Topología del universo

[Weip]

Re: Topología del universo

¡Hola! Ya estoy de vuelta. Me he mirado el tema de $dS$, a ver qué podemos sacar en claro.

No, no es así. Nuestro universo actualmente tiene ratio de densidad de materia (OM) 0.31 y de densidad de energía oscura (OL) 0.69

Para ser un Universo de De Sitter (UDS) riguroso debe se OM=0 y OL=1 Es decir, no es suficiente con que haya energía oscura, (constante cosmológica positiva) sino que debe ser el único componente del universo y además el valor de su ratio de densidad ha de ser exactamente el crítico.

Como la densidad del UDS es la crítica, las rebanadas de tiempo cosmológico contante son variedades de 3 dimensiones espaciales euclídeas, ni esféricas ni hiperbólicas.

El parámetro de Hubble no solo es constante en el espacio para un tiempo fijo, sino que es contante en el tiempo: luego la constante de Hubble es la misma en cualquier punto del espacio y en cualquier instante del tiempo. El factor de escala vale:

$a(t)=a_0 \ \ee^{H \cdot t}$

La gracia del UDS es que cumple el Principio Cosmológico Perfecto: no solo es homogéneo e isótropo en el espacio sino también en el tiempo. Pero el UDS no es nuestro universo, nosotros estamos constituidos de materia, y en el UDS no existiríamos.

¿De dónde puede venir pues?

Lo que no me parece acertado es la parte en negrita. Entiendo que hacia el futuro no será "casi De Sitter" hasta al menos dentro de 20000 Maños (entonces OL=0.99), y hacia al pasado lo es mucho menos todavía, (no cuento la hipotética inflación, que si sucedió, duró solo $10^{-33} \ s$)

Por ejemplo cuando el Universo ya tenía 500 años todavía estaba dominado por la radiación $\Omega_R=0.9$ la materia era $\Omega_M=0.1$ y la energía oscura solo $\Omega_{\Lambda}=\notcien{5}{-15}$

$dS$ es un espaciotiempo sin materia así que en ese sentido no es un modelo de nuestro universo estrictamente, en eso estamos de acuerdo. Por lo que dices entiendo que lo del “casi” está mal dicho porque he obviado 20000 millones de años, que no es poco, mejor sería algo como “a medida que se va expandiendo el universo, como domina la constante cosmológica, éste se va aproximando a un $dS$”. Aún así mirando gráficas como esta creo que, cualitativamente, la aproximación es válida ¿no?

Explicado lo que es el Universo de De Sitter, cambio de tema he intento resumir lo que dice el título del hilo: Topología del Universo.

Las ecuaciones de Fridman solo proporcionan 3 soluciones formalmente distintas, por lo tanto el Universo solo puede tener 3 topologías espaciales SENCILLAS distintas.

1. Con densidad inferior a la crítica: Universo infinito de curvatura espacial constante negativa.
2. Con densidad igual a la crítica: Universo infinito y plano de curvatura espacial nula en todo punto.
3. Con densidad superior a la crítica: Universo finito e ilimitado (sin bordes) de curvatura espacial constante positiva.

Las curvaturas en los 3 casos son constantes en el espacio, pero en los casos 1 y 3 varían de una rebanada de tiempo cosmológico constante a otra.

Estas son las 3 topologías espaciales posibles sencillas. A partir de aquí se puede jugar a las casas de espejos: los casos 1 y 2 en vez de ser espacios infinitos pueden ser espacios periódicos. Sin embargo, sin ningún argumento a favor, la Navaja de Ockham me inclina hacia lo más sencillo, que son las soluciones sin periodicidad.

