Masas y Cargas en teoría Cuántica de campos

[carroza]

Hola a todos.
Voy a empezar una serie de hilos, para que podamos debatir cómo aparecen masas y casrgas en teoría cuántica de campos. Mi idea es empezar con hilos más sencillos, y gradualmente pasar a hilos más complejos, basados en los anteriores, para poder debatir sobre temas de partículas y antiparticulas, fermiones de Dirac y de Majorana, qué masas da y que masas no da el mecanismo de Higgs, etc.

Este primer hilo trata de entender la masa en teoría cuántica de campos.

En mecánica clásica, la masa es una propiedad interna de las partículas. Lo mismo ocurre en la mecánica cuantica convencional (no relativista). La masa de una partícula es la que es (0.511 MeV/c^2 para un electrón, o 938 MeV/c^2 para un protón), y poco más hay que decir se ella.

Sin embargo, en teoría cuántica de campos, lo que hay son campos, o sea cosas de tipo $\phi(x)$, donde $x=(ct, \vec r)$, y $\phi$ es una cosa que toma diferentes valores para las distintas posiciones y los distintos tiempos. No parece trivial asignar una masa a una cosa difusa como es un campo $\phi(x)$.

Primero hay que entender cómo evoluciona, espacial y temporalmente, esa cosa difusa que llamamos campo $\phi(x)$. Para ello, la guía general es que el campo evoluciona de forma que gobernada por la acción S, que a su vez es la integral de una función del campo y sus derivadas que se llama densidad lagrangiana ${\cal L} (\phi, {\partial}_\mu \phi)$.

Lo clave de la desnidad lagrangiana es que debe ser invariante de Lorentz. Eso hace que las derivadas, y los campos, tengan que combinarse de forma muy especifica. En el caso de que tratemos de partículas de espín cero, como piones, y kaones, el campo $\phi(x)$ es invariante frente a transformaciones de lorentz. Eso lleva a que la forma posible de la lagrangiana sea de tipo
${\cal L} (\phi, {\partial}_\mu \phi) = (\hbar c) {\partial}^\mu \phi {\partial}_\mu \phi - {m^2 c^4 \over \hbar c} \phi^2$.
Por tanto, para partículas de espín cero, la masa aparece como el término cuadrático en los campos que aparece en la densidad lagrangiana.

Cuando a partir de la densidad lagrangiana se obtienen las ecuaciones de movimiento, a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange, y se hace corresponder el operador $i \hbar \partial_t = E$, $-i \hbar \partial_x = p_x$, se obtiene que las ecuaciones de evolucion de los campos son consistentes con
$E^2 - c^2 p^2 = m^2 c^4$.

Así, en resumen, en TCC la masa aparece como el término cuadrático en los campos (no en las derivadas) que aparece en la densidad lagrangiana.
Seguiremos a partir de esta base.

Saludos

[carroza]

Continuo con este hilo.

Hasta ahora hemos descrito el lagranciano de un mundo en el que solamente existe una partícula, totalmente neutra, de espín cero. Por ejemplo, un pión neutro.

Ahora vamos al caso siguiente: Un mundo donde pueden aparecer dos partículas diferentes, totalmente neutras, de espín cero. Por ejemplo, los dos mesosnes $\eta$ que aparecen en la naturaleza, Uno tiene masa $548$ MeV, y otro $958$ MeV, Quizás a alguno os suene que esos mesones son combinación de dos cosas que son el mesón $\eta_8$, que viene del octete, y el mesoón $\eta_1$, que viene del singlete.

Para describirlos, necesitamos dos campos, que llamamos, arbitrariamente, $\phi_8(x)$ y $\phi_1(x)$. Esos dos campos vienen descritos por una densidad lagrangiana que debe ser invariante de Lorentz. En general, los campos se normalizan de manera que la parte de la densidad lagrangiana que depende de las derivadas toma la forma
${\cal L_0} ({\partial}_\mu \phi_8, {\partial}_\mu \phi_1) = (\hbar c) \left( {\partial}^\mu \phi_8 {\partial}_\mu \phi_8 + {\partial}^\mu \phi_1 {\partial}_\mu \phi_1 \right)$

Este sería el lagrangiano que describiría a dos mesones de masa cero, que llamaríamos $\eta_8(0)$, y $\eta_1(0)$,. Podeis imaginar que en esta situación, cualquier par de combinaciónes ortogonales de los campos $\phi_8(x)$ y $\phi_1(x)$, correspondería a dos mesones de masa cero, tan válidos como $\eta_8(0)$, y $\eta_1(0)$, Por ello, si no hay masa, no podríamos distinguir unas partículas de otras.

