1r ciclo E = mc^2 y la densidad gravitatoria

[Metaleer]

Hola,

A petición de pod, para no irse demasiado la cosa en terreno off-topic, quisiera seguir preguntando algo en este nuevo hilo.

Veréis, mi duda inicial fue la siguiente:

Hola,

Si esto es cierto,

Significa que para crear una partícula de masa m hay que aportar una energía igual a $E = mc^2$. Es lo que se llama energía en reposo, ya que es una energía que la partícula tiene aunque esté quieta.

(Que no lo pongo en duda para nada, sólo quiero entender bien algo)

¿qué se obtendría si se integra en todo el espacio la densidad de energía gravitatoria? Es decir:

$\displaystyle\int_{\infty} -\frac{\vec{g}\cdot\vec{g}}{8 \pi G} dv$

Saludos.

A lo que el compañero pod contestó diciendo:

El único caso que se me ocurre de un proceso neto de conversión de energía gravitatoria de forma notoria en masa es la radiación de Hawking, la causante de que los agujeros negros se evaporen. El espectro de la radiación de Hawking es conocido, aunque yo personalmente no lo he estudiado nunca a fondo En líneas generales, es de suponer que las partículas más lijeras serán más probables; así que en su mayor parte serán fotones y electrones (en la misma proporción que positrones, claro, ya que la carga debe conservarse).

Y por último, mi duda más reciente con respecto a todo es:

Ajá, ¿quieres decir que eso es el único caso donde la integral que he puesto y la fórmula de Einstein llevan a resultados iguales?

Saludos.

Saludos.

[chap]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Hola Metaleer : Te propongo un cálculo más sencillito. Imagina una región
vacía suficientemente grande (infinita si deseas) que contiene
solamenmte un objeto. Para simplificar más imagina una región esférica con
el objeto en el centro. Al objeto supongámoslo esférico. Y calcula la
densidad que debe tener el objeto para obtener en esa integral de energía
que propones un resultado igual a $m C^2$ . Tal vez después
de ese cálculo (en caso de que aún no lo hayas hecho) logres reformular
la pregunta que más te interesa en una forma que posibilite una respuesta
adecuada.

Mi mejor saludo.

[alshain]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

¿De dónde sale esa fórmula para la "densidad de energía gravitatoria"?

Un saludo.

[Metaleer]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Hola Metaleer : Te propongo un cálculo más sencillito. Imagina una región
vacía suficientemente grande (infinita si deseas) que contiene
solamenmte un objeto. Para simplificar más imagina una región esférica con
el objeto en el centro. Al objeto supongámoslo esférico. Y calcula la
densidad que debe tener el objeto para obtener en esa integral de energía
que propones un resultado igual a $m C^2$ . Tal vez después
de ese cálculo (en caso de que aún no lo hayas hecho) logres reformular
la pregunta que más te interesa en una forma que posibilite una respuesta
adecuada.

Mi mejor saludo.

Hola, chap

La verdad es que es interesante ese cálculo que has propuesto, lo haré y te comentaré. Realmente, mi duda es la siguiente: ¿por qué la fórmula de Einstein y la integral dan resultados diferentes? ¿Es porque representan distintos tipos de energía, o es un fallo de la teoría clásica de Newton?

¿De dónde sale esa fórmula para la "densidad de energía gravitatoria"?

Un saludo.

La deducción es parecida a la que se usa para llegar a la densidad de energía del campo electrostático (en el vacío):

$\displaystyle U_e = \int_{\infty} \frac{\epsilon_0}{2} \vec{E}\cdot\vec{E} dv$

Donde el integrando es la citada densidad de energía:

$\displaystyle \frac{dU_e}{dv} = \frac{\epsilon_0}{2} \vec{E}\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_0}{2} E^2$

Saludos.

[alshain]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Ya veo, entonces con $\vec g$ te tienes que referir a un campo gravitatorio débil, newtoniano. La fórmula va a ser aplicable para un espacio-tiempo plano en el infinito y con campo gravitatorio débil y newtoniano en algún lugar de él. Además, las masas no podrán ser puntuales, ya que de otra forma esa fórmula tiene el mismo problema de presentar un infinito que el caso electrostático con una carga puntual.

Aceptando esto, el resultado de aplicar esa fórmula va a ser algo proporcional a la masa de la distribución de masa que genera el campo, por lo que con una constante adecuada seguro que puede ponerse en relación con $m c^2$. Es cuestión de calcular la integral por ejemplo para una distribución esférica uniforme de densidad de masa e igualar a $m c^2$. Es un problema sencillo (no estoy seguro que ese factor $1/8 \pi G$ vaya a estar bien).

Luego, para casos más generales las cosas cambian. Para campos gravitatorios fuertes como agujeros negros esa fórmula será diferente, pero una rápida consulta a la fórmula 12.3.8 del Wald me dice que es de esperar que el resultado de integrar la densidad energética gravitatoria sea igual a $M c^2$. Pero, en general, sólo bajo determinadas condiciones como un espacio-tiempo plano en el infinito va a ser posible encontrar una expresión para la densidad de energía gravitatoria. En otros casos no. Por ejemplo, en un espacio-tiempo cosmológico está por ver qué sentido puede darle uno a esa noción.