Steven Weinberg, uno de los más conocidos y reputados cosmólogos es de la misma opinión, dice:

"The spaces with K = 0 or K = −1 are usually taken to be infinite, but there are other possibilities. It is also possible to have finite spaces with the same local geometry, constructed by imposing suitable conditions of periodicity.
Looking out far enough, we should see the same patterns of the distribution of matter and radiation in opposite directions. There is no sign of this in the observed distribution of galaxies or cosmic microwave background fluctuations.
We will not consider these possibilities further here, because they seem ill-motivated. In imposing conditions of periodicity we give up the rotational (though not translational) symmetry that led to the Robertson–Walker metric in the first place, so there seems little reason to impose these periodicity conditions while limiting the local spacetime geometry to that described by the Robertson–Walker metric”

Por cierto, ¿las explicaciones de este hilo amplian o mejoran las de este otro? Geometría del Universo

Pero en esta parte estás hablando de la geometría del universo, no de su topología. En este tema lo que interesa ver no es tanto la curvatura si no cosas como la compacidad o las propiedades de conexión. Es decir, al estudiar la topología del universo se ven más propiedades de la forma del universo que no propiedades métricas. Por ejemplo, la teoría no dice nada sobre si el universo tiene agujeros o no (y bueno, tampoco dice nada acerca de las propiedades globales del universo en general) así que la parte experimental es importante para descartar modelos. Escribiendo sobre esto me he acordado de este artículo de la mula Francis de hace unos años, donde explica que según las observaciones del telescopio espacial Planck, el universo seguramente sea simplemente conexo, dejo link por si interesa a alguien. Es por esto que modelos como $\mathbb{R} \times S^3$ ($dS_4$ está en esta categoría) son sencillos en mi opinión, al menos tanto como $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R} \times H^3$, que también son simplemente conexos. Recalco que no me estoy metiendo en la geometría de estos universos, ese es otro tema.

Explicado lo que es el Universo de De Sitter, cambio de tema he intento resumir lo que dice el título del hilo: Topología del Universo.

Por cierto, ¿las explicaciones de este hilo amplian o mejoran las de este otro? Geometría del Universo

Bueno es cierto que al final no hemos hablado demasiado del tema del título si no que hemos tocado más el tema de $dS$. Aún así creo que el tema del título está suficientemente diferenciado del de la geometría del universo tal como he explicado antes. Por cierto, leyendo el hilo que enlazas, he visto que se debatía sobre el toro tridimensional como posible modelo del universo. Con el estudio del link que he puesto antes este modelo lo tiene difícil para describir la realidad porque el toro tridimensional no es simplemente conexo. Aunque sigue siendo importante acordarse de él porque es un gran ejemplo de universo cerrado con curvatura nula.

Edito:

Perdona mi estulticia, pero aquí es donde me pierdo: cuando dices que $\mathbb{R} \times S^3$ es la topología del espaciotiempo de de Sitter, yo entiendo que el espacio de de Sitter tiene topología de esfera; sin embargo, si k=0, significa que su curvatura es nula y, por tanto, su topología (si es simple) no puede ser cerrada, sino que debe ser plana (abierta).

Perdona por tardar en contestar Jaime. Intentaré explicarme lo mejor posible. Lo que sucede en $dS_4$ es que la curvatura de la rebanada y la curvatura de $dS_4$ son distintas. Si coges el caso de $dS_2$ fíjate que básicamente tenemos un hiperboloide de una hoja, y los hiperboloides por muy curvados que estén, contienen rectas, de curvatura nula. Estas rectas son las rebanadas a las que me estoy refiriendo pero en más dimensiones, es decir, en el caso de $dS_4$ en vez de rectas son espacios tridimensionales. No sé si esta explicación más visual ayuda.

Por cierto, si la curvatura de una variedad es nula entonces su topología puede ser abierta o cerrada: recuerda el toro plano que propusiste en el link que puso Alriga del hilo de la "Geometría del Universo". Déjame añadir que la relación entre la curvatura y la topología de una variedad no es tan directa ni intuitiva como parece, de hecho, este tipo de relaciones suelen ser grandes teoremas en geometría.

[Alriga]

Re: Topología del universo. Universo de De Sitter

Gracias por contestar Weip, del texto:

$dS_4$ es el espaciotiempo de De Sitter de dimensión 4 ... tenía entendido que el universo es "casi" $dS_4$ porque tiene constante cosmológica positiva...

Lo que no me parece acertado es la parte en negrita. Entiendo que hacia el futuro no será "casi De Sitter" hasta al menos dentro de 20000 Maños (entonces OL=0.99), y hacia al pasado lo es mucho menos todavía, (no cuento la hipotética inflación, que si sucedió, duró solo $10^{-33} \ s$)

Por ejemplo cuando el Universo ya tenía 500 años todavía estaba dominado por la radiación $\Omega_R=0.9$ la materia era $\Omega_M=0.1$ y la energía oscura solo $\Omega_{\Lambda}=\notcien{5}{-15}$

Saludos.

