Grupo de isometrías de la Relatividad General

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola de nuevo carroza.

Puedes reescribir la frase con $x$ en vez de $t$ sin problemas sí. La diferencia es que ahora estás interpretando $x$ como el tiempo. Lo único que yo cambiaría de la frase es que realmente $\Sigma_x$ es de tipo espacio porque $\Sigma_x$ es la hipersuperfície $x=\text{cte}$ con lo que todos sus vectores tangentes en cada punto son tipo espacio.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

En efecto, el tiempo "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies $\Sigma_t$ tipo espacio de manera que dados dos puntos de $\Sigma_t$ existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre $\Sigma_t$ para todo tiempo $t$. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies $\Sigma_t$ de forma que al hacer $t$ constante el grupo de isometrías no ve el tiempo, sino solo $\Sigma_t$.

Hola. Weip. Ahora que voy entendiendo algo más este tema de "isometrias" vs "simetrias", dejame que te haga una pregunta naif, para entender el párrafo anterior. Una de las cosas que crei entender de relatividad es que coordenadas espaciales (x,y,z) y tiempo t son equivalentes, salvo un signo en el tensor métrico. Si esto es correcto, por qué no podría cambiar en tu frase el tiempo por una coordenada, por ejemplo x, y decir algo de tipo

En efecto, la coordenada x "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW-x. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies $\Sigma_x$ tipo espacio-tiempo de manera que dados dos puntos de $\Sigma_x$ existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre $\Sigma_x$ para toda coordenada $x$. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies $\Sigma_x$ de forma que al hacer $x$ constante el grupo de isometrías no ve la coordenada x, sino solo $\Sigma_x$.

Gracias de antemano

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Yo diría que, si ahora reintroduces el tiempo (que has excluido de la definicion de isometrías), y consideras transformaciones locales (en la cuales los parámetros asociados a las traslaciones son pequeños), recuperamos el grupo de Poincaré que es $R^4 \rtimes SO(3,1)$

Me equivoco?

No te equivocas no, si nos acercamos mucho al espaciotiempo éste nos parece plano al igual que la Tierra de cerca nos parece plana, con lo que la Relatividad Especial es válida localmente y por eso se recupera la invarianza Poincaré.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Y además si no me equivoco, hay una invariancia local $SO(1,3)$, independientemente de $k$.

Es correcto esto?

Yo diría que, si ahora reintroduces el tiempo (que has excluido de la definicion de isometrías), y consideras transformaciones locales (en la cuales los parámetros asociados a las traslaciones son pequeños), recuperamos el grupo de Poincaré que es $R^4 \rtimes SO(3,1)$

Me equivoco?

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Sí, es correcto.

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

No, no es algo distinto. Por si acaso, cuando yo hablo de métrica FLRW me refiero a ésta. Imagino que Lorentz también, en caso contrario ya nos dirá algo. Dicho esto, no acabo de ver lo que quieres decir en base a lo citado. ¿Quizás la pregunta es porqué el grupo de isometrías de la métrica FLRW con no es el grupo de Poincaré?

Sí, me refería a esa métrica.

Teniendo en cuenta lo que acabas de explicar de por qué el tiempo "desaparece" de la métrica, lo que he entendido de todo lo mencionado anteriormente es:

• Si $k<0$, entonces su grupo de isometrías es $SO(1,3)$, es decir el grupo de Lorentz. Aquí se deja invariante el hiperboloide.

• Si $k=0$, entonces su grupo de isometrías es $\mathbb{R}^3 \rtimes SO(3)$. Las isometrías aquí serían las rotaciones y traslaciones en el espacio tridimensional.

• Si $k>0$, entonces su grupo de isometrías es $SO(4)$. Aquí se deja invariante la 3-esfera.

Y además si no me equivoco, hay una invariancia local $SO(1,3)$, independientemente de $k$.

Es correcto esto?

