1r ciclo Ejercicio de Lorentz

[The Higgs Particle]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Dos trenes, A y B que se mueven en la misma dirección desde un SR C con velocidades $v_a=\dst \frac{4}{5}c$ y $v_b=\dst \frac{3}{5}c$. Lo que conocemos son las longitudes propias de los trenes A y B, $L_{0a}; L_{0b}$. Calcular:
a) Cuánto tarda en pasar la parte final del tren A la cabeza del tren B
b) ¿Cuánto tarda en ocurrir lo anterior visto desde A?

El primer apartado es relativamente sencillo -y, de hecho, me concide con lo hecho en clase-. Sin embargo, tengo una duda en el apartado b.

a) Se tiene que, desde C:
$x_a=-L_a+v_a t = -\dst \frac{L_{0a}}{\gamma_a} + v_at$ (Ecuación para la parte trasera del tren A)
$x_b= L_b+v_b t = \dst \frac{L_{0b}}{\gamma_b} + v_bt$ (Ecuación para la cabeza del tren B)

Y cuando A adelanta a B:

$x_a=x_b \to t = \dst \frac{L_{0b}/ \gamma_b + L_{0a}/ \gamma_a}{v_a-v_b}$



b) Mi duda concreta es que se me ocurren dos formas de hacer este ejercicio, pero una funciona (b1) y la otra no (b2), y no entiendo por qué esta última falla.

b1) Primero se calcula la velocidad con la que el tren A ve acercarse al tren B, $u_{ab}$:

$\dst u_{ab} = \frac{v_b+v_a'}{1+v_b \frac{v_a'}{c}}= \frac{-5}{13}c$

Posteriormente, se calcula la distancia que se recorre vista desde A hasta que se adelanta:

$L_{at}=L_{0a} + L_{ab} = L_{0a} + \dst \frac{L_{0b}}{\gamma_{ab}}$

De modo que:

$t_a = \dst \frac{L_{at}}{u_{ab}}$


b2) Sabiendo el tiempo y distancia recorrida en el SR A, aplicar:

$t_a = \dst \gamma_a \left( t + \frac{v_a'}{c^2} \Delta x \right)$

donde:

$t=$ tiempo calculado en el apartado a)
$v_a'=$ velocidad con la que desde A se ve acercarse a C: $v_a'=-v_a$
$\Delta x =L_a + L_b = \dst \frac{L_{0a}}{\gamma_a} + \frac{L_{0b}}{\gamma_b}$


Muchas gracias

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de Lorentz

yo creo el error esta en b_1

b1) Primero se calcula la velocidad con la que el tren A ve acercarse al tren B, $u_{ab}$:

$\dst u_{ab} = \frac{v_b+v_a'}{1+v_b \frac{v_a'}{c}}= \frac{-5}{13}c$

la fórmula de la adición de velocidades es

$V=\dfrac{V'+v}{1+\dfrac{vV'}{c^2}}$

en el caso de averiguar la velocidad relativa entre A y B vista desde C

$u_{ab}=\dfrac{v_A-v_B}{1-\dfrac{v_Av_B}{c^2}}$

$u_{ab}=\dfrac 5{13}c$

el acercamiento de B hacia A ser arazon de $-\dfrac 5{13}c$ en su SR



la distancia recorrida vista desde C la calculas bien en B_2 es


$\Delta x =L_a + L_b = \dst \frac{L_{0a}}{\gamma_a} + \frac{L_{0b}}{\gamma_b}$

el $\Delta x_A$ visto por A debe ser distinto a ese valor y el visto por B también sera distinto


Pd edito ahora veo que luego de enmendar un error de calculo coincido con el valor que calculas pero has posteado mal la formula,

la distancia medida por A es

$\Delta x_A=L_{0A}+\dfrac{\gamma_a}{\gamma_b}L_{0B}$

y el tiempo

$<br /> \Delta t_A=\dfrac{\Delta x_A}{u_{ab}}$

para B

$\Delta x_B=L_{0B}+\dfrac{\gamma_b}{\gamma_a}L_{0A}$

y el tiempo

$<br /> \Delta t_B=\dfrac{\Delta x_B}{u_{ab}}$

fijate si con esa corrección alcanza para aclarar el panorama...si no la seguimos con gusto.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Lorentz

Lo cierto es que tengo una duda que no sé si es otra más, aparte de la del problema, o precisamente la clave del error del problema.

Es justo aquí:

la distancia medida por A es

$\Delta x_A=L_{0A}+\dfrac{\gamma_a}{\gamma_b}L_{0B}$

Lo que he hecho en ese punto, como has visto, es calcular el $\gamma(u_{ab})$ y emplearlo directamente. Quiero decir, la ecuación para la contracción de Lorentz es:

$L = \dst \frac{L_0}{\gamma (v)}$

donde $L_0$ es la longitud propia; es decir, la longitud que tiene el cuerpo en aquel sistema en el que se encuentra en reposo.