[Weip]

Re: Topología del universo

Buenas Alriga. Tu mensaje es largo y lleno de detalles así que, si me permites, como no tengo demasiado tiempo, me lo miro mejor de cara al fin de semana y entonces te respondo con propiedad. Ya avisé que yo de esto no sé mucho así que por si acaso iré a revisar las referencias que leí en su día y ya os contaré. Así a modo rápido no entiendo muy bien porqué citas esta parte:

$dS_4$ es el espaciotiempo de de Sitter de dimensión 4.

Es decir, aquí solo estoy explicando mi notación (que es estándar hasta lo que sé) así que es imposible que esté mal. Luego otra cosilla:

Pero el UDS no es nuestro universo, nosotros estamos constituidos de materia, y en el UDS no existiríamos.

Ya aclaré que $dS_n$ no contiene materia, por eso dije lo del "casi", así que en esto estoy de acuerdo contigo. Aún así por lo que he visto hay físicos que afirman sin este matiz que el universo es $dS_4$ y que entienden por contexto lo del "casi", a mí me suena haberlo leído también en la mula Francis, pero lo dicho ya contestaré de forma más apropiada en unos días vaya a ser que me esté confundiendo.

Es que a mí me da como que estoy leyendo lo mismo solo que peor, por favor Jaime, Weip, no os enfadéis conmigo, todo lo digo con la mejor intención, a lo mejor soy yo el que no entiende, saludos.

No pasa nada, lo entiendo, a ver si lo aclaramos en los siguientes mensajes para que esto quede lo más limpio y ordenado posible.

[Alriga]

Topología del Universo. Universo de De Sitter

Amigos Jaime y Weip, perdonad mi sinceridad, pero creo ver en este hilo cierto desbarajuste, de tal manera que lo dicho hasta ahora, al menos a mí no me aporta conocimiento, sino confusión.

Voy intentar explicar lo que yo creo saber y veamos si estáis de acuerdo, y si a partir de ahí se puede reconducir el hilo aportando otras cosas que yo no sé.

$dS_4$ es el espaciotiempo de de Sitter de dimensión 4.

Yo de estas cosas no sé mucho pero tenía entendido que el universo es "casi" $dS_4$ porque tiene constante cosmológica positiva.

No, no es así. Nuestro universo actualmente tiene ratio de densidad de materia (OM) 0.31 y de densidad de energía oscura (OL) 0.69

Para ser un Universo de De Sitter (UDS) riguroso debe se OM=0 y OL=1 Es decir, no es suficiente con que haya energía oscura, (constante cosmológica positiva) sino que debe ser el único componente del universo y además el valor de su ratio de densidad ha de ser exactamente el crítico.

Como la densidad del UDS es la crítica, las rebanadas de tiempo cosmológico contante son variedades de 3 dimensiones espaciales euclídeas, ni esféricas ni hiperbólicas.

El parámetro de Hubble no solo es constante en el espacio para un tiempo fijo, sino que es contante en el tiempo: luego la constante de Hubble es la misma en cualquier punto del espacio y en cualquier instante del tiempo. El factor de escala vale:

$a(t)=a_0 \ \ee^{H \cdot t}$

La gracia del UDS es que cumple el Principio Cosmológico Perfecto: no solo es homogéneo e isótropo en el espacio sino también en el tiempo. Pero el UDS no es nuestro universo, nosotros estamos constituidos de materia, y en el UDS no existiríamos.

¿De dónde puede venir pues?

… tenía entendido que el universo es "casi" $dS_4$ porque tiene constante cosmológica positiva…

La densidad de nuestro universo, según todas las medidas está muy cerca de la densidad crítica. Hace 10000 Maños el Universo tenía OM=0.9 y OL=0.1 Ahora es OM=0.31 y OL=0.69 Conforme el universo se expande, la constante cosmológica domina. Dentro de 20000 Maños OM=0.01 y OL=0.99 La materia se ha diluido dentro de un espacio enorme.