Ahora introducimos un términos de masa, que debe ser un término cuadrático en los campos $\phi_8(x)$ y $\phi_1(x)$. El término más general sería
$A \phi_8^2 + B \phi_1^2 + C \phi_8 \phi_1$. Este término se incluiría en el lagrangiano sin masa, para dar un lagrangiano general de forma
${\cal L} ( \phi_8, \phi_1) = (\hbar c) \left( {\partial}^\mu \phi_8 {\partial}_\mu \phi_8 + {\partial}^\mu \phi_1 {\partial}_\mu \phi_1 \right)+ A \phi_8^2 + B \phi_1^2 + C \phi_8 \phi_1<br />$

Este lagrangiano incluye un término que podríamos interpretar como un acoplamiento entre $\phi_8(x)$ y $\phi_1(x)$. Sin embargo, siempre podemos buscar dos campos $\phi(x)$ y $\phi'(x)$, combinaciones de los anteriores, en los cuales el término cuadrático sea diegonal, de forma que no haya acoplamineto entre $\phi(x)$ y $\phi'(x)$. En ese caso, la densidad lagrangiana resulta, expresada en los nuevos campos, como
${\cal L} (\phi, \phi') = (\hbar c) \left( {\partial}^\mu \phi {\partial}_\mu \phi + {\partial}^\mu \phi' {\partial}_\mu \phi' \right)- {m(\eta)^2 c^4 \over \hbar c} \phi^2 - {m(\eta')^2 c^4 \over \hbar c} \phi'^2<br />$

De esta forma aparecen los mesones físicos $\eta, \eta'$. Los térmicos cuadraticos generales en los dos campos, pueden diagonalizarse y esto nos da la selección específica de campos que corresponden a los mesones que aparecen en la naturaleza.

Los términos de masa en TCC son análogos a los términos de acoplamiento que aparecen en los osciladores acoplados en física clásica. Uno tiene en general varios modos de oscilación acoplados, que dan lugar a los modos normales, cuando se definen estos como combinaciones de los modod de oscilación originales. En TCC, los campos originales dan logar a combinaciones de campos, coyos términos de masa cuadráticos son diagonales, y estos dan lugar a las partículas físicas.

Ya me vais contando si esto os resulta util, u os suena a chino,

Un saludo

[Richard R Richard]

Hola, la primer entrada se puede decir que la entendí,o eso creo, Hablamos de que la masa la tratas como un campo escalar en 3+1, y la forma en que trataras su energía cuando quieras escribir sus ecuaciones de movimiento,haciendo el símil con la mecánica lagrangiana de la teoría clásica, con ayuda de la wiki te pude seguir, pero el segundo post, ya no, no estoy a la altura para ser un alumno de tu clase, espero me pueda instruir para seguirte en algún momento y encantado fanático estaría, pero ahora sería en vez de seguidor ,un estorbo, así que te leo con atención aver que puedo entender del argenchino. Gracias, de mil amores, solo quiero expresarte que muy grata tu iniciativa, aver si me pongo las pilas y arranco al menos por lo más básico.

[javisot20]

Ahora introducimos un términos de masa, que debe ser un término cuadrático en los campos $\phi_8(x)$ y $\phi_1(x)$. El término más general sería
$A \phi_8^2 + B \phi_1^2 + C \phi_8 \phi_1$. Este término se incluiría en el lagrangiano sin masa, para dar un lagrangiano general de forma
${\cal L} ( \phi_8, \phi_1) = (\hbar c) \left( {\partial}^\mu \phi_8 {\partial}_\mu \phi_8 + {\partial}^\mu \phi_1 {\partial}_\mu \phi_1 \right)+ A \phi_8^2 + B \phi_1^2 + C \phi_8 \phi_1<br />$

Saludos Carroza, ¿ese término cuadrático de masa que hemos introducido puede ser reinterpretado como un campo original (de Higgs)?, creo que te sigo pero no entiendo por qué elegimos ese término y es el más general, creo que voy un par clase por detrás...perdón.