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Lo que me choca es que en la primera cita hablas del grupo de Poincare ($SO(3,1) \times R^4$), $SO(4,1)$ y $SO(3,2)$, mientras que en la segunda cita hablas del grupo Euclidiano ($SO(3) \times R^3$), $SO(4)$ y $SO(3,1)$.

Es como si el tiempo hubiera desaparecido cuando hablas de FLRW

En efecto, el tiempo "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies $\Sigma_t$ tipo espacio de manera que dados dos puntos de $\Sigma_t$ existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre $\Sigma_t$ para todo tiempo $t$. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies $\Sigma_t$ de forma que al hacer $t$ constante el grupo de isometrías no ve el tiempo, sino solo $\Sigma_t$.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola.

Lo que me choca es que en la primera cita hablas del grupo de Poincare ($SO(3,1) \times R^4$), $SO(4,1)$ y $SO(3,2)$, mientras que en la segunda cita hablas del grupo Euclidiano ($SO(3) \times R^3$), $SO(4)$ y $SO(3,1)$.

Es como si el tiempo hubiera desaparecido cuando hablas de FLRW

Saludos

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola. Creo que me pierdo algo. ¿La metrica FLRW es algo distinto del espaciotiempo homogéneo e isótropo?

No, no es algo distinto. Por si acaso, cuando yo hablo de métrica FLRW me refiero a ésta. Imagino que Lorentz también, en caso contrario ya nos dirá algo. Dicho esto, no acabo de ver lo que quieres decir en base a lo citado. ¿Quizás la pregunta es porqué el grupo de isometrías de la métrica FLRW con $k=0$ no es el grupo de Poincaré?

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Por ejemplo si estás en un espaciotiempo de Minkowski entonces el grupo de isometrías es el de Poincaré, si estás en un espaciotiempo de Sitter entonces su grupo de isometrías es $\text{SO}(4,1)$, si es anti de Sitter entonces es $\text{SO}(3,2)$...

El grupo de isometrías de la métrica FLRW es $G_6$ porque hay seis campos de Killing linealmente independientes. Tres de ellos dependen de la curvatura así que teniendo en cuenta las tres posibilidades los grupos de isometría son los siguientes: $SO(3)\rtimes \mathbb{R}^3$ si $k=0$, $SO(4)$ si $k>0$ y $SO(3,1)$ si $k<0$.

Hola. Creo que me pierdo algo. ¿La metrica FLRW es algo distinto del espaciotiempo homogéneo e isótropo?

Gracias

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Gracias Weip,

Le daré un par de vueltas en cuenta vuelva a ponerme con este tema, y en caso de tener alguna duda os pregunto.

De nuevo, gracias por las molestias

Un saludo

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Si esto que he entendido es verdad, aún me queda una duda, ahora más concreta, acerca de cuál sería el grupo de isometrías global de una métrica tipo FLRW (porque obviamente como dice Carroza, localmente es el de Poincaré).

El grupo de isometrías de la métrica FLRW es $G_6$ porque hay seis campos de Killing linealmente independientes. Tres de ellos dependen de la curvatura así que teniendo en cuenta las tres posibilidades los grupos de isometría son los siguientes: $SO(3)\rtimes \mathbb{R}^3$ si $k=0$, $SO(4)$ si $k>0$ y $SO(3,1)$ si $k<0$.

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Muchas gracias a ambos,

Estoy de acuerdo con todas vuestras afirmaciones, y me habéis ayudado a comprender un poquito más en qué contextos usar una u otra denominación.

La conclusión a la que he llegado es que globalmente sólo podemos afirmar que el grupo de isometrías de un espaciotiempo general es un subgrupo de $\text{Diff}(M)$, pero no podemos concretar más a menos que impongamos condiciones sobre la métrica.

Si esto que he entendido es verdad, aún me queda una duda, ahora más concreta, acerca de cuál sería el grupo de isometrías global de una métrica tipo FLRW (porque obviamente como dice Carroza, localmente es el de Poincaré).