Si, como creo que has hecho tú, pasas primero a C y luego de C a A no se podría aplicar, porque ni en C ni en A tenemos la longitud propia del tren B; habría que estar trabajando con la ecuación que incluye el desfase temporal, creo. ¿No?

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de Lorentz

Quiero decir, la ecuación para la contracción de Lorentz es:

$L = \dst \frac{L_0}{\gamma (v)}$

Coincido con tu razonamiento, esa es la contracción del tren B vista por A , falta sumarle la propia de distancia del tren A y todo eso dividirlo por la velocidad relativa entre A y B , para calcular el tiempo de cruce visto por A

Si, como creo que has hecho tú, pasas primero a C y luego de C a A no se podría aplicar, porque ni en C ni en A tenemos la longitud propia del tren B; habría que estar trabajando con la ecuación que incluye el desfase temporal, creo. ¿No?

No , yo creo que llegas al mismo resultado aplicando las transformaciones de lorentz completas coordenada a coordenada, aqui solo calculamos la diferencia de coordenadas espaciales, y dividimos por la velocidad relativa, dandondos como resultado el valor del segmento de tiempo entre los dos eventos del cruce. No especificamos cuales fueron esas coordenadas en ningun SR sino la diferencia entre las coordenadas final y la inicial en esos mismo SR.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio de Lorentz

Perdona que haya tardado en responder, Richard, he estado un poco ocupada

No , yo creo que llegas al mismo resultado aplicando las transformaciones de lorentz completas coordenada a coordenada, aqui solo calculamos la diferencia de coordenadas espaciales, y dividimos por la velocidad relativa, dandondos como resultado el valor del segmento de tiempo entre los dos eventos del cruce. No especificamos cuales fueron esas coordenadas en ningun SR sino la diferencia entre las coordenadas final y la inicial en esos mismo SR.

Pero es que esas ecuaciones "cortas" para la relatividad, tanto de la dilatación temporal como de la contracción espacial, se derivan de juntar ecuaciones de Lorentz de puntos concretos en los cuales hay que tener en cuenta cuáles son las magnitudes propias. Por eso yo creo que no sale bien como dices :/


De todas formas, he visto el fallo que tenía. Éste se encontraba en el modo b2:
el espacio recorrido desde el SR C entre el evento 1 (cuando el tren A está por detrás del B) al evento 2 (cuando lo adelanta) no es $\Delta x =L_a + L_b = \dst \frac{L_{0a}}{\gamma_a} + \frac{L_{0b}}{\gamma_b}$, sino:

$\Delta x = x(E_2) - x(E_1) = x_A - 0$

donde:
$x(E_2) =$ posición del evento 2 desde C (que acaba siendo la posición vista desde C a la que se hallan el tren A o B cuando se encuentran -por ello, daría igual si aquí hubiese escrito $x_a \to x_B$)
$x(E_1) =$ posición del evento 1 desde C (inicialmente nulo, por estar en el origen del SR C)

Implementando esto podemos ver cómo b1 y b2 son dos formas equivalentes de resolver el ejercicio.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de Lorentz

Otra forma de hacerlo sería

si se sincronizan las posiciones y los tiempos a 0 justo cuando ambos trenes comienzan a cruzarse.

Entonces el evento 1 inicio del cruce

desde C

$x_{iC}=0$

$t_{iC}=0$

el tiempo que se toman en cruzarse

$t_{fC}=\dfrac{L_{aC}+L_{bC}}{v_{aC}-v_{bC}}=\dfrac{\dfrac{L_{a0}}{\gamma_{AC}}+\dfrac{L_{b0}}{\gamma_{BC}}}{v_{aC}-v_{bC}}$

y la posición del evento final del cruce

$x_{fC}=v_{aC}t_{fC}-L_{aC}=\dfrac{L_{bC}V_{aC}+L_{aC}V_{bC}}{V_{aC}-V_{bC}}$$=\dfrac{\dfrac{L_{b0}}{\gamma_{BC}}V_{aC}+\dfrac{L_{a0}}{\gamma_{AC}}V_{bC}}{V_{aC}-V_{bC}}$

usando las transformaciones de lorentz entre A y C

sabemos que hemos sincronizado por lo tanto

$x_{iA}=0$

$t_{iA}=0$

y la posición final del evento para A

$x_{fA}=\gamma_{AC}(x_{fC}-v_{aC}t_{fC})$

$t_{fA}=\gamma_{AC}(t_{fC}-\dfrac{v_{aC}x_{fC}}{c^2})$

con $\gamma_{AC}=\dfrac 53$ y $\gamma_{BC}=\dfrac 54$


el lapso de tiempo que dura el cruce segun C será

$\Delta t_C=t_{fC}-t_{iC}$

y para A

$\Delta t_A=t_{fA}-t_{iA}$

y asi tienes todos los datos para calcularlo