El resto bien en líneas generales creo, tenemos campos originales sin masa (estado de vacío cuántico)entre ellos el campo de Higgs, las combinaciones de campos originales da lugar a campos no originales con masa como término cuadrático que además su densidad lagrangiana es invariantes Lorentz, la combinación de campos no originales genera partículas físicas.

[carroza]

Hola.

Gracias, Richard R Richard y javisot20 por leerme.
He corregido una erratilla de signos.

Javisot, Con respecto al campo de Higgs, todavía no es relevante. Yo pretendo introducir las masas gradualmente, y estas aparecen en general como terminos cuadráticos en los campos en la densidad lagrangiana. Como verás en lo que sigue, el lagrangiano cuadrático que uso es el más general, claro está, en la proximidad del mínimo de "potencial".

Richard, Si que te agradecería si me indicas dónde te pierdes entre el primer post y el segundo.

Mi intención es que esto no suene como una "clase", sino como una base para debatir cosas, si os interesa. El tema de las masas de las partículas es una cuestión fascinante, nada trivial, que quisiera compartir con vosotros.


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Voy a desarrollar la analogía de la mecánica clásica con la TCC, que espero que sea util:
En mecanica clásica, si tenemos un grado de libertad $z$, y queremos explorar su dependencia con el tiempo, consideramos un lagrangiano $L(z,\dot z) = {m \over 2} {\dot z}^2 - V(z)$. Si desarrollamos V(z) en torno a su valor mínimo, y redefinimos z de tal forma que su mínimo esté en z=0, podemos expresar, en las proximidades de $z=0$, el lagrangiano como $L(z,\dot z) = {m \over 2} {\dot z}^2 - {K \over 2} z^2$. A partir de ahi, enontramos las ecuaciones de movimiento típicas de un oscilador armónico, en las que aparece una frecuencia característica
$\omega = \sqrt{K \over m}$ .

En teoría cuántica de campos, si tenemos un campo escalar $\phi$, y queremos explorar su dependencia con $x=(ct, \vec r)$, consideramos una densidad lagrangiana ${\cal L} (\phi, {\partial}_\mu \phi) = (\hbar c) {\partial}^\mu \phi {\partial}_\mu \phi - V( \phi)$.
Consideramos ahora que $V(\phi)$ tiene un mínimo, ya que si no la tuviera, las ecuaciones del campo no tendrían soluciones aceptables, porque el valor del campo podría diverger. Redefinimos el campo de tal manera que el mínimo de $V(\phi)$ esté en $\phi= 0$. entonces, la densidad lagrangiana del campo se puede expresar como

${\cal L} (\phi, {\partial}_\mu \phi) = (\hbar c) {\partial}^\mu \phi {\partial}_\mu \phi - A \phi^2$. A partir de ahi, encontramos que las ecuaciones del campo relacionan las variaciones temporales y espaciales de forma que, llamando ${M c^2 \over \hbar c} = \sqrt{A \over \hbar c}$, se cumple $E^2- c^2 p^2 = (M c^2)^2$.

Asi, la analogía entre mecánca clásica y TCC es que a la variable clásica z le corresponde el campo $\phi$. Al parámetro clásico tiempo t le corresponden las coordenadas espacio-temporales x. Al término clásico de energía potencial $- {K \over 2} z^2$, cuadrático en z, le corresponde en TCC el término $- A \phi^2$, cuadrático en los campos. Y a la frecuencia característica $\omega = \sqrt{K \over m}$, que determina el comportamiento temporal de z, le corresponde la masa ${M c^2 \over \hbar c} = \sqrt{A \over \hbar c}$, que da el comportamiento expacio-tempora de$\phi$. o sea la masa asociada al campo $\phi$.

Esto sertía la analogía entre una única coordendada clásica z, y un único campo $\phi$.

Si tenemos dos coordenadas clásicas (y,z), tendríamos un lagrangiano clásico $L(y, z,\dot y, \dot z) = {m \over 2} {\dot z}^2 + {m \over 2} {\dot y}^2 - V(y,z)$. El potencial V(y,z) puede desarrollarse en torno al mínimo, que se pone en $y=z=0$, de forma que el lagramgiano queda $L(y, z,\dot y, \dot z) = {m \over 2} {\dot z}^2 + {m \over 2} {\dot y}^2 - {K_{zz} \over 2} z^2 - {K_{yy} \over 2} y^2 - K_{yz} yz$, whe es un sistema de osciladores acoplados con dos frecuencias características que se obtienen a partor de los autovalores de la matriz de acoplamientos.

