1r ciclo Tensor de Ricci

[_RenE_]

holas a todos:
haber,, estoy estudiando un poco de relatividad general, por lo que he estado leyendo algunos libros de analisis tensorial,, mi pregunta es:: sabemos que el tensor de Ricci resulta de la contraccion del tensor de riemann, y que al contraer el tensor de Ricci, obetenemos el escalar de Ricci,,,,, quiero saber, para que se hacen estas operacionbes de contracción, se pierde algun tipo de informacion al ejecutar la contraccion?????,, y ademas, de que manera el escalar o el tensor de Ricci me brindan informacion sobre la topologia del espacion en el que estoy trabajando???,,, por favor aclarenme esas dudas

salu2

[Entro]

Re: Tensor de Ricci

holas a todos:
haber,, estoy estudiando un poco de relatividad general, por lo que he estado leyendo algunos libros de analisis tensorial,, mi pregunta es:: sabemos que el tensor de Ricci resulta de la contraccion del tensor de riemann, y que al contraer el tensor de Ricci, obetenemos el escalar de Ricci,,,,, quiero saber, para que se hacen estas operacionbes de contracción, se pierde algun tipo de informacion al ejecutar la contraccion?????

Matemáticamente el tensor de curvatura es el tensor de Riemann. Sin embargo, por cuestiones físicas los campos de materia determinan de manera directa su parte Ricci. Esto quiere decir que efectivamente perdemos información, esta información está contenida en otro tensor denominado tensor de Weyl.

Siendo poco estrictos podemos decir que Ricci controla la forma que tiene de interactuar la materia con la gravedad y Weyl nos dice cuales son las simetrías de un determinado espaciotiempo.

,, y ademas, de que manera el escalar o el tensor de Ricci me brindan informacion sobre la topologia del espacion en el que estoy trabajando???,,, por favor aclarenme esas dudas

salu2

El tensor de Ricci se puede escribir en términos de los simbolos de Christoffel. Estos se calculan a partir de la métrica y sus derivadas. Las ecuaciones de Einstein determinan un tensor métrico dado un tensor de impulso-energía (contenido energético de los campos de materia presentes en un determinado espaciotiempo). Una vez que tienes una métrica esta induce de manera natural una topología en tu espacio ya que a través de la métrica puedes definir bolas abiertas de manera directa.

Dado que los difeomorfismos son simetrías, las transformaciones permitidas son difeomorfas y por lo tanto los cambios en la métrica son continuos... Esto implica que a nivel clásico la topología de un espaciotiempo no puede cambiar salvo homomorfismos.

[alshain]

Re: Tensor de Ricci

y ademas, de que manera el escalar o el tensor de Ricci me brindan informacion sobre la topologia del espacion en el que estoy trabajando???

Algo que se me ocurre es que el escalar de Ricci cumple localmente $R = - T^{\mu}{}_{\mu}$, por lo que para fluidos perfectos puede proporcionar información sobre la validez de la condición de energía fuerte. De todas formas esto parece sólo una curiosidad. Creo que para extraer información sobre la topología del espacio-tiempo lo usual es descomponer el tensor de curvatura de Riemann haciendo uso del escalar de Ricci, el tensor de Ricci y el tensor de Weyl. Precisamente con esta información se pueden saber cosas más generales, como por ejemplo si el espacio-tiempo es invariante frente a transformaciones conformes. Pero mostrar estas cosas son ya palabras mayores; Wald habla sobre esto en el apéndice D de su libro.

Un saludo.