2o ciclo Integración en coordenadas isotrópicas

[Magic24]

Hola buenas, a la hora de tomar coordenadas isotrópicas en una métrica general para un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico, en el proceso me encuentro con la siguiente expresión:

$\dfrac{dr'^2}{r'^2}= \dfrac{dr^2}{r^2 (1-2M/r)}$

En teoría, la solución es:

$r = r'\left(1 + \dfrac{M}{2r'}\right)^2$

Me han sugerido el cambio:

$dr'^2 = 2r'dr'$

Que simplifica el cálculo, pero aún no veo cómo se resuelve la integral. En realidad mi único problema con este ejercicio es resolver la integral, tampoco me la hace ningún programa de computación.

[Richard R Richard]

Re: Integración en coordenadas isotrópicas

Las coordenadas isotrópicas generan la siguiente relación

$\dd r^2 + r^2 \dd\Omega^2 = \dd x^2 + \dd y^2 + \dd z^2$

donde

$\dd\Omega^2 = \dd\theta^2 + \sin^2\theta \dd \phi^2$

donde $x = \vec r \cos \phi \sin \theta$,

$y = \vec r \sin \phi \sin \theta$,

$z = \vec r \cos \theta$,

Me han sugerido el cambio:

$dr'^2 = 2r'dr'$

no se si funciona pero de hacerlo tienes una ecuación diferencial que se resolvería así


$\dfrac{2r'dr'}{r'^2}= \dfrac{2rdr}{r^2 (1-2M/r)}$

$\dst\int\limits_{r'_o}^{\infty}\dfrac{2r'\dd r'}{r'^2}=\dst\int\limits_{r_o}^{\infty} \dfrac{2r \dd r}{r^2 (1-2M/r)}$

creo que tienen solución fácil

[Magic24]

Re: Integración en coordenadas isotrópicas

Pero no se consigue la relación de las coordenadas isotrópicas, ¿no?

[Richard R Richard]

Re: Integración en coordenadas isotrópicas

Pero no se consigue la relación de las coordenadas isotrópicas, ¿no?

No se muy bien de que va la idea para relacionar r y r' , intuyo que quieres llegar, a la expresión de la métrica de Schwarzchild, si ese es el caso sirvete de guía con Deducción de la métrica de Schwarzchild

[Magic24]

Re: Integración en coordenadas isotrópicas

Expongo el problema para contextualizar:

Demuestra que un elemento de línea general para un espacio-tiempo estático y esfericamente simétrico:

$ds^2 = -e^{\nu(r)} dt^2 + e^{\lambda(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2$

siempre se puede poner en forma isotropica:

$ds^2 = -e^{A(r')} dt^2 + e^{B(r')} dr'^2 + r'^2 d\Omega^2$

Entonces yo lo que he hecho ha sido escribir la métrica en la forma siguiente:

$ds^2 = -A^2(r) dt^2 + B^2(r) d\Sigma^2$

Con:

$d\Sigma^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2$

Es decir, la métrica de Schwarzschild es:

$ds^2 = -(1-\dfrac{2M}{r}) dt^2 + \dfrac{1}{1- \frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 ( d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$

Por lo que, haciendo $r \rightarrow r'$, tenemos:

$ds^2 = -(1-\dfrac{2M}{r'}) dt^2 + B^2(r') (dr'^2 + r'^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2))$

Por lo que para que la parte radial y la parte angular sea igual, obtenemos dos ecuaciones:

$B^2(r') dr'^2 = \dfrac{dr^2}{1- \frac{2M}{r}}$
$B^2(r') r'^2 = r^2$

Haciendo una entre otra, obtengo la expresión:

$\dfrac{dr'^2}{r'^2}=\dfrac{dr^2}{r^2(1-\frac{2M}{r})}$

Y en esa expresión es donde estoy atascado, ahí está la duda.

[Richard R Richard]

Re: Integración en coordenadas isotrópicas

$ds^2 = -e^{\nu(r)} dt^2 + e^{\lambda(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2$

ya esta escrito en forma isotrópica, se convirtió de un espacio de Minkowski $\mathbb R_1^3$ donde las coordenadas espaciales son similares a las cartesianas a uno donde las coordenadas espaciales son similares a las polares....

es isotrópica porque tiene las misma propiedades para todo $\theta$ y $\phi$ para cada $r$, ademas un observador en el origen r=0 ve las misma propiedada tanto en r como en -r

en cambio no sucede lo mismo a las $y$ y $z$ para cada $x$ en el espacio de Minkowski


no será que lo que estas pretendiendo es usar las coordenadas de Kruskal

[Magic24]

Re: Integración en coordenadas isotrópicas

Veremos, en cuenta lo sepa diré algo. Gracias igualmente