Avanzado Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

[Alriga]

... Hablando de ondas gravitacionales, ... estas son fluctuaciones del espacio tiempo, que no disipan energía "moviendo" las partículas que encuentran a su paso. Si eso fuera así, las ondas gravitacionales se disiparían, lo mismo que las ondas electromagntéticas, la luz, conforme atraviesan materia.

Fijadse que las ondas gravitacionales no se detectan observando la energía que depositan en un detector. Se detectan porque vemos las figuras de interferencia entre láseres que recorren caminos que se alargan o se estrechan al paso de la onda gravitacional ...

Muchas gracias por tu post, no dudo de que lo que dices pueda ser cierto, pero (probablemente por mi ignorancia del tema) se me hace difícil de entender/aceptar. Voy a intentar argumentar que las ondas gravitacionales GW se deberían atenuar algo al atravesar materia.

La onda gravitacional generada en la fusión de 2 agujeros negros detectada por LIGO estiró/encogió el camino del LASER tan solo en aproximadamente $10^{-19} \ m$ porque estamos muy lejos. Imaginemos que alrededor de esos 2 agujeros negros AN gira un planeta circumbinario CP bastante cerca.



Por simplicidad imaginemos que es esférico, de hierro puro y de varios cientos de kilómetros de diámetro. La GW de la fusión de los 2 agujeros negros generó una onda gravitacional que en ese cercano planeta provocó estiramientos/encogimientos $\Delta x$ que se miden no en potencias negativas de metro, sino incluso en decenas de kilómetros.

Un sólido de hierro estirado/comprimido adquiere una energía potencial elástica $E=(1/2) \ k \ (\Delta x)^2$ que no tenía antes de ser estirado/comprimido: ¿a quién le ha robado esa energía? Solo se me ocurre que a la onda gravitacional. Por lo tanto, deduzco que la parte de la onda gravitacional que emerge por el lado opuesto del planeta a los agujeros negros, tiene menos energía que la que tenía cuando incidió en la cara cercana a los agujeros negros, es decir que la onda gravitacional GW ha sufrido atenuación al atravesar el planeta.

Si hay error en este planteamiento, todavía no lo veo.

Gracias y saludos.

PD: Hay gente que incluso se atreven a hacer cálculos del amortiguamiento de las GW al atravesar polvo o materia, aunque mi nivel no me permite evaluar la calidad de los estudios que enlazo:

Damping of gravitational waves by matter. (Gordon Baym, Subodh P. Patil, C. J. Pethick)

The damping of gravitational waves in dust. (Otakar Svítek)

[Julián]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Hola.

Hablando de ondas gravitacionales, en lugar de los hipotéticos "warp dives". Estos son fluctuaciones del espacio tiempo, que no disipan energía "moviendo" las particulas que encuentran a su paso. Si eso fuera así, las ondas gravitacionales se disiparían, lo mismo que las ondas electromagntéticas, la luz, conforme atraviesan materia.

Pues yo lo escuché al mismo Alcubierre decir que si la colisión de agujeros negros hubiera sucedido a una distancia tierra-evento igual a la distancia entre la tierra y alfa centauri, hubiera posiblemente sucedidos terremotos. Y si el evento hubiera ocurrido en una distancia igual a 1 unidad astronómica, la tierra quedaría destruida (no las personas ya que las dimensiones son muy pequeñas pero si afectaría a cuerpos del tamaño de la tierra). Por lo tanto entiendo yo que si se disipa energía.

Si un cambio en el tensor de curvatura de Einstein modifica el tensor energía impulso, el tensor energía impulso modifica el tensor de curvatura de Einstein. En la variación del tensor energía impulso puede por lo tanto disiparse energía debido a la interacción electromagnética, en rozamiento. PDs: toco de oido este tema

Un sólido de hierro estirado/comprimido adquiere una energía potencial elástica que no tenía antes de ser estirado/comprimido: ¿a quién le ha robado esa energía? Solo se me ocurre que a la onda gravitacional. Por lo tanto, deduzco que la parte de la onda gravitacional que emerge por el lado opuesto del planeta a los agujeros negros, tiene menos energía que la que tenía cuando incidió en la cara cercana a los agujeros negros, es decir que la GW se ha atenuado al atravesar el planeta.