Un saludo.

[Metaleer]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Hola.

chap, alshain, disculpad el retraso, sólo he tenido un poco de tiempo para esto (entre ayer por la noche y esta mañana), pero aquí va lo prometido.

Suponiendo una distribución de densidad volúmica constante, de radio $R$ y masa $M$, tenemos, integrando la densidad de energía gravitatoria:

$\displaystyle E = - \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$

Por otra parte, ya sabemos que

$E = Mc^2$

Como la primera expresión es el trabajo que se ha necesitado para construir el planeta, siguiendo un proceso termodinámicamente reversible, partiendo de elementos diferenciales en el infinito, me quiero imaginar que se puede obviar el signo negativo ya que éste sólo nos indica que no hemos tenido que realizar trabajo nosotros contra el campo al ir transportando elementos diferenciales de masa desde el infinito hacia el sistema de masas. (¿Es esto correcto?)

De esta manera, tenemos que

$\displaystyle Mc^2 = \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R} \Rightarrow c^2 = \frac{3}{5} \frac{GM}{R}$

Y esto es lo que me preocupa, que el primer miembro es una constante fundamental de la Naturaleza al cuadrado, que tiene un valor fijo. Pero el segundo miembro es que tiene dos parámetros variables, la masa y el radio. ¿Significa esto que cuando un planeta se forma, siempre lo hace de tal manera que se cumpla la igualdad anterior?

Haciendo los cálculos para nuestro planeta, resulta que

$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,9742\cdot 10^{24}}{6378,1\cdot 10^3} = 3,74857\cdot 10^7 ~ \frac{m^2}{s^2}$

Tomando raíces cuadradas, tenemos

$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}\cdot \frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,9742\cdot 10^{24}}{6378,1\cdot 10^3}} = 6122,56 ~\frac{m}{s}$

Que no tiene nada que ver con la velocidad de la luz, ni en términos de orden de magnitud.

¿Qué es lo que pasa?

Saludos.

[alshain]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

En efecto yo me equivoqué afirmando que el resultado iba a ser $E \sim M$, cuando realmente es $E \sim M/R$ como bien calculas tú y en analogía con el caso usual de una distribución de carga. Tengo que repasar el Wald para ver cómo encaja esto con lo que mencioné sobre los agujeros negros.

Sobre la interpretación parece claro que no hay razón para que esa igualdad se dé a priori. De hecho, que la energía gravitatoria sea igual a la energía en la masa es una condición que se ha planteado ya en relación con el principio de Mach, y proporciona una condición adicional sobre la constante de gravitación. Déjame algo de tiempo para pensar y consultar y volveré sobre esto y me extenderé también con lo del principio de Mach.

Un saludo.

[Metaleer]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

En efecto yo me equivoqué afirmando que el resultado iba a ser $E \sim M$, cuando realmente es $E \sim M/R$ como bien calculas tú y en analogía con el caso usual de una distribución de carga. Tengo que repasar el Wald para ver cómo encaja esto con lo que mencioné sobre los agujeros negros.

Sobre la interpretación parece claro que no hay razón para que esa igualdad se dé a priori. De hecho, que la energía gravitatoria sea igual a la energía en la masa es una condición que se ha planteado ya en relación con el principio de Mach, y proporciona una condición adicional sobre la constante de gravitación. Déjame algo de tiempo para pensar y consultar y volveré sobre esto y me extenderé también con lo del principio de Mach.

Un saludo.

Hola, alshain

Gracias por responder tan rápido. ¿Es posible que a lo mejor las dos energías realmente representen cosas distintas, y por eso salen resultados tan sumamente distintos?

Ya me contarás, gracias de nuevo.

Saludos.

[niestsnie]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Hola a todos

He leído un poco los mensajes y creo que lo adecuado es suponer que $Mc^2$ representa la energía total (gravitatoria+electromagnética+nuclear+....); de modo que lo planteo así:

$\displaystyle Mc^2 > \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R} \Rightarrow R > \frac{3}{5} \frac{GM}{c^2 }$

Lo que se puede interpretar como un límite de tamaño similar al caso de un agujero negro de Schwarzschild.

Saludos

[Metaleer]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Hola a todos

He leído un poco los mensajes y creo que lo adecuado es suponer que $Mc^2$ representa la energía total (gravitatoria+electromagnética+nuclear+....); de modo que lo planteo así:

$\displaystyle Mc^2 > \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R} \Rightarrow R > \frac{3}{5} \frac{GM}{c^2 }$

Lo que se puede interpretar como un límite de tamaño similar al caso de un agujero negro de Schwarzschild.

Saludos

Hola.

