Secundaria Problema optimizacion de gravedad

[jpfannes]

Hola, me han questionado el siguiente problema del que no encuentro solucion:
Dos cuerpos de massa M tal que M1=M2.
Entre estos dos cuerpos, hay una 3ª massa M3 que permanece inmobil ya que la distancia entre esta massa y los dos cuerpos es la misma i por lo tanto la gravedad de ambos se contrapone. Si trazamos una linea vertical en la M3, y lo subimos o lo bajamos, este sufrira la gravedad de ambos cuerpos hacia el centro (donde estaba antes). La pregunta es, en que punt ode esta vertical la gravedad que sufra sera maxima. Es un poco complicado de explicar, si no esta claro are un dibujito con paint

[H2SO4]

Re: Problema optimizacion de gravedad


Dibuja un diagrama con las masas iguales M en el eje X y la masa m que tú mueves en un punto del eje Y, de coordenadas x e y.
Escribe la expresión para la fuerza F que hace sobre m una de las masas M. La distancia es d.
Determina la componente Y de esta fuerza. Ten en cuenta que el coseno del ángulo es y/d, y que $d=\sqrt{x^2+y^2}$.
Como las componentes X se anulan, la resultante será $2F_y$.
La condición de máximo se cumple para la primera derivada cero. Por tanto, deriva la expresión de esta resultante e iguálala a cero, lo que te permite determinar y en función de x.
A mí me da

$y=\pm \frac{x}{\sqrt{2} }$

Saludos

[jpfannes]

Re: Problema optimizacion de gravedad

Mhh, gracias, que velocidad, pero me temo que no he acabado de asimilar tus calculos.

[H2SO4]

Re: Problema optimizacion de gravedad

Puedes simplificar un poco las expresiones llamando K al producto GMm. Así, por ejemplo,

$F=\frac{K}{d^2 }=\frac{K}{x^2+y^2 }$

$F_y=F\cos \alpha =\frac{K}{x^2+y^2 }\frac{y}{{(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2 } } } =\frac{Ky}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2 } } }$

Multiplicas esta expresión por 2 para tener la resultante $2F_y$ (recuerda que las componentes X de las fuerzas se anulan por estar las dos M a la misma distancia del eje Y).

Ahora debes derivar esta resultante respecto de y para ver qué valores de y hacen máxima la resultante.

Saludos

[jpfannes]

Re: Problema optimizacion de gravedad

oh, gracis, que verguenza, no considere la formula de la gravedad. Gracias de nuevo

[urelius68]

Re: Problema optimizacion de gravedad

Por simetría la fuerza, y por tanto la g, será máxima en los extremos de la trayectoria, dado que en el centro es nula. Máxima en valor, en signo será opuesta.