Dentro de 20000 Maños $0.99 = \Omega_{\Lambda} \approx 1$ A partir de entonces podríamos empezar a aproximar nuestro universo como un UDS de OL=1. Pero solo con el tiempo hacia adelante, no nos hagamos trampas a nosotros mismos y apliquemos OL=1 hacia atrás.

Explicado lo que es el Universo de De Sitter, cambio de tema he intento resumir lo que dice el título del hilo: Topología del Universo.

Las ecuaciones de Fridman solo proporcionan 3 soluciones formalmente distintas, por lo tanto el Universo solo puede tener 3 topologías espaciales SENCILLAS distintas.

1. Con densidad inferior a la crítica: Universo infinito de curvatura espacial constante negativa.
2. Con densidad igual a la crítica: Universo infinito y plano de curvatura espacial nula en todo punto.
3. Con densidad superior a la crítica: Universo finito e ilimitado (sin bordes) de curvatura espacial constante positiva.

Las curvaturas en los 3 casos son constantes en el espacio, pero en los casos 1 y 3 varían de una rebanada de tiempo cosmológico constante a otra.

Estas son las 3 topologías espaciales posibles sencillas. A partir de aquí se puede jugar a las casas de espejos: los casos 1 y 2 en vez de ser espacios infinitos pueden ser espacios periódicos. Sin embargo, sin ningún argumento a favor, la Navaja de Ockham me inclina hacia lo más sencillo, que son las soluciones sin periodicidad.

Steven Weinberg, uno de los más conocidos y reputados cosmólogos es de la misma opinión, dice:

"The spaces with K = 0 or K = −1 are usually taken to be infinite, but there are other possibilities. It is also possible to have finite spaces with the same local geometry, constructed by imposing suitable conditions of periodicity.
Looking out far enough, we should see the same patterns of the distribution of matter and radiation in opposite directions. There is no sign of this in the observed distribution of galaxies or cosmic microwave background fluctuations.
We will not consider these possibilities further here, because they seem ill-motivated. In imposing conditions of periodicity we give up the rotational (though not translational) symmetry that led to the Robertson–Walker metric in the first place, so there seems little reason to impose these periodicity conditions while limiting the local spacetime geometry to that described by the Robertson–Walker metric”

Por cierto, ¿las explicaciones de este hilo amplian o mejoran las de este otro? Geometría del Universo

Es que a mí me da como que estoy leyendo lo mismo solo que peor, por favor Jaime, Weip, no os enfadéis conmigo, todo lo digo con la mejor intención, a lo mejor soy yo el que no entiende, saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Topología del universo

Creo que el ejemplo de las polares no ha sido adecuado. Es al revés, $\mathbb{R} \times S^3$ es la topología del espaciotiempo de de Sitter y $\mathbb{R} \times E^3$ es de las coordenadas. A lo que me venía a referir en el caso de las polares es que la topología de la variedad es plana mientras que la de una de las coordenadas es un círculo intentando dar a entender que la topología de la variedad y las coordenadas pueden ser distintas, nada más. Espero no haberte liado más aún.
(...)
Con $S^3$ no me refiero a las coordenadas esféricas, si no al espacio topológico. Es decir, lo que vendría a ser un esfera de dimensión tres o hiperesfera "desnuda", sin estructuras geométricas ni nada, solo la estructura de espacio topológico (lo de hiperesfera es terminología para entendernos, es que siempre se les llama esferas a $S^n$ sea cual sea la dimensión, incluso a la circunferencia $S^1$ se le dice esfera). Cuando escribo $S^3$, $S^2$ o $S^1$ siempre es para hablar de sus propiedades topológicas, y por ejemplo estoy considerando totalmente equivalentes una esfera de dos dimensiones (pelota de toda la vida) y un cubo, por decir algo.

Perdona mi estulticia, pero aquí es donde me pierdo: cuando dices que $\mathbb{R} \times S^3$ es la topología del espaciotiempo de de Sitter, yo entiendo que el espacio de de Sitter tiene topología de esfera; sin embargo, si k=0, significa que su curvatura es nula y, por tanto, su topología (si es simple) no puede ser cerrada, sino que debe ser plana (abierta).

