1r ciclo Velocidad de la nave

[jssln]

Hola, me podríais ayudar con este problema:

Una nave espacial se aleja en linea recta de la Tierra con una velocidad constante $v$. Transcurrido un cierto tiempo $\tau$ (medido según el reloj de la nave) , el piloto emite hacia la Tierra una señal luminosa con frecuencia $\nu$. Dicha señal se refleja en la Tierra y vuelve de nuevo a la nave, midiendo el piloto ahora una frecuencia $\frac{\nu}{2 }$ respecto de la que se emitió. Se pide,

a) Determinar la velocidad de la nave.

b) ¿Cuánto tiempo pasa ( en unidades de $\tau$), según el reloj de la nave, entre el momento de emitir la señal hasta el momento en que recibe la señal reflejada desde la Tierra?

[Richard R Richard]

Re: Velocidad de la nave

para a) veamos cuando la nave emite la frecuencia recibida en la tierra es

$f'=\gamma\dfrac{c-v}{c}f$

la reflejada conserva la frecuencia$f''=f'$

la que recibe la nave es

$f'''=\gamma\dfrac{c-v}{c}f''$

el signo menos se usa cuando la fuente y emisor se alejan y el signo mas cuando se acercan

luego

$f'''=\dfrac{\nu}{2}\gamma\dfrac{c-v}{c}\gamma\dfrac{c-v}{c}\nu=\dfrac{c^2}{c^2-v^2}\dfrac{(c-v)^2}{c^2}\nu=\dfrac{(c-v)^2}{(c-v)(c+v)}\nu=\dfrac{c-v}{c+v}\nu$

luego

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{c-v}{c+v}$

$\dfrac{c}{2}+\dfrac{v}{2}=c-v$


$\dfrac{3v}{2}=\dfrac{c}{2}$

$v=\dfrac{c}{3}$

en b)

la distancia que recorrió la nave en un tiempo $\tau$ es $d=\tau \dfrac c3$

el tiempo que tarda la luz en llegar a la tierra es $t=\dfrac{\tau}{3}$

luego la señal debe alcanzar la nave que se ha desplazado durante los dos viajes ida y vuelta de la luz

$x_f=d+vt_f=c(t_f-\dfrac{\tau}{3})$

$\tau \dfrac c3+vt_f=ct_f-c\dfrac{\tau}{3}$

$t_f=\dfrac{2c\dfrac{\tau}{3}}{c-v}=\tau \dfrac 23\dfrac{1}{1-\dfrac vc}$

reemplazando v por$\dfrac{c}{3}$

$t_f=\tau \dfrac 23\dfrac{1}{1-\dfrac 13}=\tau$

[JCB]

Re: Velocidad de la nave

Hola jssln.

Diría que se trata del efecto Doppler relativista.

a) En este efecto, la frecuencia observada por un receptor que se aleja de la fuente, se expresa:

$f_o=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$.

Como $f_o=\dfrac{1}{2}f$,

$\dfrac{1}{2}f=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$,

$v=\dfrac{3}{5}c$ (1).

b) Si llamamos “$d_i$” a la distancia que ha recorrido la nave hasta que se emite la señal,

$d_i=v\tau$ (2).

Ahora contamos el tiempo desde que se emite la señal hasta el momento de retorno de ésta. Como la nave recorre una distancia “$vt$”, la señal luminosa deberá recorrer una distancia $2d_i+vt=ct$. Substituyendo (2):

$2v\tau+vt=ct$,

$t=\dfrac{2v\tau}{c-v}$. Substituyendo (1):

$t=3\tau$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Velocidad de la nave

Como $f_o=\dfrac{1}{2}f$,

$\dfrac{1}{2}f=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$,

$v=\dfrac{3}{5}c$ (1).

Hola JCB, observa que el que mide la frecuencia es el piloto no la tierra, la señal debe volver a ser recibida por la nave

[JCB]

Re: Velocidad de la nave

Hola a todos.

Yo ya me imaginaba que mi primera incursión “extramuros” de la mecánica clásica, no sería del todo satisfactoria. Es lo que ocurre cuando uno se atreve a salir de su zona de confort. Pero bueno, a veces, conviene arriesgarse y probar cosas nuevas.

No obstante, Richard, si la frecuencia de la señal que llega a la nave es la misma que la que sale de ella, ¿ por qué motivo no es correcta la expresión $f_o=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$ ? (https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto...er_relativista)

Gracias por las aclaraciones y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Velocidad de la nave

Hola fijate JCB que tu formula es correcta si partes de la que yo puse

$f'=\gamma\dfrac{c-v}{c}f=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\dfrac{c-v}{c}f=\dfrac{1}{\sqrt{c^2-v^2}}(c-v)f=\dfrac{1}{\sqrt{(c-v)(c+v)}}(c-v)f=$$\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}f=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$

lo que sucede es que el enunciado dice que la onda se refleja y vuelve a la nave y hay que aplicar la misma formula dos veces. Aquí da lo mismo que sea la fuente o el observador el que se aleje , el efecto sobre la frecuencia depende de la velocidad relativa de alejamiento o para el caso del acercamiento que sería $f_o=f\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}}}$


asi en el problema $f'''=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$

y sigue como lo hice antes

Si nunca hubiese salido de mi zona de confort no podría haber aprendido nada aquí en el foro, cuando soy tiquismiquis en algún tema trato de fundamentar lo mejor que puedo, si me equivoco pido las disculpas del caso y del error aprendo...a veces ..Saludos

[JCB]

Re: Velocidad de la nave

Hola a todos.

Agradecido, Richard, por tu respuesta. Sin embargo no acabo de comprender por qué debe aplicarse la fórmula dos veces.

En el viaje de la señal hacia la Tierra, entiendo que la frecuencia percibida por un observador terrestre es $f_o=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$.

Después de llegar a la Tierra, la luz se refleja, pero su frecuencia (la real) sigue siendo la misma. Entonces la frecuencia percibida por el piloto, también tendría que ser $f_o=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$.

En otras palabras, no alcanzo a comprender por qué motivo la frecuencia observada en la Tierra llega a condicionar la frecuencia observada en la nave.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Velocidad de la nave

La nave se esta alejando de la tierra, sabemos que la velocidad de la onda es independiente del emisor , es decir c para cualquier observador, lo que varia entonces es la frecuencia.
Si la nave se aleja de la tierra,en el primer trayecto, la frecuencia que recibe la tierra es $f_o=f\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}$

ahora bien la onda rebota contra la tierra y vuelve a ser emitida a esa misma frecuencia hacia la nave, en el segundo trayecto, la nave se esta alejando de la tierra por lo que un observador en tierra no puede percibir la misma frecuencia rebotada que el piloto de la nave, nuevamente hay un efecto Doppler que , disminuye la frecuencia percibida al alejarse, es por eso que debe computarse dos veces.

En mecánica newtoniana el caso similar es el del sonar , la fuente se aleja del objeto estático detectado$f' =f \dfrac{v_s}{v_s+v}$ , rebota en este, y luego el caso sería observador se aleja de la fuente$f'' =f' \dfrac{v_s-v}{v_s}$, con dos formulas distintas, pero en relatividad las dos formulas son iguales para las dos situaciones.

[JCB]

Re: Velocidad de la nave

Gracias Richard, creo que empiezo a comprender.

Saludos cordiales,
JCB.