te dije lo contrario analicemos ese problema puntualmente, pero aqui lo que mide el juez es mas corto segun la tortuga que lo que mide el juez visto por el juez.

De allí vienen los términos contracción de longitudes y dilatación temporal para los SR en movimiento relativo a nuestro SR en reposo

[Moto321]

Re: La tortuga y la liebre relativistas

Entiendo. Muchas gracias, Richard!