Divulgación Tensor metrico

[Hilbert]

Hola a todos saben mi profesor me ha dicho que investigue sobre el tensor metrico pero no estoy seguro de que es y como se trabaja con el si me pudieran dar un ejemplo que como calcular con este tensor se los agradeceria mucho.

Solo se que tiene la forma $ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2$ pero despues no estoy seguro de como se opera si alguien me da una explicar se los agradeceria mucho y si me dan un ejemplo se los agradeceria aun mas

[Entro]

Re: Tensor metrico

Un tensor se define como una aplicación que va de un espacio de vectores (o sus duales) a números, por ejemplo reales.

Hablando pedestremente un tensor métrico tiene la siguiente pinta:

$g_{ij}$

Que aparezcan dos índices nos indica que ese bicho toma dos vectores y les asocia un número.

por ejemplo: Si tenemos el vector v=(x,y,z) y le queremos sacar su módulo al cuadrado, lo que hacemos usualmente es calcular el producto escalar de dicho vector con él mismo:

$v^2=(x,y,z)(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

Pero ahora podemos decir que tenemos un métrica definida: $g_{ij}=diag(1,1,1)$

Que podemos verlo como la matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal son la unidad.

Entonces podemos expresar: $v^2=g_{ij}v_iv_j$

Entonces nos podemos preguntar como se opera con esto:

vamos al elemento 11: $g_{11}=1$

vamos al elemento 22: $g_{22}=1$

vamos al elemento 33: $g_{33}=1$

vamos al elemento 12: $g_{12}=0$

vamos al elemento 23: $g_{23}=0$

y todos los elementos no diagonales, es decir que i=j son nulos...

como $v_1=x$ $v_2=y$ $v_3=z$

verás que la cuenta es muy facil.

A los tensores métricos se les exige ciertas características, la principal es que sean simétricos: $g_{ij}=g_{ji}$

Y pueden ser definidos en cualquier dimensión y por supuesto no tienen por qué ser diagonales.

Seguro que en este enlace tienes más información y excelente bibliografía relacionada:

http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/genrel.pdf

Y si tienes soltura con la matemática:

General Relativity
Robert M. Wald
Chicago University press.

[Hilbert]

Re: Tensor metrico

Te entiendo pero me queda una duda como harias de para calcular el tensor metrico de una figura geometrica. Por ejemplo:

$x = R sin(\phi)+ cos(\varphi)$

$y = R sin(\varphi)+ cos(\phi)$

$z = R \phi$

Si pudieras hacer el desarrollo completo para entenderte perfectamente te lo agradeceria

[alshain]

Re: Tensor metrico

¿Te refieres por ejemplo a la métrica de la superficie bidimensional de una esfera? ¿Qué se supone que representa eso que has escrito?

[Entro]

Re: Tensor metrico

Te entiendo pero me queda una duda como harias de para calcular el tensor metrico de una figura geometrica. Por ejemplo:

$x = R sin(\phi)+ cos(\varphi)$

$y = R sin(\varphi)+ cos(\phi)$

$z = R \phi$

Si pudieras hacer el desarrollo completo para entenderte perfectamente te lo agradeceria

Desgraciadamente no voy a poder por falta de tiempo, pero seguro que alguien te lo indica o googlea que eso está hecho por todas las esquinas, o buscate un libro gordo donde lo hagan...

Suerte