La analogía directa es con los dos campos $\phi_1, \phi_8$ de mi post anterior.

Ya me decis si esto aclara.

Saludos

[javisot20]

Entiendo que pasamos de tratar a la masa de "puntual" a "no puntual" asociándola a un campo de la manera que muestras carroza, lo mismo podemos hacer con la carga en relación a las ecuaciones de Maxwell. En el caso de la masa "puntual" podemos desarrollar las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico simple, en el caso "no puntual" podemos desarrollar las ecuaciones del campo, escalar en este caso, por ejemplo la ecuación K-G.

Tengo ciertas lagunas matemáticas pero espero aclararme durante el hilo para poder debatir algún aspecto, saludos y gracias carroza

[carroza]

Hola.

No es una imagen correcta, ni tampoco una metafora util, a mi juicio, interpretar que el oscilador armónico clásico que he descrito correspona a una masa "puntual", mientras el campo que describo en TCC sea una masa "no puntual" descrita por un un campo de materia.

La variable $z(t)$ que describo clásicamente puede corresponder, tanto a una particula puntual, como al centro de masas de una distribución arbitrariamente extensa de materia. El campo $\phi(x)$ que describo en TCC puede corresponder tanto a una partícula estrictamente elemental (tipo higgs) como a una particula no elemental (tipo mesón). Lo que es claro que no representa $\phi(x)$ es una distribucion de materia. Si detecto $\phi(x)$, será a través de un número entero de objetos (cuantos) de masa $M$. Nunca podré observar una "fracción" de la masa del cuanto. En los campos clásicos, como los descritos por las ecuaciones clásicas de Maxwell, siempre puedo observar una fracción arbitrariamente pequeña de la energía del campo, o una fracción arbitrariamente pequeña de la carga del campo, sin más que integrar en una zona arbitrariamente pequeña del espacio.

El mensaje que quiero trasmitir es que en TCC la masa asociada al campo $\phi(x)$, que es la masa de los objetos asociados al campo (cuantos del campo, o partículas asociadas al campo), viene determinada por el coeficiente de los términos cuadráticos del campo que aparecen en la densidad lagrangiana. Este coeficiente es un número real, en principio arbitrario, por lo que las masas de los campos podrían ser numeros reales arbitrarios, y no están cuantizados de forma alguna.

Ahora empiezo otro hilo asociado con las cargas, que, como veremos, surgen a partir de los campos pero de una manera totalmente diferente.

Saludos

[Weip]

Hola a todos. Sé que llego tarde pero no conocía esta iniciativa de carroza y me ha parecido super interesante.

Leyendo creo que hay un asunto sutil en lo que preguntaba javisot20. Quizás no va por ahí, pero entiendo que lo que tenía en mente era algo como esto: lo más natural siempre ha sido asociar la masa a las partículas como una propiedad fundamental, pero resulta que en teoría cuántica de campos de repente la masa se asocia a los campos, de manera que esta masa quizás no es puntual. Tal como ha indicado carroza la masa de la que hablamos no debe ser interpretada como una distribución de masas, sinó la masa que observaremos en las partículas asociadas a ese campo. Esto es correctísimo, pero desde el punto de vista conceptual hay algo que no cuadra, el concepto de partícula pasa a ser derivado y los campos pasan a ser el concepto fundamental; y si hay una interacción entre partículas, en realidad es porque sus respectivos campos interaccionan detrás del escenario. Hay varias maneras de justificar este hecho, siendo la más rápida que la $m$ que hay en el lagrangiano pasa a ser una $m$ en las ecuaciones del movimiento del campo, y como se respeta la relación $E^2=p^2c^2+m^2c^4$, entonces $m$ es la masa de una partícula relativista (el cuanto del campo).

