1r ciclo Relatividad Especial: La nave y el faro

[Benedictt]

¿Es la distancia y el tiempo entre dos sucesos el mismo para todos los observadores independiente de su movimiento?

Aquí un experimento mental para analizarlo.

Una nave espacial parte desde un asteroide a un planeta que está a 900,000km de distancia. La nave viaja a una velocidad constante de 150,000km/s (0.5c). En el asteroide hay un faro que dispara un fotón cada 1 segundo. En el camino hay señales cada 150,000km que le indican a la nave a que distancia está el faro.



Preguntas:
Suponiendo que el asteroide y el planeta esten en reposo.

1) En que tiempo y qué distancia del faro verá la nave el primer fotón.
2) En que tiempo y a que distancia del faro verá la nave el segundo fotón.
3) Cuantos fotones habrá visto la nave al momento de llegar al planeta.

[Richard R Richard]

Re: La nave y el faro.

Primero sincronicemos relojes en el asteroide, segundo supongamos que la nave acelera instantaneamente a c/2, tercero calculamos el factor gamma para esa velocidad

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\frac {c^2}{2^2}}{c^2}}}=1.15$

calculemos el tiempo de llegada visto desde el asteroide$t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{900000km}{150000km/s}=6s$

de ese modo la distancia entre el asteroide y el planeta se acortara en el factor de lorentz


$\Delta x=900000km =\gamma\Delta x'=1.15 \cdot\Delta x'=<br />$

$\Delta x'=779422km$

y el tiempo de viaje $\Delta t'=\dfrac{\Delta x'}v=5.196 s$


desde el sistema en reposo al asteroride el alcance del primer foton que parte en t_o =1 s



$\Delta x =c(t-t_o)=vt=\frac c2 t=c(t-1)$

$t_1=2s$ y $\Delta x_1 =300000km$


el segundo foton


$\Delta x =c(t-t_o)=vt=\frac c2 t=c(t-2)$


$t_2=4s$$\Delta x_2 =600000km$

vera el tercer foton al llegar al planeta en el segundo 6


pero nos preguntan por los tiempo de la nave no del asteroide


$t'=\gamma(t-\dfrac{vx}{c^2})$

para el primer foton

$t_1'=\gamma(2-\dfrac{\frac c2 300000}{c^2})=1.732s$

a una distancia

$x_1'=\gamma(x-vt)=1.15(300000-150000\cdot 2)=0$

lo que es lógico la nave siempre recibe los fotones en el 0 de sus sistema de referencia.

aunque es posible saber la distancia al asteroide en ese instante que es

$x=-vt=259800 km$ en su sistema de referencia


para el segundo

$t_2'=\gamma(4-\dfrac{\frac c2 600000}{c^2})=3.464s$


y el tercero lo recibe cuando arriba

$t_3'=\gamma(6-\dfrac{\frac c2 900000}{c^2})=5.196 s$