1r ciclo Más tortugas y liebres relativistas.

[Moto321]

Buenas tardes, me hallo intentando resolver otro ejercicio sobre liebres y tortugas relativistas. El enunciado dice así:

Una liebre y una tortuga compiten en una carrera saliendo las dos en la misma dirección. Sin embargo, ambas acuerdan que la meta de la tortuga esté solamente a la mitad de distancia que la de la liebre (que está a $d$) según el juez, que está quieto en el origen. La liebre emprende su marcha a $v$. Al final, el juez observa que las dos llegan al mismo tiempo a sus respectivas metas.

a) Según la liebre, ¿cuánto tarda en llegar a su meta? ¿Y la tortuga?
b) Según la tortuga, ¿cuánto tarda en llegar a su meta? ¿Y la liebre?

Mi razonamiento es el siguiente:

a) Según la liebre, ésta tarda $d/\gamma v$ en llegar a su meta. Para saber el tiempo que tarda la tortuga en llegar a su meta según la liebre, primero calculamos la velocidad con la que se mueve la tortuga respecto la liebre, que sabemos tiene que ser inferior a $v$ (la velocidad con la que el juez se mueve respecto la liebre). Con la adición de velocidades relativistas llegamos a

$v_{tl}=\frac{v-v_{to}}{1-v v_{to}}$, donde $v_{to}$ se calcula a partir de $d/v=d/2v_{to}$

El problema es que no sé si la afirmación anterior es correcta. A ver si podéis ayudarme.

Gracias de antemano y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Más tortugas y liebres relativistas.

Menudo embrollo, espero serte útil

El juez ve que la distancia a la meta de la liebre es d y que su velocidad es v
A la vez ve que la distancia recorrida por la tortuga es d/2 y para que tarde lo mismo que la liebre su velocidad relativa con el juez debe ser v/2

La liebre con respecto al juez ve acortada su distancia en el factor de lorentz

$d_L=\dfrac{d}{\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}}$

que recorre con velocidad v , su tiempo de llegada ,

$t_L=\dfrac{d}{v \gamma_L }$

pero para saber la velocidad relativa de la liebre y la tortuga debemos emplear la suma relativista de velocidades

$v=\dfrac{\frac v2+v_r}{1+\dfrac{v_r v}{2c^2}}$ de donde despejas $v_r$

$v_r=\dfrac v2\left(1-\dfrac{v^2}{2c^2}\right )$
en el sistema de referencia de la liebre la tortuga viaja con velocidad $- v_r$ la mitad de la distancia a la meta $d_{TL}=\dfrac{d}{2\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}}$

por lo que el tiempo que vera que emplea la tortuga es

$t_{TL}=\dfrac{d}{2v_r\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}}$

Aqui se mezclan la velocidad v del factor gamma con la relativa entre observadores , porque es un ejercicio teorico

y haciendo el mismo ejercicio pero visto por la tortuga

esta con respecto al juez ve acortada su distancia en el factor de lorentz

$d_T=\dfrac{d}{\sqrt{1-\dfrac {v^2}{4c^2}}}$

que recorre con velocidad v/2 , su tiempo de llegada ,

$t_T=\dfrac{\frac d2}{\gamma_T \frac v2}=\dfrac{d}{v \gamma_T }$

ya sabemos que la velocidad relativa entre liebre y tortuga es $v_r$

en el sistema de referencia de la tortuga la liebre viaja con velocidad $v_r$ la mitad de la distancia a la meta $d_{LT}=\dfrac{d}{2\sqrt{1-\dfrac {v^2}{4c^2}}}$

por lo que el tiempo que vera que emplea la tortuga es

$t_{TL}=\dfrac{d}{2v_r\sqrt{1-\dfrac {v^2}{4c^2}}}$

nuevamente se mezclan la velocidad v del factor gamma con la relativa entre observadores ,


Como lo ves , que opinas? Saludos

[Moto321]

Re: Más tortugas y liebres relativistas.

Buenas de nuevo, Richard.

Creo que mejor no se hubiera podido explicar. Aun así, me surge una pequeña duda: ¿por qué al calcular $d_{TL}=\dfrac{d}{2\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}}$ usamos el factor de lorentz respecto al juez? Quiero decir, no acabo de comprender por qué medidas tomadas desde el juez afectan al cálculo de medidas entre tortuga y liebre.

Salvo esto, creo que he comprendido todo lo demás, así que muchísimas gracias por tu explicación, me ha sido de mucha ayuda.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Más tortugas y liebres relativistas.

Quiero decir, no acabo de comprender por qué medidas tomadas desde el juez afectan al cálculo de medidas entre tortuga y liebre.

Lo que pasa es que la velocidad relativa de la tortuga y la liebre te queda en función de los parámetros que puede medir el juez, ya que la velocidad de la liebre con respecto al juez es $v=-v_{jL}=v_{Lj}$ y la de la tortuga es $\frac v2=-v_{jT}=v_{Tj}$ que reemplazas en el calculo de la adición de velocidades,vista por la tortuga. En un ejercicio no teórico(con números) te daría $v_r=v_{LT}=-v_{TL}=0.35 c$ por poner un ejemplo y no notarias la presencia de$v$ ya que trabajarías con números en vez de funciones de parámetros que aporta el enunciado.

[Moto321]

Re: Más tortugas y liebres relativistas.

De acuerdo. Muchas gracias!