Yo lo veo así, aunque la amplitud de la onda detectada por primera vez fue 10^-21 metros. Habría que ver que amplitud hay en las cercanías.

[Alriga]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Traduzco un párrafo de la introducción del estudio Damping of gravitational waves by matter que he enlazado en el post #1

Hace medio siglo, Hawking demostró que si la materia pudiera ser tratada en el límite hidrodinámico, la tasa de amortiguación de una onda gravitacional sería

$\gamma=16\pi G \eta$

donde G es la constante gravitacional de Newton y η la viscosidad de la materia.

Usando este resultado, Goswami et al. argumentaron que las observaciones de ondas gravitacionales podrían ser usadas para estimar la viscosidad de la materia oscura entre la fuente de la onda y la Tierra.

Pero, como Hawking señaló el primero, hay en general muy pocas colisiones en la materia interestelar que atraviesa la onda para que la hidrodinámica sea válida, y la amortiguación sería menor que el resultado del límite hidrodinámico.

Según el Problem Book in Relativity and Gravitation (Princeton Univ. Press, 1975), Problem 18.15 (Lightman, Press, Price, Teukolsky), una estimación de la amortiguación en el límite "casi sin colisión", mediante el estudio de la respuesta de las partículas individuales a una onda gravitacional, es que la tasa de amortiguación de la onda por las partículas no relativistas es:

$\gamma \sim \dfrac{G \ n \ m}{\omega^2}\left (\dfrac{\bar v}c\right )^2\dfrac 1{\tau}$

Aquí ω es la frecuencia de la onda, n la densidad de partículas, m la masa de la partícula, $\bar v$ la velocidad típica de partículas, y τ el tiempo de colisión entre partículas; este valor de amortiguación es menor que el del resultado viscoso.

Además de la amortiguación por colisiones en la materia, las ondas gravitacionales también pueden ser atenuadas por la “Amortiguación de Landau”, en la cual las partículas surfean la onda gravitacional y extraen su energía ...

Saludos.

[carroza]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Hola.

Gracias a todos. Estaba equivocado. Crei recordear que las ondas gravitacionales no se absorbian por las nubes de polvo galáctico, a diferencia de las ondas electromagnéticas.

Entiendo ahora que la diferencia entre ondas electromagnéticas y gravitatorias es más cuantitativa que cualitativa. Imagino que, como la interacción gravitatoria es muy inferior a la electromagnética, se amortigua mucho menos.

De todas formas, no acabo de entender la fórmula atribuida a Hawking. Si G tiene dimensiones de $M^{-1}L^3 T^{-2}$ y la viscosidad tiene dimensiones de $ML^{-1} T^{-1}$, sale un amortiguamiento con dimensiones de $L^2 T^{-3}$ , que es raro. Yo esperaria 1/T o 1/L.

Saludos

[Julián]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

En el min 29 en adelante habla de los efectos.

[Alriga]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

... no acabo de entender la fórmula atribuida a Hawking. Si G tiene dimensiones de $M^{-1}L^3 T^{-2}$ y la viscosidad tiene dimensiones de $ML^{-1} T^{-1}$, sale un amortiguamiento con dimensiones de $L^2 T^{-3}$ , que es raro. Yo esperaria 1/T o 1/L ...

Yo tampoco la entiendo y eso me frustra, no sé porqué los astrofísicos no intentan ser más claros cuando publican. Dan como referencia a esa fórmula [2] y [4]:

[2] Perturbations of an Expanding Universe. Hawking, S. W. Astrophysical Journal, vol. 145, p.544 (1966) que se puede consultar aquí:

http://adsabs.harvard.edu/full/1966ApJ...145..544H

Pero no he sido capaz de encontrar la expresión $\gamma=16\pi G \eta$ ni nada parecido en el artículo

[4] Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Steven Weinberg, (Wiley, NY, 1972)

He buscado en este libro (por encima, tiene 657 páginas), y tampoco he sabido encontrar la fórmula de marras