[Weip]

Re: Topología del universo

Ah, ya veo. Entonces, $\mathbb{R} \times S^3$ representa el sistema de coordenadas que usamos, no la topología. ¿Es así?

Creo que el ejemplo de las polares no ha sido adecuado. Es al revés, $\mathbb{R} \times S^3$ es la topología del espaciotiempo de de Sitter y $\mathbb{R} \times E^3$ es de las coordenadas. A lo que me venía a referir en el caso de las polares es que la topología de la variedad es plana mientras que la de una de las coordenadas es un círculo intentando dar a entender que la topología de la variedad y las coordenadas pueden ser distintas, nada más. Espero no haberte liado más aún.

Edito: Esto no te lo he respondido y creo que es importante:

O sea, ¿el $S^3$ no se refiere a esféricas, como yo lo estoy interpretando?

Con $S^3$ no me refiero a las coordenadas esféricas, si no al espacio topológico. Es decir, lo que vendría a ser un esfera de dimensión tres o hiperesfera "desnuda", sin estructuras geométricas ni nada, solo la estructura de espacio topológico (lo de hiperesfera es terminología para entendernos, es que siempre se les llama esferas a $S^n$ sea cual sea la dimensión, incluso a la circunferencia $S^1$ se le dice esfera). Cuando escribo $S^3$, $S^2$ o $S^1$ siempre es para hablar de sus propiedades topológicas, y por ejemplo estoy considerando totalmente equivalentes una esfera de dos dimensiones (pelota de toda la vida) y un cubo, por decir algo.

[Jaime Rudas]

Re: Topología del universo

Aquí hay que separar lo que es la variedad y lo que son las coordenadas. Déjame poner un ejemplo. En el caso del plano euclídeo tenemos las coordenadas cartesianas y las coordeandas polares. Ambas son como una malla que le ponemos al plano, y fíjate que al pasar a polares, una de las coordenadas tiene forma de círculo.

Ah, ya veo. Entonces, $\mathbb{R} \times S^3$ representa el sistema de coordenadas que usamos, no la topología. ¿Es así?

[Weip]

Re: Topología del universo

Caramba, algo se me escapa y no logro entender qué: si las rebanadas son planas ¿no debería ser la topología $\mathbb{R} \times E^3$ en vez de $\mathbb{R} \times S^3$? O sea, ¿el $S^3$ no se refiere a esféricas, como yo lo estoy interpretando?

Aquí hay que separar lo que es la variedad y lo que son las coordenadas. Déjame poner un ejemplo. En el caso del plano euclídeo tenemos las coordenadas cartesianas y las coordeandas polares. Ambas son como una malla que le ponemos al plano, y fíjate que al pasar a polares, una de las coordenadas tiene forma de círculo. ¿Esto contradice la topología del plano? Pues no, no contradice nada. De igual forma en el espaciotiempo de de Sitter puedes escoger unas coordenadas u otras y esa elección conlleva cosas como las que estamos hablando: las rebanadas a tiempo constante tienen una topología que depende de las coordenadas que usemos. En el caso de las coordenadas polares en el plano si dejamos constante la coordenada radial entonces los puntos que estamos considerando forman un círculo. De igual manera si en el espaciotiempo de de Sitter dejamos constante el tiempo, las rebanadas de espacio son planas en ciertas coordenadas. Esto último de las coordenadas es importante porque como puedes ver en link que te pasé ayer, otras coordenadas llevan a rebanadas con curvatura no nula y con topologías diferentes.

No sé si esta explicación resulta más convincente.

[Jaime Rudas]

Re: Topología del universo

Las rebanadas de las que hablo son planas pero eso no contradice la topología de $dS_4$. Para verlo creo que este dibujo puede ser muy útil. Es un dibujo en dos dimensiones y ya sabes, es un embedding y tal, pero en cuatro dimensiones funciona de manera análoga. Yo me estoy refiriendo a la parte del centro, donde la rebanada es una recta aunque la topología del espaciotiempo es $\mathbb{R} \times S^1$. No sé si esto te ayuda más a visualizar la situación.