Tiene cierto sentido lo que planteas, ya que la energía gravitatoria obtenida por integración es muchísimo menor que lo que da la ecuación de Einstein. A la luz de esto, si a la ecuación de Einstein se le resta la energía gravitatoria obtenida por integración, ¿quieres decir que lo que queda es toda la energía menos la energía asociada a la gravitación? ¿Hay algún ejemplo donde sólo haya energía gravitatoria y nada o casi nada de otra forma de energía? Tal vez se pueda obtener, por igualación y buscando los valores adecuados de la masa y del radio. Me parece muy curioso todo esto.

Saludos.

[niestsnie]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Tiene cierto sentido lo que planteas, ya que la energía gravitatoria obtenida por integración es muchísimo menor que lo que da la ecuación de Einstein. A la luz de esto, si a la ecuación de Einstein se le resta la energía gravitatoria obtenida por integración, ¿quieres decir que lo que queda es toda la energía menos la energía asociada a la gravitación?

Creo que es correcto al menos en la aproximación Newtoniana de campo gravitatorio débil.

¿Hay algún ejemplo donde sólo haya energía gravitatoria y nada o casi nada de otra forma de energía? Tal vez se pueda obtener, por igualación y buscando los valores adecuados de la masa y del radio. Me parece muy curioso todo esto.
Saludos.

Esto parece difícil si asumimos la naturaleza electromagnética de la matería; algo que nos enseñaban en la escuela. Aunque es mas correcto (y mas peligroso para la enseñanza) hablar de la naturaleza electromagnética de la matería conocida.
La única posibilidad que se me ocurre para lo que planteas es el caso del agujero negro, aunque es un caso límite muy alejado en principio de la aproximación Newtoniana.

Saludos.

[Metaleer]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Creo que es correcto al menos en la aproximación Newtoniana de campo gravitatorio débil.

Esto parece difícil si asumimos la naturaleza electromagnética de la matería; algo que nos enseñaban en la escuela. Aunque es mas correcto (y mas peligroso para la enseñanza) hablar de la naturaleza electromagnética de la matería conocida.
La única posibilidad que se me ocurre para lo que planteas es el caso del agujero negro, aunque es un caso límite muy alejado en principio de la aproximación Newtoniana.

Saludos.

Ajá, muchas gracias.

¿La aproximación Newtoniana cuándo deja de ser válida exactamente, con masas muy altas? Me quiero imaginar que era el mismo problema cuando se intentaba tratar la órbita de Mercurio.

Saludos.

[Entro]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Hay que llevar cuidado con estas cosas porque a veces las expresiones engañan un poco.

Lo primero es que la expresión que se ha empleado está basada en física Newtoniana, así que es fácil entender por qué no salen factores c^2.

Por otro lado, cuando hacemos el límite Newtoniano desde GR observamos que las componentes de la métrica (las perturbaciones de la métrica plana en concreto) son de la forma:

$h_{\mu\mu}=\frac{V}{c^2}$

donde h son las componentes de la perturbación de la métrica y solo aparecen elementos diagonales.


Esto quiere decir que lo que obtenemos con una integración del tipo empleado anteriormente directamente es el potencial o la energía gravitatoria. Teniendo en cuenta que para un sistema de masas estáticas la única componente no nula del tensor energía-momento tiene la forma:

$T_{00}=\rho c^2$

[niestsnie]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Ajá, muchas gracias.

¿La aproximación Newtoniana cuándo deja de ser válida exactamente, con masas muy altas? Me quiero imaginar que era el mismo problema cuando se intentaba tratar la órbita de Mercurio.

Saludos.

En rigor la aproximación para campos poco intensos de la relatividad general no equivale a la gravitación de Newton. Esto es consecuencia del carácter tensorial de la relatividad general; seguramente en el foro hay gente que puede explicarlo mejor que yo y les animo a que lo hagan.

Saludos.

[alshain]

Re: E = mc^2 y la densidad gravitatoria

Consideremos el procedimiento de traer desde el infinito masas para formar una masa de simetría esférica. El trabajo que el campo nos proporciona al acercar las masas desde el infinito es

$\displaystyle W = \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$

Supongamos que kas masas tienen una masa total en reposo de $M$. Por tanto, la energía en reposo del sistema final es:

$\displaystyle E = Mc^2 - \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$

Uno puede asociar una masa a esta configuración final tal que

$\displaystyle M^{\prime} = M - \frac{3}{5} \frac{GM^2}{Rc^2}$

Esta es una situación similar a la del protón, cuya masa es menor que la suma de las masas de los quarks que lo componen debido a que está formando un estado ligado energéticamente más favorable que si todos sus componentes están libres en el infinito.

Igualar $\displaystyle M^{\prime} c^2$ y la energía gravitacional carece de sentido, ya que $\displaystyle M^{\prime}$ es consecuencia de las masas iniciales más el decremento debido a la situación energética más favorable.

Igualar $\displaystyle M c^2$ y la energía gravitacional es ya otra historia. Si se hace significa que la energía total en reposo de un cuerpo - su energía inercial más su energía gravitacional debida a todos los cuerpos en el universo - es nula. Para el interesado en el principio de Mach y cómo una situación así puede derivarse de él y las consecuencias que tiene refiero a este magnífico y bello papel de Denis Sciama:

On the origin of inertia

Un saludo.