Actualizado: La he encontrado, aparece en el libro de Weinberg en el capítulo "10 General-relativistic theory of small fluctuations", página 585, ecuación 15.10.42, pero sigo sin entender las unidades, allí dice:

...the energy density $\tau_g^{00}$ of these gravitational waves decreases as

$$\tau_g^{00} \sim R^{-4} \ \ee^{-\dst 16\pi G \int \eta dt}$$

The factor $R^{-4}$ is just what we should expect for the free expansion of any wave representing a massless particle. [Compare Eq. (15.1.23)] The extra factor in (15.10.41) tells us that gravitational waves in a viscous medium are absorbed at a rate

$$\Gamma_g=16\pi G\eta$$

Saludos.

[Lorentz]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Creo que la viscosidad es la llamada shear viscosity, lo que me hace pensar que tiene unidades de viscosidad por unidad de área, lo cuál creo que solucionaría ese problema de unidades.

He encontrado otro artículo en que se menciona dicha amortiguación:

https://arxiv.org/pdf/1803.11397.pdf

Pero no encuentro tampoco en las referencias que da cómo obtenerlo (Referencias [28]-[30]). En parte porque una de dichas referencias no lo encuentro nada más que para descarga de pago.

ACTUALIZADO: Alriga nos hemos solapado en las contestaciones, ya veo que has resuelto la duda de dónde se encontraba esa fórmula, pero aun así creo que no está de más ver el artículo que os he enlazado. Lo único que se me ocurre es lo dicho que sea una viscosidad por unidad de área y que digamos vaya a capas, lo que daría sentido a su nombre shear=cizalladura. Puede que esté buscando mal, pero no lo encuentro en el Weinberg.

[Alriga]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

... He encontrado otro artículo en que se menciona dicha amortiguación: Damping of gravitational waves in a viscous Universe and its implication for dark matter self-interactions (Bo-Qiang Lu, Da Huang, Yue-Liang Wu, Yu-Feng Zhou) ... Creo que la viscosidad es la llamada shear viscosity, lo que me hace pensar que tiene unidades de viscosidad por unidad de área, lo cuál creo que solucionaría ese problema de unidades ...

Ya había visto lo de la "shear viscosity" pero lo había descartado porque no veo que arregle nada. He visto que sus unidades son el Pascal, (no viscosidad por unidad de área), es decir unidades de presión, $ML^{-1}T^{-2}$ y como las dimensiones de G son $M^{-1}L^3T^{-2}$ daría para $\gamma$ dimensiones $L^2T^{-4}$ que también es raro.

Saludos.

[Lorentz]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Entiendo, no encontraba información acerca de las unidades de dicha viscosidad, disculpad.

[Jaime Rudas]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

De todas formas, no acabo de entender la fórmula atribuida a Hawking. Si G tiene dimensiones de $M^{-1}L^3 T^{-2}$ y la viscosidad tiene dimensiones de $ML^{-1} T^{-1}$, sale un amortiguamiento con dimensiones de $L^2 T^{-3}$ , que es raro. Yo esperaria 1/T o 1/L.

Quizás la clave esté en lo que dice Hawking al final del punto II Notación del artículo citado por Alriga: "Las unidades son tales que la constante gravitacional [gaussiana(?)] k y la velocidad de la luz c son iguales a 1".
Lo anterior, creo, implicaría que c y k desaparecen de las fórmulas, pero sus dimensiones se deben seguir teniendo en cuenta.

Saludos,

[Alriga]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

... no acabo de entender la fórmula atribuida a Hawking. Si G tiene dimensiones de $M^{-1}L^3 T^{-2}$ y la viscosidad tiene dimensiones de $ML^{-1} T^{-1}$, sale un amortiguamiento con dimensiones de $L^2 T^{-3}$ , que es raro. Yo esperaria 1/T o 1/L ...

$$\tau_g^{00} \sim R^{-4} \ \ee^{-\dst 16\pi G \int \eta dt}$$

$$\Gamma_g=16\pi G\eta$$

Considerando que el exponente debería ser adimensional tenemos:

$[G][\eta][t]=1$

$[\Gamma_g]=T^{-1}$

De donde se obtiene que las dimensiones de $\eta$ deberían ser:

$[\eta]=M L^{-3} T$

Eso es densidad multiplicado por tiempo, que tampoco le encuentro relación con la viscosidad.

