2o ciclo Caída libre en Agujero Negro

[Pepealej]

Hola Físicxs! Tengo el siguiente problema:

Dada la generalización 5-D de la solución de Schwarszschild con elemento de línea:

$ds^2=-\Bigg(1-\frac{r^2_+}{r^2}\Bigg)dt^2+\Bigg(1-\frac{r^2_+}{r^2}\Bigg)^{-1}dr^2+r^2[d\chi^2+\sin^2(\chi)(d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2)]$

donde $r_+$ es una constante positiva. Un observador cae radialmente comenzando desde el reposo desde $r=10r_+$. ¿Cuánto tiempo transcurre en su reloj hasta que llega a la singularidad en $r=0$?

---- MI INTENTO HA SIDO: -----

Usando las coordenadas de Lemaitre $\tau$, $\rho$ para eliminar la singularidad de $ds^2$ en $r_+$:

$d\tau=dt+\frac{r_+}{r}\frac{dr}{1-\frac{r^2_+}{r^2}}$

$d\rho=dt+\frac{r}{r_+}\frac{dr}{1-\frac{r_+^2}{r^2}}\quad\quad\quad (1)$

tenemos el siguiente elemento de línea sin singularidad en $r_+$:

$ds^2=-d\tau^2+\frac{r_+}{r}d\rho^2+r^2d\Omega^2$

donde $r=\sqrt{2(\rho-\tau)r_+}$, que se obtiene de integrar $d\rho-d\tau=\frac{r}{r_+}dr$.

Para un cuerpo en caída libre, $d\rho=0$, y de la ecuación (1) se obtiene:

$dt=-\frac{r}{r_+}\frac{1}{1-\frac{r_+}{r}}dr$

Integrando esta ecuación desde $r=10r_+$ hasta $r=0$ debería obtener el tiempo por el que me preguntan en el problema:

$\Delta\tau=-\int_{10r_+}^0 \frac{r}{r_+}\frac{1}{1-\frac{r^2_+}{r^2}}dr$

Es correcto?

Muchas gracias!!!

[Lorentz]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Buenas tardes

Me parece que sí, pero sólo le he podido echar un vistazo por encima, cuando tenga un rato, si nadie más te contesta lo calculo y te escribo si coincidimos o no, pero en principio no veo errores en el procedimiento. De todos modos, yo también soy estudiante así que puedo equivocarme eh .

Un saludo

[Pepealej]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Hola Lorentz! Mil gracias por tus respuestas y tu ayuda, me están sirviendo de mucho.

En mi cálculo, no estoy demasiado seguro del último paso que hice: cuando paso de $dt$ a calcular el tiempo propio que mide un observador que cae al agujero negro. No se si es correcto. ¿Tú qué opinas?

---- ACTUALIZACIÓN -----

De hecho está mal. Acabo de calcular la última integral con Wolframalpha y diverge. No puede ser el tiempo propio...

---- NUEVO INTENTO -----

Estaba leyendo por wikipedia y dicen lo siguiente: las timelike geodesics se dan cuando $d\rho=0$, y $\tau$ es el tiempo propio en ellas. Entonces, si esto es cierto, lo único que hay que hacer es hacer $d\rho=0$, obtener $dt$ y sustituirlo en la ecuación para $d\tau$, que me da:

$d\tau=-\frac{r}{r_+}dr$,

y por tanto el tiempo que mide el observador que cae al agujero negro sería: $d\tau=-\int_{10r_+}^0\frac{r}{r_+}dr=50r_+$.

¿Correcto?

[Lorentz]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Primero, disculpa la demora, he estado ocupado.

Hay una cosa que quiero matizar:

Usando las coordenadas de Lemaitre , para eliminar la singularidad de en :





tenemos el siguiente elemento de línea sin singularidad en :

El elemento de línea en realidad sería:

$\dst ds^2=-d\tau^2+\frac{r^2_{+}}{r^2}d\rho^2+r^2d\Omega^2$

El ángulo sólido no es el que has puesto, ya que te falta un ángulo (recuerda que estamos en $5D$, con $3$ angulares). Si lo dejas de este modo sin especificar el ángulo sólido estaría bien. Además, el cuadrado es necesario ponerlo en $r$ y $r_{+}$.

El resultado que obtengo yo es el mismo que obtienes tú, efectivamente este último método era el correcto (disculpa por el del otro día, no le pude echar un vistazo profundo).

Como curiosidad enlazo un artículo del 2004 en el que se da una forma general para $n+3 \geqslant 4$ dimensiones del elemento de línea de un agujero negro de Schwarzschild:

https://arxiv.org/abs/gr-qc/0411033

Un saludo

PD: Te voy a hacer una recomendación que en su momento me hizo Alriga. Puedes hacer más grandes (con mejor visibilidad) las ecuaciones que escribas en LaTeX en el foro poniendo \dst justo al empezar a escribir la expresión, por ejemplo mira como quedan las ecuaciones:

d\tau=dt + \frac{r_{+}}{r}\frac{dr}{1-\frac{r^2_{+}}{r^2}}

$d\tau=dt + \frac{r_{+}}{r}\frac{dr}{1-\frac{r^2_{+}}{r^2}}$

Como ves, esta no tiene el comando \dst.

En cambio esta sí:

\dst d\tau=dt + \frac{r_{+}}{r}\frac{dr}{1-\frac{r^2_{+}}{r^2}}

$\dst d\tau=dt + \frac{r_{+}}{r}\frac{dr}{1-\frac{r^2_{+}}{r^2}}$

Y a mi parecer es mucho más legible así.

[Pepealej]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Hola Lorentz! Gracias por tu respuesta.

He estado investigando un poco más y resulta que hacer $d\rho=0$ solo valdría si el cuerpo cae desde el reposo en el infinito, no vale para un cuerpo que cae desde el reposo en una distancia finita, como es este caso.

Invesntigando un poco más llegué a otro método. Este da un resultado muchísimo más sucio, y no me da demasiada confianza. No sé cuál de los dos sería correcto. Lo inserto aquí a modo de imagen:

Nota: este problema lo tengo que entregar mañana como tarde

MIL GRACIAS!!!

PD: Me di cuenta de los errores que mencionas. No los hice en el cálculo, se me pasó al escribirlos en el post. Gracias!

[Lorentz]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Mmmmm yo había leído que lo que habíamos hecho antes era para un cuerpo en caída libre, sin mención a lo de desde el reposo en el infinito.

Mira por ejemplo este enlace:

http://owww.phys.au.dk/~fedorov/GTR/09/note11.pdf

[Pepealej]

Re: Caída libre en Agujero Negro

JUSTO!!! Ese mismo pdf es el que encontré yo, y me guié por él!

Pues mira, si ya no vamos a avanzar más en el problema, voy a confiar en nuestras dos intuiciones puestas en común, y voy a poner la respuesta que originalmente habíamos pensado, que tiene buena pinta.

[Lorentz]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Perfecto!! Pues ya comentarás lo que te digan

[sater]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Buenas, perdón si llego tarde, pero para calcular el tiempo propio podríais simplemente repetir lo que se hace en la página 197 de los apuntes de Relatividad General de Bert Janssen: https://www.ugr.es/~bjanssen/text/Be...dadGeneral.pdf pero para esta solución 5-dimensional.

Un saludo.

[Lorentz]

Re: Caída libre en Agujero Negro

Según esos apuntes parece que sí, en efecto lo que pusimos era correcto para un cuerpo en caída libre (sin tener en cuenta lo del infinito, etc).

El método empleado en esos apuntes es equivalente al que hay en los posts superiores.

Un saludo.