Otras carreras Velocidad de órbita en Schwarzschild

[MrTicTac]

Hola, considerando la métrica de Schwarzschild de la forma:

$\dd s^2=-\left(1- \frac{2GM}{rc^{2}}\right)\dd t^2+\left(1- \frac{2GM}{rc^{2}}\right)^{-1}\dd r^2+r^2 \dd \theta+r^2 \sin^2\theta \dd \phi^2$

Quisiera entender cómo se deduce la velocidad tangencial de una partícula en órbita circular, visto desde un observador situado a una distancia infinita (¿la velocidad es la misma en el marco de referencia de la partícula?). Entiendo que la ecuación es:

$v=\sqrt{\frac{GM}{R\left(1- \frac{3GM}{rc^{2}}\right)}}$

Pero no sé cómo deducirla a partir de la métrica. Sé que en el caso newtoniano se obtiene una expresión similar igualando la aceleración de la fuerza gravitatoria con la aceleración centrípeta $a=v^{2}/r$, y quisiera conocer su equivalente en este caso. He consultado en libros e internet, en español e inglés, sin resultados.

Muchas gracias!

[Visitante]

Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

Hola.
Busca en Internet:
'Geodesicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento numerico'
de Rafael Zamora Ramos.
Facultad de Fisica. Sevilla. España.

Quizas te sirva de algo...
Un saludo.

[IsaacDL]

Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

Hola, lo que se suele hacer en Relatividad General es observar la métrica y ver la dependencia con las variables de esta. Al no estar el tiempo y el azimut explicítamente, existirán dos cantidades conservadas, una magnitud que no es la energía pero se le suele designar por E (asociada al tiempo) y el momento angular L. Con ayuda de los vectores de Killing se construyen estas cantidades conservadas.



$$$L=\mathbf{R} \cdot \mathbf{u}=\delta^{\mu}_{\phi} g_{\mu \nu} u^{\nu}=g_{\phi \nu} u^{\nu}=r^{2} \sin^{2}{ \theta} \dot{\phi}$$$

$$$E=-\mathbf{T} \cdot \mathbf{u}=-\delta^{\mu}_{t} g_{\mu \nu} u^{\nu}=-g_{t \nu} u^{\nu}=B(r) u^{t}=B(r) \dot{t}$$$

Se construye $ds^2/d\lambda^2$:

$$$-\kappa=\dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} g_{\mu \nu}=-B(r) \dot{t}^{2}+A(r) \dot{r}^{2}+r^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2} \theta \dot{\phi}^{2}\right)$$$

donde $\kappa$ indica el tipo de trayectoria (tipo tiempo=1, tipo luz=0)

De los vectores de Killing podemos escribir la expresión anterior en función de las cantidades conservadas:

$$$\begin{aligned}-\kappa &=-B(r)(\dot{t})^{2}+A(r)(\dot{r})^{2}+r^{2}(\dot{\phi})^{2} \\ &=-\frac{E^{2}}{B(r)}+A(r) \dot{r}^{2}+L^{2} / r^{2} \\ &=\left(-E^{2}+\dot{r}^{2}\right) A(r)+L^{2} / r^{2} \end{aligned}$$$

Despejando E:


$$$\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right)\left(\frac{L^{2}}{r^{2}}+\kappa\right)=\frac{1}{2} E^{2}$$$


Lo que haríamos ahora es obtener un potencial efectivo y, al ser la órbita circular, deshacernos del $\dot{r}$. También nos hemos deshecho del angulo elevación, lo fijaremos a $\pi/2$ por comodidad.

Con el potencial efectivo se calcularía el radio de la órbita circular (en función del momento angular):

$$$L^{2}=\frac{M R_{+}^{2}}{R_{+}-3 M}$$$

Y finalmente, de la expresión obtenida para el momento angular, obtenemos finalmente:

$$$\omega_{\phi}^{2}=\dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{R_{+}^{4}}=\frac{M}{R_{+}^{2}\left(R_{+}-3 M\right)}$$$


Escrito de otra forma:

$$$\begin{aligned} u_{R_{+}}^{\mu} &=(\dot{t}, 0,0, \dot{\phi})=\left(\frac{E}{B(r)}, 0,0, \frac{L}{R_{+}^{2}}\right)=\frac{E}{B(r)}(1,0,0, \Omega) \\ &=\left(1-\frac{3 M}{R_{+}}\right)^{-1 / 2}\left(1,0,0,\left(\frac{M}{R_{+}^{3}}\right)^{1 / 2}\right) \end{aligned}$$$

donde $\Omega$ es la derivada de 'phi' con el tiempo coordenado.
Que parece ser el mismo resultado que tu proporcionas. Notar que estoy haciendo los cálculos en unidades geométricas (c,G=1).