EDITADO: me parece que ya está, en la expresión debe faltar un $c^2$ (se me ha ocurrido gracias al post de Jaime Rudas) y supongo que realmente, esas dos expresiones del libro de Weinberg deben ser:

$$\tau_g^{00} \sim R^{-4} \ \ee^{-\dst 16\pi \dfrac G{c^2} \int \eta dt}$$

$$\boldsymbol{\Gamma_g=16\pi \dfrac G{c^2} \eta}$$

El $\boldsymbol{c^2}$ en el denominador, unido a G en el numerador, hace que el coeficiente de atenuación en el medio interestelar sea pequeñísimo. (La viscosidad $\boldsymbol{\eta}$ de ese medio también debe ser muy pequeña, ya que la del aire en la Tierra a 0ºC, como referencia de comparación, es de tan solo 0.0000174 Pa·s)

$[G]=M^{-1}L^3 T^{-2}$

$[c]=L T^{-1}$

$[\eta]=M L^{-1} T^{-1}$ (son las dimensiones de la viscosidad dinámica)

Eso conduce a:

$[\Gamma_g]=T^{-1}$

Y todo cuadra, saludos

[carroza]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Gracias. Ahora si cuadra.

Lo que faltaría es una estimación de la viscosidad del medio interestelar, que debe ser ínfima. Segun esto, paracería que una onda gravitatoria podría atravesar galaxias sin absorberse significativamente.

Saludos

[Alriga]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

... Lo que faltaría es una estimación de la viscosidad del medio interestelar, que debe ser ínfima ...

Sí, e incluso así:

... Pero, como Hawking señaló el primero, hay en general muy pocas colisiones en la materia interestelar que atraviesa la onda para que la hidrodinámica sea válida, y la amortiguación sería menor que el resultado del límite hidrodinámico ...

Por eso:

... Según el Problem Book in Relativity and Gravitation (Princeton Univ. Press, 1975), Problem 18.15 (Lightman, Press, Price, Teukolsky), una estimación de la amortiguación en el límite "casi sin colisión", mediante el estudio de la respuesta de las partículas individuales a una onda gravitacional, es que la tasa de amortiguación de la onda por las partículas no relativistas es:

$\gamma \sim \dfrac{G \ n \ m}{\omega^2}\left (\dfrac{\bar v}c\right )^2\dfrac 1{\tau}$

Aquí ω es la frecuencia de la onda, n la densidad de partículas, m la masa de la partícula, $\bar v$ la velocidad típica de partículas, y τ el tiempo de colisión entre partículas; este valor de amortiguación es menor que el del resultado viscoso.

Además de la amortiguación por colisiones en la materia, las ondas gravitacionales también pueden ser atenuadas por la “Amortiguación de Landau”, en la cual las partículas surfean la onda gravitacional y extraen su energía ...

(En esta última ecuación las unidades cuadran)

Está claro que el medio interestelar atenúa poquísimo las ondas gravitacionales. Va a ser difícil usar esa atenuación para estimar la densidad de materia oscura del universo, como se sugiere en alguno de los "papers" enlazados en el hilo.

Saludos.

[carroza]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

Hola.

He puesto ordenes de magnitud a la formula de Alriga. En el sistema internacional
$<br /> G : 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$
n: la densidad en el medio interestelar es, en las zonas densas, 10^6 p/cm^3 o sea $10^{-12} m^{-3}$
$m: 10^{-25} kg$
v: 1 m/s, para hidrogeno a temperatura ambiente (mucho menos si tomamos temperaturas de 3K)
$\omega: 100 s^-1$ (esta es la frecuencia observada en Ligo)
$\tau$. Esta es para nota. Se puede obtener el tiempo de colision a partir de la densidad, la velocidad media y la sección eficaz
$1/\tau = v \sigma n$. La seccion eficaz $\sigma$ es del orden del radio al cuadrado del atomo de H, o sea $10^{-20} m^2$

Multiplica todos los factores, y me sale $\gamma \simeq 10^{-53} s$. A sea, que tendriamos que esperar $10^{53} s$, o bien $10^{35}$ veces la edad del universo, para atenuar una onda gravitatoria.

