Olimpiada Propuesto, sobre desintegracion

[angel relativamente]

Aqui dejo un problema de olimpiada de la universidad de Castilla-la-mancha (2009):

9.- Probablemente todavía no has estudiado esta parte de la Física, pero con lo
que contamos aquí serás capaz de entender la pregunta. Existen algunos
núcleos atómicos que son radiactivos, es decir, que se desintegran conforme el
tiempo transcurre. Esto quiere decir que dentro de ellos se producen
fenómenos físicos complicados que conducen a que estos núcleos emitan
partículas como pueden ser la llamada partícula alfa (el núcleo del helio),
electrones, positrones (las antipartículas de los electrones), neutrinos, fotones,
muones, piones, en fin, una gran variedad de “fieras” que forman parte del
denominado “zoo de las partículas”. Esta desintegración radiactiva viene
descrita de forma bastante exacta por la siguiente expresión:

$\dst N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}$

Las magnitudes que aparecen más arriba son las siguientes:
· $N(t)$: Número de núcleos radiactivos que quedan en el instante t
· $N_0$: Número de núcleos radiactivos iniciales
· $e$: El denominado número e, que vale 2.718281 aproximadamente
· $\lambda$: La constante de desintegración radiactiva
· $t$: El tiempo transcurrido desde el instante inicial

Como el exponente de una exponencial debe ser adimensional y t se mide en
segundos en el SI, la constante $\lambda$ se debe medir en $s^{-1}$. Si el tiempo lo ponemos
en día, $\lambda$ se debería poner en $dia^{-1}$ (Recuerda que las unidades se ponen en singular)...

Ahora ya viene la pregunta, todo lo demás ha sido la preparación.
Tenemos una muestra radiactiva compuesta por $N_0$ núcleos. Un compañero
tuyo de clase provisto de los correspondientes aparatos de medida estudia la
muestra durante varios días y después de sus medidas te da la siguiente
información: Hace dos días el número de núcleos de la muestra inicial era 6
veces los que hay ahora mismo. También te dice que hace cuatro días el
número de núcleos de la muestra inicial era 24 veces los que hay ahora mismo.

a) Comprobando estos datos resulta que no son compatibles entre sí. Por
lo que debes mandar a tu compañero al laboratorio para que vuelva a
medir con mayor precisión. Justifica por qué tienes que tomar esta
decisión.

b) Te vuelves a juntar con tu amigo al cabo de unos días y te dice que
ahora ha medido con mucha mayor exactitud y ha obtenido lo siguiente:
hace tres días el número de núcleos de la muestra inicial era 12 veces
los que tenemos ahora mismo. Con esta información, calcula el tiempo
que debe transcurrir desde el instante inicial para que la muestra se
reduzca a la mitad (a este tiempo se le llama periodo de semidesintegración). Da el resultado en minutos y sin decimales.

Suerte con el monstruo

Saludos!

[GNzcuber]

Re: Propuesto, sobre desintegracion

Hola Ángel,

No es tan difícil, antes de leer la primera pregunta me estaba volviendo loco porque lo que decía era incompatible, y justamente esa es la primera pregunta jeje: es porque en una medición posterior obtuvo una cantidad mayor de núcleos, a pesar que se estaban desintegrando.

Con la b) sabemos que $\dst N(3)=\frac{N_0}{12}$, por lo que al sustituir se me anulará $\dst N_0$. Luego hay que despejar lambda, por cierto, lo calculo en días :P.

$$\dst \frac{N_0}{12}=N_0\cdot e^{\dst -\lambda \cdot t}\rightarrow \lambda=\ln\left(\sqrt[3]{12}\right)[dia]^{-1}$$

Luego, el período de semidesintegración es:

$$\dst \frac{N_0}{2}=N_0\cdot e^{\dst -\lambda\cdot t'}\rightarrow t'=\frac{\ln(2)}{\lambda}=\frac{\ln(8)}{\ln(12)}[dia]$$

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre desintegracion

Hola GNzcuber

No es tan difícil, antes de leer la primera pregunta me estaba volviendo loco porque lo que decía era incompatible, y justamente esa es la primera pregunta jeje: es porque en una medición posterior obtuvo una cantidad mayor de núcleos, a pesar que se estaban desintegrando.

Yo no lo he interpretado asi. Dice claramente que hace cuatro dias la cantidad de nucleos era de $24N_0$ y que hace 2 dias era de $6N_0$. La medicion de hace 2 dias es posterior a la de hace 4.

Saludos!

[GNzcuber]

Re: Propuesto, sobre desintegracion

Hola GNzcuber



Yo no lo he interpretado asi. Dice claramente que hace cuatro dias la cantidad de nucleos era de $24N_0$ y que hace 2 dias era de $6N_0$. La medicion de hace 2 dias es posterior a la de hace 4.

Saludos!

:O. Es cierto . Gracias Ángel, en todas las veces que lo leí entendí que hace seis días la muestra era seis veces mayor, y hace cuatro días de veinticuatro :P.

Pero con esto, simplemente se debería hacer lo que hice para el ejercicio b), y como no ya te adelanta que las mediciones son malas, pues será porque da dos resultados de lambda diferentes.

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre desintegracion

efectivamente, y si no me he equivocado, para hace 2 dias me sale un valor de lambda de $\lambda_2=\ln{\sqrt{6}}$ y para hace 4 dias me sale $\lambda_4=\ln{\sqrt[4]{24}}$.

Saludos!