Un saludo.

[MrTicTac]

Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

Muchas gracias @IsaacDL por haberte tomado la molestia de desarrollarlo. Hasta este punto creo haber entendido:

Despejando E:




$$$\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right)\left(\frac{L^{2}}{r^{2}}+\kappa\right)=\frac{1}{2} E^{2}$$$

Respecto a lo que sigue:

Lo que haríamos ahora es obtener un potencial efectivo y, al ser la órbita circular, deshacernos del $\dot{r}$. También nos hemos deshecho del angulo elevación, lo fijaremos a $\pi/2$ por comodidad.


Con el potencial efectivo se calcularía el radio de la órbita circular (en función del momento angular):


$$$L^{2}=\frac{M R_{+}^{2}}{R_{+}-3 M}$$$

Aquí, a partir de la ecuación anterior he hecho $\dot{r}=0$ como indicas, y además supongo $\kappa=1$ que es el caso que me interesa, pero obtengo la siguiente expresión:


$$$L^{2}=r^{3}\frac{\left(E^{2}-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\right)}{r-2M}$


No entiendo bien por qué pasas a usar la variable $R_{+}$ en lugar de $r$, y además, ¿cómo se cancelaría $E$?


En el siguiente paso veo que deduces la velocidad angular, ¿hay alguna diferencia entre $\omega_{\phi}$ y el $\Omega$ que usas más abajo? Y si quiero obtener la velocidad con la que varía la posición en lugar de la velocidad angular, es válida la fórmula clásica $\omega_{\phi}=v/r$ en este contexto?


@FVPI: he estado revisando la literatura sugerida. No encontré la expresión que necesitaba, pero aún así parece un trabajo interesante (todavía no lo leí con el debido detalle), gracias por compartirlo.

[IsaacDL]

Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

Hola, para calcular los radios posibles lo que hacemos es con ayuda del potencial efectivo, ver que radios son estables, esto es:

$0=\left.\frac{\partial V}{\partial r}\right|_{r=R_+}=\frac{M R^{2}-L^{2} R+3 M L^{2}}{R^{4}}$

De aquí lo que hice fue despejar $L^2$ a un lado de la expresión, y meterlo aquí:

$$$\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right)\left(\frac{L^{2}}{r^{2}}+\kappa\right)=\frac{1}{2} E^{2}$$$

Ahora ya tenemos despejado tanto E como L, lo que hacemos es calcular lo que nos piden.

Entiendo tu duda con respecto a $\Omega$ y $\omega_{\phi}$.

La primera es la derivada de $\phi$ con respecto al tiempo coordenado $t$. La segunda es la derivada de $\phi$ con respecto a $\tau$ (creo que la gente le suele llamar tiempo propio, nombre no muy adecuado). Para cerrar dudas:

$$$$$\begin{aligned} \Omega^{2} &=\left(\frac{d \phi}{d t}\right)^{2}=\left(\frac{d \phi}{d \tau} \frac{d \tau}{d t}\right)^{2}=\frac{\dot{\phi}^{2}}{\dot{t^{2}}}=\frac{L^{2}}{R_{+}^{4}}\left(\frac{B(r)}{E}\right)^{2} \\ &=\frac{M}{R_{+}^{3}} \end{aligned}$$$

Aquí, a partir de la ecuación anterior he hecho $\dot{r}=0$ como indicas, y además supongo $\kappa=1$ que es el caso que me interesa, pero obtengo la siguiente expresión:

Sí. Un saludo y perdona las molestias.

[MrTicTac]

Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

Muchas gracias nuevamente! Ahora sí he podido seguir la deducción. Edité mi entrada inicial porque en la velocidad que había presentado al parecer había un error.