Me parece a mi que podemos concluir que las ondas gravitatorias no se atenuan, ¿no os parece?

Un saludo

[Alriga]

Re: Amortiguamiento de ondas gravitacionales por la materia

... Me parece a mi que podemos concluir que las ondas gravitatorias no se atenúan, ...

Esa es una respuesta que puede ser correcta, o no, según cuál sea la pregunta.

- Si la pregunta es si se atenúan en el medio interestelar, dado que en el medio interestelar casi no hay materia, (es al menos 10000 veces menos denso que el mejor vacío que el hombre sabe crear en la Tierra), según los números de tu post, podemos aceptar como correcto que las ondas gravitacionales no se atenúan. (Parece que esos papers que circulan, alguno lo hemos enlazado en el hilo, que proponen métodos de observación para detectar materia por el amortiguamiento de ondas gravitacionales que la atraviesan, están abocados al fracaso)

- Si la pregunta es la que originó el hilo, si la materia atenúa las ondas gravitacionales que la atraviesan, me inclino más por contestar que sí, aunque muy poco. He repetido tus números con la misma ecuación y la misma onda gravitacional de 100 Hz cuando atraviesa un medio más denso, en este caso el Sol. Me sale, (si no me he equivocado), que entonces $\gamma \approx 10^{-12} \ s^{-1}$, su inverso es del orden de 10000 años. Ahora no tengo tiempo, pero después pondré el cálculo. Además creo que el coeficiente de amortiguamento real debe ser mayor que los $10^{-12} \ s^{-1}$ que me han salido: recordar que esa fórmula era para "el límite casi sin colisión, mediante el estudio de la respuesta de las partículas individuales a una onda gravitacional" y los átomos dentro del Sol sufren muchas colisiones. Como la onda gravitacional va a la velocidad de la luz, tarda algo menos de 5 segundos en atravesar el Sol, por lo que el amortiguamiento total será $10^{-12} \cdot 5 \approx 10^{-12}$ Deberíamos tener 2 detectores de ondas gravitacionales uno a cada lado del Sol con una precisión mayor que una parte en un billón para poder medir el amortiguamiento.

Para objetos más densos que el Sol, (donde esa fórmula seguramente aun vale menos) como planetas rocosos, enanas blancas o estrellas de neutrones, creo que la atenuación de la onda al atravesarlos tal vez puede llegar a ser medible en el futuro.

Saludos.

ACTUALIZADO: Los cálculos:

ONDAS GRAVITACIONALES	MEDIO INTERESTELAR	SOL
G (constante de gravitación)	6.67E-11	6.67E-11
n (partículas/m3)	1.00E+12	8.30E+26
m (kg/partícula)	1.70E-24	1.70E-24
ρ densidad (kg/m3)	1.70E-12	1.41E+03	$\rho=m\cdot n$
T temperatura (K)	2.73E+00	1.00E+06
kB (constante de Boltzmann)	1.38E-23	1.38E-23
v (m/s)	8.15	4935	$v=\sqrt{\dfrac{3 k_B T}m}$
ω (rad/s)	628	628	$\omega=2 \pi f$
c (m/s)	3.00E+08	3.00E+08
σ sección eficaz (m2)	8.82E-21	8.82E-21
τ tiempo entre colisiones (s)	1.39E+07	2.77E-11	$\tau= \dfrac 1{\sigma m v}$
γ coeficiente de amortiguamiento (1/s)	1.53E-50	2.34E-12	$\gamma=\dfrac{G \ n \ m}{\omega^2}\left (\dfrac{v}c\right )^2\dfrac 1{\tau}$
1/γ (años)	2.07E+42	13565
R radio del Sol		1.40E+09
t tiempo de travesía por el Sol		4.7
amortiguamiento en el Sol γ·t		1.09E-11