Dejar claro que lo que voy a decir no es estándar, pero conceptualmente a mi me convence más pensar que el término $-m^2\phi^2$ (dejadme usar unidades naturales por favor) que vemos habitualmente en los lagrangianos es realmente una autointeracción del campo. Es decir, como $\phi$ está al cuadrado, el término de masa es una interacción entre los campos $\phi$ y $\phi$ con "constante de acoplo" $m$ (nótese las comillas porque como digo, esta forma de verlo no es la que hay en los libros). A la práctica esto no cambia nada y es una interpetación: una partícula relativista en su propagación libre obtendría una masa $m$ por autointeracción de su campo asociado, de manera que este "acoplo" $m$ no es realmente un acoplo si no la masa. Esto significaría que el concepto de masa no sería fundamental, y siempre sería "dinámico" (no puedo decir que fuera dinámico realmente porque esta "constante de acoplo" daría un polo en el propagador, por lo tanto es de origen cinemático... Pero la masa que se obtiene mediante mecanismo de Higgs es dinámica y contribuye a este polo, así que bueno, dejo esto un poco en el aire por si alguien quiere pensarlo o contraargumentarlo).

[javisot20]

Leyendo creo que hay un asunto sutil en lo que preguntaba javisot20. Quizás no va por ahí, pero entiendo que lo que tenía en mente era algo como esto: lo más natural siempre ha sido asociar la masa a las partículas como una propiedad fundamental, pero resulta que en teoría cuántica de campos de repente la masa se asocia a los campos, de manera que esta masa quizás no es puntual. Tal como ha indicado carroza la masa de la que hablamos no debe ser interpretada como una distribución de masas, sinó la masa que observaremos en las partículas asociadas a ese campo.

Lo estaba entendiendo mal, por vuestras palabras creo que lo tengo un poco más claro, "el campo no pesa pero sus partículas sí" digamos (en un lenguaje totalmente informal y sobresimplificado)

Al decir carroza "podemos asignar masa a una cosa difusa (no puntual) como es un campo" en mi cabeza directamente distribuí esa masa por todo el espacio.....pero nada que ver, gracias.

[carroza]

Hola a todos. Sé que llego tarde pero no conocía esta iniciativa de carroza y me ha parecido super interesante.

Leyendo creo que hay un asunto sutil en lo que preguntaba javisot20. Quizás no va por ahí, pero entiendo que lo que tenía en mente era algo como esto: lo más natural siempre ha sido asociar la masa a las partículas como una propiedad fundamental, pero resulta que en teoría cuántica de campos de repente la masa se asocia a los campos, de manera que esta masa quizás no es puntual. Tal como ha indicado carroza la masa de la que hablamos no debe ser interpretada como una distribución de masas, sinó la masa que observaremos en las partículas asociadas a ese campo. Esto es correctísimo, pero desde el punto de vista conceptual hay algo que no cuadra, el concepto de partícula pasa a ser derivado y los campos pasan a ser el concepto fundamental; y si hay una interacción entre partículas, en realidad es porque sus respectivos campos interaccionan detrás del escenario. Hay varias maneras de justificar este hecho, siendo la más rápida que la $m$ que hay en el lagrangiano pasa a ser una $m$ en las ecuaciones del movimiento del campo, y como se respeta la relación $E^2=p^2c^2+m^2c^4$, entonces $m$ es la masa de una partícula relativista (el cuanto del campo).

Exacto.

Dejar claro que lo que voy a decir no es estándar, pero conceptualmente a mi me convence más pensar que el término $-m^2\phi^2$ (dejadme usar unidades naturales por favor) que vemos habitualmente en los lagrangianos es realmente una autointeracción del campo. Es decir, como $\phi$ está al cuadrado, el término de masa es una interacción entre los campos $\phi$ y $\phi$ con "constante de acoplo" $m$ (nótese las comillas porque como digo, esta forma de verlo no es la que hay en los libros). A la práctica esto no cambia nada y es una interpetación: una partícula relativista en su propagación libre obtendría una masa $m$ por autointeracción de su campo asociado, de manera que este "acoplo" $m$ no es realmente un acoplo si no la masa. Esto significaría que el concepto de masa no sería fundamental, y siempre sería "dinámico" (no puedo decir que fuera dinámico realmente porque esta "constante de acoplo" daría un polo en el propagador, por lo tanto es de origen cinemático... Pero la masa que se obtiene mediante mecanismo de Higgs es dinámica y contribuye a este polo, así que bueno, dejo esto un poco en el aire por si alguien quiere pensarlo o contraargumentarlo).