Caramba, algo se me escapa y no logro entender qué: si las rebanadas son planas ¿no debería ser la topología $\mathbb{R} \times E^3$ en vez de $\mathbb{R} \times S^3$? O sea, ¿el $S^3$ no se refiere a esféricas, como yo lo estoy interpretando?

[Weip]

Re: Topología del universo

Lo que entiendo aquí es que las rebanadas se refieren al espacio 3D del espaciotiempo en un momento determinado. Ahora bien, las rebanadas con $k=0$ corresponderían a un espacio "plano" $E^3$, sin embargo, según (mal)interpreto esta última cita, tú lo presentas como $S^3$. O sea, interpreto que presentas las rebanadas como "esféricas", cuando yo pensaría que son "planas", dado que $k=0$.
Saludos.

Las rebanadas de las que hablo son planas pero eso no contradice la topología de $dS_4$. Para verlo creo que este dibujo puede ser muy útil. Es un dibujo en dos dimensiones y ya sabes, es un embedding y tal, pero en cuatro dimensiones funciona de manera análoga. Yo me estoy refiriendo a la parte del centro, donde la rebanada es una recta aunque la topología del espaciotiempo es $\mathbb{R} \times S^1$. No sé si esto te ayuda más a visualizar la situación.

[Jaime Rudas]

Re: Topología del universo

La esfera no es homeomorfa al plano, es cierto, pero no tenemos nada parecido en el caso del espacio de de Siter. Cuando tienes un espaciotiempo la manera de distinguir el espacio del tiempo es haciendo una rebanada a tiempo constante. En el caso de nuestro universo esa rebanada tiene curvatura cero, pero es que la forma de hacer este corte depende de las coordenadas y en otras distintas las rebanadas espaciales igual tienen curvatura positiva, o negativa, y no tiene que ver con la topología o con la curvatura del espaciotiempo. No sé si me explico.

Trataré de explicar mejor mi duda. Decías:

Yo de estas cosas no sé mucho pero tenía entendido que el universo es "casi" $dS_4$ porque tiene constante cosmológica positiva. Por tanto en cuanto a forma (topología) es $\mathbb{R} \times S^3$. Al menos cuadra con lo que dice Alriga porque este espaciotiempo tiene rebanadas con $k=0$.

Lo que entiendo aquí es que las rebanadas se refieren al espacio 3D del espaciotiempo en un momento determinado. Ahora bien, las rebanadas con $k=0$ corresponderían a un espacio "plano" $E^3$, sin embargo, según (mal)interpreto esta última cita, tú lo presentas como $S^3$. O sea, interpreto que presentas las rebanadas como "esféricas", cuando yo pensaría que son "planas", dado que $k=0$.
Saludos.

[Weip]

Re: Topología del universo

Hola de nuevo.

Sí, también he leído lo mismo, por ejemplo, en este enlace dice:

Sobre este tema incluso yo diría que es al revés: la topología es la que influye en las propiedades métricas. De esto no he leído en relatividad general pero supongo que pasa como en geometría diferencial. Por ejemplo si tenemos una esfera me puedo preguntar si puedo equiparla con una métrica de forma que tenga curvatura constante negativa. La respuesta es no, y la razón es topológica: la característica de Euler de la esfera es 2 con lo que, por el teorema de Gauss-Bonnet, la curvatura es imposible que sea constante negativa. Así que pensando en este ejemplo la topología del universo también debiera, de alguna forma, limitar la geometría que pueda tener el universo e influir en cierta medida en cosas como la expansión. Pero lo dicho, sobre esto no he leído y ya dije ayer que tampoco es que sepa mucho de esto.

Reflexionando sobre esto, me entró una duda: ¿la esfera es homeomorfa al plano? Lo pregunto porque tenía entendido que no, pero si el espacio de de Sitter (que es abierto ¿cierto?) es homeomorfo a $S^3$ resultaría equivalente ¿o no?

La esfera no es homeomorfa al plano, es cierto, pero no tenemos nada parecido en el caso del espacio de de Siter. Cuando tienes un espaciotiempo la manera de distinguir el espacio del tiempo es haciendo una rebanada a tiempo constante. En el caso de nuestro universo esa rebanada tiene curvatura cero, pero es que la forma de hacer este corte depende de las coordenadas y en otras distintas las rebanadas espaciales igual tienen curvatura positiva, o negativa, y no tiene que ver con la topología o con la curvatura del espaciotiempo. No sé si me explico.

