2o ciclo Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

[Pepealej]

Hola Físicxs! Tengo el siguiente problema que no sé muy bien como abordar. Si alguien me puede ayudar se lo agradecería mucho.

La solución de Schwarzschild para un Agujero Negro en un espacio con métrica Euclidiana es:

$ds^2=\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)d\tau ^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin ^2 (\theta)d\phi ^2)$

con una singularidad aparente en $r=0$. Demuestra que, tomando $\tau$ como una coordenada angular, la singularidad no es física sino de coordenadas, y encuentra el periodo de $\tau$ que hace que sea posible.

(Pista: considera expandir las funciones métricas alrededor de $r=2m$)

Muchísimas gracias por ayudarme!

[Lorentz]

Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

Buenos días,

Sólo tienes que comprobar que el escalar de Kretschmann no diverge cuando $r=2m$.

https://en.wikipedia.org/wiki/Curvat...pal_invariants

Ninguno de los invariantes de curvatura diverge en ese punto (hay alguno más pero el principal es el que he mencionado).

Un saludo

PD1: Sí es singularidad física en $r=0$, pero en $r=2m$ es sólo aparente.

PD2: Comprobando el Carroll, el escalar toma la forma (tomando $G=1$):

$\dst R^{\mu \nu \rho \sigma}R_{\mu \nu \rho \sigma}=\frac{48m^2}{r^6}$

Así puedes ver que en efecto lo que he mencionado en la PD1 es cierto, pues diverge para $r=0$ mientras que no lo hace para $r=2m$.

[Pepealej]

Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

Hola Lorentz, gracias por tu respuesta. Aun así no me está quedando muy claro (no he dado un curso tan a fondo sobre Relatividad General). Y, de la forma en la que propones que lo haga, no estoy siguiendo el procedimiendo que me indican en el problema "Demuestra que, tomando $\tau$ como una coordenada angular, la singularidad no es física sino de coordenadas, y encuentra el periodo de que hace que sea posible (Pista: considera expandir las funciones métricas alrededor de $r=2m$)"

¿Podrías echarme una mano en esa dirección? Muchísimas gracias!!!

[Lorentz]

Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

Claro,

Para calcular el cambio de coordenadas en primer lugar tienes que calcular las null geodesics en el plano $rt$ (te pongo la solución para que la compruebes):

$\dst u^0=\frac{k}{1-\frac{2m}{r}}$

($k$ es una constante)

Luego observas el elemento de línea y queda:

$u^1=\pm k$

Tomando el cociente obtienes:

$\dst \frac{dr}{dt}=\frac{u^1}{u^0}=\pm \left(\frac{1}{1-\frac{2m}{r}}\right)$

Integrando tienes:

$\dst \pm t=r+2m log \left(r-2m\right)$

(Estoy obviando la cte de integración porque luego no importa, cuando definamos a continuación las null coordinates)

Null coordinates:

$\dst u=t+r+2m log \left(r-2m\right)$

$\dst u=t-r-2m log \left(r-2m\right)$

Imagino que desarrollarlo alrededor de $r=2m$ será esto.

Estas coordenadas se caracterizan porque cuando u es cte nos da una ingoing null geodesic y cuando v es cte nos da una outgoing null geodesic.

Lo pones en forma diferencial y lo metes en el elemento de línea:

$\dst ds^2=-\left(1-\frac{2m}{r}\right)dudv+r^2 d\Omega^2$

Tras haber hecho esto puedes hacer el cambio de coordenadas:

$\dst U=e^\frac{u}{4m}$

$\dst V=e^\frac{-v}{4m}$

Y escribes el elemento de línea tal que:

$\dst ds^2=\frac{16m^2}{r}e^\frac{-r}{2m}dUdV+r^2d\Omega^2$

Como puedes ver al haber hecho este cambio se ve que la singularidad en $r=2m$ sólo venía por una mala elección de coordenadas. Este punto es al que se le llama el horizonte de eventos.

ACTUALIZACIÓN

Revisando lo que había escrito sobre el cálculo del período, me he dado cuenta de que lo que había calculado era el tiempo que tardaba una partícula en caer a la singularidad en $r=0$ no el período que hacía posible que no fuera una singularidad física. No tengo muy claro cómo abordar lo del período, así que perdona pero en ese apartado no puedo ayudar.

Un saludo

[Pepealej]

Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

Para calcular el cambio de coordenadas en primer lugar tienes que calcular las null geodesics en el plano $rt$ (te pongo la solución para que la compruebes):

$\dst u^0=\frac{k}{1-\frac{2m}{r}}$

($k$ es una constante)

Luego observas el elemento de línea y queda:

$u^1=\pm k$

Tomando el cociente obtienes:

$\dst \frac{dr}{dt}=\frac{u^1}{u^0}=\pm \left(\frac{1}{1-\frac{2m}{r}}\right)$

Hola Lorentz! Muchas gracias por tu respuesta. La estoy usando de guía para ir resolviendo el problema, pero me he atascado en el primer paso. ¿Me podrías echar una mano?

He hecho lo que siempre suelo hacer para calcular geodésicas, que es obtener el Lagrangiano y luego resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange. En este caso he escrito el elemento de línea como:

$ds^2=-\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)c^2dt^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin ^2 (\theta)d\phi ^2)$

Y he calculado el Lagrangiano al cuadrado:

$\mathcal{L}^2=\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)c^2\dot{t}^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}\dot{r}^2+r^2(\dot{\theta}^2+\sin^2(\theta)\dot{\phi}^2)$

donde $\dot{ }$ denota derivada con respecto al tiempo propio $d/d\tau$, y luego he calculado las ecuaciones de Euler-Lagrange, pero no llego a tu resultado.

Me da que algo estoy haciendo mal...

Gracias!!!

- - - Actualizado - - -

ACTUALIZACIÓN

Revisando lo que había escrito sobre el cálculo del período, me he dado cuenta de que lo que había calculado era el tiempo que tardaba una partícula en caer a la singularidad en $r=0$ no el período que hacía posible que no fuera una singularidad física. No tengo muy claro cómo abordar lo del período, así que perdona pero en ese apartado no puedo ayudar.

Ohh! Entonces puede que me puedas ayudar con otro problema que tengo que es precisamente eso, calcular el tiempo que transcurre para un observador que cae en un agujero negro hasta la singularidad! Lo postearé en otro hilo y te lo pasaré. Infinitas gracias!

------ ACTUALIZACIÓN -------

He conseguido resolver el problema (más o menos)!!! Tampoco he hecho el cambio de variable a coordenadas angulares ni he encontrado ningún periodo, pero he probado que la singularidad no es física.

----- COMENTARIO ---------

El hilo que te comentaba con el problema de cuánto tiempo transcurre para un observador que cae en un agujero negro hasta $r=0$ es el siguiente:

http://forum.lawebdefisica.com/threa...Negro?p=185535

Muchísimas gracias por ayudarme!

[Lorentz]

Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

He conseguido resolver el problema (más o menos)!!! Tampoco he hecho el cambio de variable a coordenadas angulares ni he encontrado ningún periodo, pero he probado que la singularidad no es física.

Me alegro, realmente lo que te pedía era lo del período y probar que no es física, hacer el cambio de coordenadas es opcional.

Un saludo