Un saludo

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Buenos días.

Creo que aquí la sutileza es que en física distinguimos un "marco", como puede ser la mecánica clásica, de una teoría concreta, como puede ser la gravitación de Newton, o la teoría general de la gravitación de Einstein. Un "marco" no permite calcular cosas. Una teoría sí.
En este sentido la "teoría cuántica de campos" es un "marco", no es una teoría concreta. La "teoría gauge", en el sentido general en el que la mencionas, es un "marco" (contenido dentro de la teoría cuántica de campos), y obviamente no tiene grupo asociado. La electrodinámica cuántica si es una teoría concreta, y por supuesto que tiene su grupo.

Vamos ahora a la teoría general de la gravitación. En el sentido en el que mencionaba antes, es una teoría concreta, que permite calcular cosas. No es un marco, como la mecánica clásica. Tal como yo la entiendo, la teoría general de la gravitación nos dice que una partícula, en un campo gravitatorio, se mueve a través de una trayectoria que es la geodésica, que es la línea que hace mínimo el intervalo. El intervalo es la integral de elementos $ds$, dados por $ds^2 = \sum_{ij} g^{ij} dx_i dx_j$.

Estoy de acuerdo. La comparación que quiero hacer es que la RG como describe muchos espaciotiempos haría el papel de marco de las teorías gauge mientras que un espaciotiempo concreto haría el papel de una teoría gauge como pudiera ser QED. Al leer tu mensaje también se me ha ocurrido otra comparación, ¿cómo son las geodésicas en un espaciotiempo general? Al igual que pasa con el grupo de isometrías, si no sabemos nada acerca del espaciotiempo o de su métrica, no se puede contestar la pregunta más allá de comentar que siempre son mínimos locales de la longitud. Su expresión explícita requiere saber más cosas.

Las simetrías, o si prefieres isometrías, de la teoría general de la gravitación serían las transformaciones que dejan a $ds$ invariante. Considerando, ahora, que $ds$ puede tomarse arbitrariamente pequeño, comparado con el rango de variación del tensor métrico $g^{ij}$, y considerando que siempre podemos considerar unas nuevas coordenadas $X_i=(ct, x,y,z)$ en que el tensor métrico tome la forma diagonal (1,-1,-1,-1), sin perdida de generalidad podemos escribir $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ . Aquí tenemos para el diferencial de intervalo la misma expresión que en relatividad especial. No obstante, como en relatividad general el tensor métrico varía con la posición y el tiempo, el intervalo (la integral de elementos $ds$) es diferente que en relatividad especial, y las trayectorias son geodésicas, en lugar de lineas rectas.

El grupo que deja invariante $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ es el grupo de Poincaré. Por tanto, yo diría que el grupo que describe las isometrías de la relatividad general (refiriendonos siempre a transformaciones infinitesimales), es el grupo de Poincaré.

Estoy de acuerdo contigo en que, si en lugar de considerar solamente transformaciones infinitesimales, quisieramos considerar transformaciones finitas, el grupo podría ser diferente. Por ejemplo, si el universo fuera cerrado, con curvatura positiva (como imaginaba einstein), las traslaciones nos llevarian de vuelta al punto de partida, de forma análoga a las rotaciones, y el grupo sería compacto frente a las traslaciones, dando algo de tipo $SO(4,1)$. No obstante, si nos referimos a situaciones en las que, asintóticamente, la geormetría es plana, creo que es más adecuado considerar el grupo de Poincaré como grupo de isometría de la relatividad general.