[Jaime Rudas]

Re: Topología del universo

¡Muchas gracias, Weip!: tengo que digerirlo.

$dS_4$ es el espaciotiempo de de Sitter de dimensión 4. (...) Este tipo de universo está en expansión acelerada igual que el nuestro, pero no contiene materia, por eso en el otro hilo dije que nuestro universo es "casi" $dS_4$. Es una aproximación y nuestro universo con el tiempo tiende a un $dS_4$.

¡Ah, claro!: nuestro universo tiende al de de Sitter porque, al estar en expansión acelerada, su densidad tiende a cero, que es precisamente la condición del de de Sitter.

La constante cosmológica junto con la curvatura y la densidad de materia y de radiación determinan el futuro del universo con lo que implícitamente tienen influencia en su compacidad. Aún así la constante cosmológica por sí sola no determina la topología pues otros factores pueden contrarestar sus efectos. Incluso hay propiedades topológicas que no dependen de estos factores. Por ejemplo que el universo sea o no simplemente conexo ("que no tiene agujeros") no está controlado por ninguno de estos factores hasta lo que sé.

Sí, también he leído lo mismo, por ejemplo, en este enlace dice:

[FONT=Georgia][...] there is no particular reason for space to have a trivial topology. In any case, general relativity says nothing on this subject: the Einstein field equations [/FONT][FONT=Georgia]are local partial equations [/FONT][FONT=Georgia] which relate the metric and its derivatives at a point to theeeere matter-energy contents of space at that point. Therefore, to a metric element solution of Einstein field equations there are several, if not an infinite number, of compatible topologies, which are also possible models for the physical universe. For example, the hypertorus [/FONT]$T^3$[FONT=Georgia] and the usual Euclidean space [/FONT]$E^3$[FONT=Georgia] are locally identical, and relativistic cosmological models describe them with the same FLRW equations, even though the former is finite in extent while the latter is infinite. Only the boundary conditions on the spatial coordinates are changed. The multi-connected cosmological models share exactly the same kinematics and dynamics[/FONT][FONT=Georgia] as the corresponding simply-connected ones; in particular, the time evolutions of the scale factor [/FONT][FONT=Georgia][FONT=MathJax_Math]R[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]t[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][FONT=Georgia] are identical.[/FONT]

Según yo lo entiendo, esto significa que, por ejemplo, k=0 no implica necesariamente que sea infinito.

Sí, pero lo de lineal y esférico con muchas comillas. De forma más concreta me refiero a que $dS_4$ es homeomorfo a $\mathbb{R} \times S^3$, es decir, puedo deformar un espacio en otro y conservar todas las propiedades topológicas (conexión, compacidad, "número de agujeros")... Lo que quiero dejar claro es que el tiempo geométricamente está curvado en $dS_4$ y por tanto no es $\mathbb{R}$, pero esto la topología no lo distingue y considera ambos espacios equivalentes.

Reflexionando sobre esto, me entró una duda: ¿la esfera es homeomorfa al plano? Lo pregunto porque tenía entendido que no, pero si el espacio de de Sitter (que es abierto ¿cierto?) es homeomorfo a $S^3$ resultaría equivalente ¿o no?

Antes de nada decir que lo de "rebanadas" no sé si está bien dicho en este contexto. Yo quiero decir slice, pero nunca lo he visto traducido al castellano en un libro de física así que le llamo rebanada porque es lo que más se acerca a la idea. Esta parte de aquí viene de que en nuestro universo según las observaciones, $k=0$. Por tanto si hago rebanadas a tiempo constante al modelo del universo que esté considerando entonces debería obtener una parte espacial con $k=0$ para que el modelo describiera la realidad. $dS_4$ tiene rebanadas con esta característica (aunque depende como definas estas rebanadas también las hay con curvatura positiva y negativa) con lo cuál se impone con más firmeza como modelo del universo a gran escala.

PD: No viene mucho a cuento pero por completar la explicación, el análogo lorentziano del espacio hiperbólico es $AdS_n$, el espaciotiempo Anti-de Sitter de dimensión $n$, que seguro que te sonará por la conjetura AdS/CFT.

