Avanzado Limite Newtoniano

[Aradan]

En los apuntes de Sean Carroll o Matthias Blau, no entiendo por qué en el límite Newtoniano, cuando toman la metrica como $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$ con $|h|<<1$, al transformarlo queda $g^{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu}-h^{\mu \nu}$

yo solo se que la transformacion, para bajar los índices, es haciendo por $\eta^{\mu \rho}\eta^{\nu \sigma} g_{\rho \sigma}$

Pero no se cómo sacar el signo menos, igual se poco de tensores, pero para bajar índices, multiplicaba siempre por $\eta$ , q es la metrica de Minkowski
No se si va por si el h es débil o algo por el estilo

[alshain]

Re: Limite Newtoniano

Una forma de proceder es la siguiente.

Lo que quieres es que la métrica con índices contravariantes sea $g^{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu} + n^{\mu \nu}$, ya que estás en el límite newtoniano. Con esto impones la condición de que $g_{\mu \sigma} g^{\sigma \nu} = \delta_{\mu}{}^{\nu}$:

$(\eta_{\mu \sigma} + h_{\mu \sigma}) (\eta^{\sigma \nu} + n^{\sigma \nu}) = \eta_{\mu \sigma} \eta^{\sigma \nu} + \eta_{\mu \sigma} n^{\sigma \nu} + h_{\mu \sigma} \eta^{\sigma \nu} + h_{\mu \sigma} n^{\sigma \nu}$

Como queremos despreciar perturbaciones de segundo orden, queda:

$\eta_{\mu \sigma} \eta^{\sigma \nu} + \eta_{\mu \sigma} n^{\sigma \nu} + h_{\mu \sigma} \eta^{\sigma \nu} = \delta_{\mu}{}^{\nu}$

Ahora podemos considerar que en el límite de campos débiles es la métrica $\eta^{\mu \nu}$ la que va a subir y bajar índices, ya que las perturbaciones las vamos a tratar como campos en tal espacio-tiempo:

$\delta_{\mu}{}^{\nu} + n_{\mu}{}^{\nu} + h_{\mu}{}^{\nu} = \delta_{\mu}{}^{\nu}$

Es decir:

$n_{\mu}{}^{\nu} = - h_{\mu}{}^{\nu}$

y en definitiva:

$\eta^{\rho \mu} n_{\mu}{}^{\nu} = - \eta^{\rho \mu} h_{\mu}{}^{\nu}, \quad n^{\rho \nu} = - h^{\rho \nu}$

Un saludo.