A ver, aquí hay una cuestión relevante. En el lagrangiano de los campos podemos tener un término genérico $\cal{V}(\phi)$ , que sea una función arbitraria del campo. Sin embargo, en ese caso no sabemos cómo hacer la cuantización del campo, para obtener los "modos de excitación", o sea, las partículas asociadas al campo. Sin embargo, si desarrollamos $\cal{V}(\phi)$ en torno al valor que hace máximo el potencial (y por tanto mínima la densidad lagrangiana $\cal{L} = \cal{T} - \cal V(\phi)$ ), y redefinimos, si es necesario, el campo para que $\phi=0$ , para el punto que hace máximo el potencial, podemos desarrollar $V(\phi) = - m^2 \phi^2 + A \phi^3 + B \phi^4 + \dots$ . La parte cuadrática la podemos englobar muy bien a la hora de hacer la cuantización del campo, y esto nos da partículas "libres" de masa m. Los otros términos, cúbicos, cuárticos, nos dan interacciones de las partículas, descritos, perturbativamente, en base a diagramas de feynmann con tres y cuatro partículas en un vértice.

saludos

[carroza]

Hola.

Continuo con este hilo sobre las masas. He separado en otro hilo la descripción de las cargas. El resultado relevante que quiero retomar aqui es el siguiente:
Las transformaciones gauge locales llevan a la necesidad de introducir un campo, que llamamos campo gauge, $A^\mu(x)$. Lo especial de ese campo es que, frente a las transformaciones gauge locales, el campo cambia de forma muy especial. Se convierte en $A^\mu(x) + {1 \over e} \partial^\mu \alpha(x)$, donde $\alpha(x)$ es arbitrario.

Ahora, nuestro problema es encontrar un lagrangiano para ese campo gauge . El lagrangiano (o estrictamente la densidad lagrangiana), ${\cal L} (A^\mu, {\partial}^\nu A^\mu)$ debe depender de los campos y de sus derivadas, y debe ser invariante frente a transformaciones de Lorentz. Pero además, debe ser también invariante frente a transformaciones gauge locales. Eso quiere decri que, si en la expresión del lagrangiano, cambiamos $A^\mu(x)$ por $A^\mu(x) + {1 \over e} \partial^\mu \alpha(x)$, el lagrangiano no cambia.

Esto parece complicado, ya que $\alpha(x)$ es arbitrario. Sin embargo, puede hacerse. Miramos primero el término que depende de las derivadas. Si combinamos las derivadas de forma antisimétrica, tomando el tensor antisimétrico $F^{\mu \nu} ={\partial}^\mu A^\nu- {\partial}^\nu A^\mu$, podemos ver que el término que depende de $\alpha(x)$ se cancela, ya que ${\partial}^\mu {\partial}^\nu \alpha(x) - {\partial}^\nu {\partial}^\mu \alpha(x) = 0$, Así, $F^{\mu \nu}$ es invariante gauge local y puede usarse para construir el lagrangiano.

Por otro lado, con el término de masa, que debe ser cuadrático en $A^\mu$ no podemos hacer lo mismo. Cualquier término de tipo $m_A^2 A^\mu(x) A_\mu(x)$ no es invariante frente a las transformaciones gauge locales, y no hay manera de librarse de la dependencia en $\alpha(x)$.

Con esto llegamos a que el único lagrangiano posible para los campso gauge es
${\cal L} (A^\mu, {\partial}^\nu A^\mu) = {1 \over 4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$. Sin termino de masa.

En conclusión, las particulas que provienen de la cuantización de los campos gauge, esos campos que vienen de las transformaciones gauge locales, asociados a las cargas, tienen espín uno (provienen de cuadrivectores) y tienen masa cero (no tienen términos cuadráticos en el lagrangiano).

Por eso, el fotón, asociado al campo electromagnético, y que proviene de las transformaciones gauge locales asociadas a la conservación de la carga eléctrica, tiene espín uno y masa cero.

Por eso, los 8 gluones, asociados a los 8 campos de la cromodinámica cuántica, y que porvienen de las transformaciones gauge locales asociadas a la conservación del color, tienen espin uno y masa cero.

Saludos