Aquí ya me pierdo: quizás lo entienda si me aclaras el punto anterior.

[Weip]

Re: Topología del universo

Buenas tardes.

¿Qué significa $dS_4$?

$dS_4$ es el espaciotiempo de de Sitter de dimensión 4. Es la solución maximalmente simétrica de las ecuaciones de Einstein en el vacío con constante cosmológica positiva. Tiene curvatura constante positiva así que en este sentido es el análogo lorentziano de la esfera. Para ayudar un poco con la visualización, en este link puedes ver un dibujo de un embedding de $dS_2$ en un espaciotiempo de Minkowski de tres dimensiones (en el dibujo el tiempo va hacia arriba). Este tipo de universo está en expansión acelerada igual que el nuestro, pero no contiene materia, por eso en el otro hilo dije que nuestro universo es "casi" $dS_4$. Es una aproximación y nuestro universo con el tiempo tiende a un $dS_4$.

¿Qué implicación tiene la constante cosmológica en la topología?

La constante cosmológica junto con la curvatura y la densidad de materia y de radiación determinan el futuro del universo con lo que implícitamente tienen influencia en su compacidad. Aún así la constante cosmológica por sí sola no determina la topología pues otros factores pueden contrarestar sus efectos. Incluso hay propiedades topológicas que no dependen de estos factores. Por ejemplo que el universo sea o no simplemente conexo ("que no tiene agujeros") no está controlado por ninguno de estos factores hasta lo que sé.

¿$\mathbb{R} \times S^3$ significa la un tiempo "lineal" y un espacio "esférico"?

Sí, pero lo de lineal y esférico con muchas comillas. De forma más concreta me refiero a que $dS_4$ es homeomorfo a $\mathbb{R} \times S^3$, es decir, puedo deformar un espacio en otro y conservar todas las propiedades topológicas (conexión, compacidad, "número de agujeros")... Lo que quiero dejar claro es que el tiempo geométricamente está curvado en $dS_4$ y por tanto no es $\mathbb{R}$, pero esto la topología no lo distingue y considera ambos espacios equivalentes.

Cuando k=0 el espacio es "plano". ¿Cómo cuadraría eso con las "rebanadas" de un espacio "esférico"?

Antes de nada decir que lo de "rebanadas" no sé si está bien dicho en este contexto. Yo quiero decir slice, pero nunca lo he visto traducido al castellano en un libro de física así que le llamo rebanada porque es lo que más se acerca a la idea. Esta parte de aquí viene de que en nuestro universo según las observaciones, $k=0$. Por tanto si hago rebanadas a tiempo constante al modelo del universo que esté considerando entonces debería obtener una parte espacial con $k=0$ para que el modelo describiera la realidad. $dS_4$ tiene rebanadas con esta característica (aunque depende como definas estas rebanadas también las hay con curvatura positiva y negativa) con lo cuál se impone con más firmeza como modelo del universo a gran escala.

PD: No viene mucho a cuento pero por completar la explicación, el análogo lorentziano del espacio hiperbólico es $AdS_n$, el espaciotiempo Anti-de Sitter de dimensión $n$, que seguro que te sonará por la conjetura AdS/CFT.

[Jaime Rudas]

Yo de estas cosas no sé mucho pero tenía entendido que el universo es "casi" $dS_4$ porque tiene constante cosmológica positiva. Por tanto en cuanto a forma (topología) es $\mathbb{R} \times S^3$. Al menos cuadra con lo que dice Alriga porque este espaciotiempo tiene rebanadas con $k=0$.

A esto de la topología del universo le he venido dando vueltas desde hace tiempo sin mucho éxito, porque mis conocimientos de topología son escasos. En cuanto a lo que dices, me surgen varias dudas:

¿Qué significa $dS_4$? ¿Qué implicación tiene la constante cosmológica en la topología?
¿$\mathbb{R} \times S^3$ significa la un tiempo "lineal" y un espacio "esférico"?
Cuando k=0 el espacio es "plano". ¿Cómo cuadraría eso con las "rebanadas" de un espacio "esférico"?