También estoy de acuerdo aunque aquí quizás tenemos una diferencia de lenguaje. Por supuesto, uno puede tomar coordenadas y expresar localmente la métrica como $\text{diag}(+1,-1,-1,-1)$, esto es equivalente a decir que localmente la Relatividad Especial se cumple, o que el grupo local de isometrías es el de Poincaré, pero lo que quiero decir es que este grupo es distinto al de isometrías. Pero bueno, no digo más porque es lo que he dicho, son cosas más de lenguaje que otra cosa. En el fondo coincido.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Ya que han salido las teorías gauge en el hilo, se puede hacer la siguiente comparación (salvando las distancias porque son cosas diferentes): ¿Cuál es el grupo gauge de la teoría gauge? No existe respuesta a esta pregunta porque cualquier grupo de Lie sirve en tanto que la teoría gauge no describe una única teoría, si no muchas, cada una con su grupo gauge. De la misma forma RG no describe un único espaciotiempo, si no muchos, cada uno de ellos con su grupo de isometrías. No sé si me explico.

Hola. Las teorías gauge (en plural) que usamos en física claro que tienen asociado un grupo. La electrodinámica cuántica tiene asociado el grupo U(1). La cromodinámica cuántica tiene asociado el grupo SU(3). La teoría electrodébil tiene asociado el grupo U(2). El modelo estándar tiene asociado U(2)xSU(3). La teoría mínima de gran unificación tiene asociado SU(5).

Creo que aquí la sutileza es que en física distinguimos un "marco", como puede ser la mecánica clásica, de una teoría concreta, como puede ser la gravitación de Newton, o la teoría general de la gravitación de Einstein. Un "marco" no permite calcular cosas. Una teoría sí.
En este sentido la "teoría cuántica de campos" es un "marco", no es una teoría concreta. La "teoría gauge", en el sentido general en el que la mencionas, es un "marco" (contenido dentro de la teoría cuántica de campos), y obviamente no tiene grupo asociado. La electrodinámica cuántica si es una teoría concreta, y por supuesto que tiene su grupo.

Vamos ahora a la teoría general de la gravitación. En el sentido en el que mencionaba antes, es una teoría concreta, que permite calcular cosas. No es un marco, como la mecánica clásica. Tal como yo la entiendo, la teoría general de la gravitación nos dice que una partícula, en un campo gravitatorio, se mueve a través de una trayectoria que es la geodésica, que es la línea que hace mínimo el intervalo. El intervalo es la integral de elementos $ds$, dados por $ds^2 = \sum_{ij} g^{ij} dx_i dx_j$.


Las simetrías, o si prefieres isometrías, de la teoría general de la gravitación serían las transformaciones que dejan a $ds$ invariante. Considerando, ahora, que $ds$ puede tomarse arbitrariamente pequeño, comparado con el rango de variación del tensor métrico $g^{ij}$, y considerando que siempre podemos considerar unas nuevas coordenadas $X_i=(ct, x,y,z)$ en que el tensor métrico tome la forma diagonal (1,-1,-1,-1), sin perdida de generalidad podemos escribir $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ . Aquí tenemos para el diferencial de intervalo la misma expresión que en relatividad especial. No obstante, como en relatividad general el tensor métrico varía con la posición y el tiempo, el intervalo (la integral de elementos $ds$) es diferente que en relatividad especial, y las trayectorias son geodésicas, en lugar de lineas rectas.

El grupo que deja invariante $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ es el grupo de Poincaré. Por tanto, yo diría que el grupo que describe las isometrías de la relatividad general (refiriendonos siempre a transformaciones infinitesimales), es el grupo de Poincaré.

Estoy de acuerdo contigo en que, si en lugar de considerar solamente transformaciones infinitesimales, quisieramos considerar transformaciones finitas, el grupo podría ser diferente. Por ejemplo, si el universo fuera cerrado, con curvatura positiva (como imaginaba einstein), las traslaciones nos llevarian de vuelta al punto de partida, de forma análoga a las rotaciones, y el grupo sería compacto frente a las traslaciones, dando algo de tipo $SO(4,1)$. No obstante, si nos referimos a situaciones en las que, asintóticamente, la geormetría es plana, creo que es más adecuado considerar el grupo de Poincaré como grupo de isometría de la relatividad general.

Repito que no soy experto en relatividad general, ni en teoría de grupos, por lo que agradecería correcciones.

Un saludo