Teoría cuántica de campos y representaciones equivalentes

[alshain]

Hay unas cuantas cosillas sobre teoría cuántica de campos que me rondan por la cabeza desde hace un tiempo. Una de ellas son los teoremas sobre equivalencia de representaciones unitarias. En la teoría cuántica de campos la equivalencia entre representaciones unitarias de las relaciones de commutación de Heisenberg no está garantizada por el teorema de Stone - von Neumann, tal y como ocurre en la mecánica cuántica, debido a los infinitos grados de libertad de la teoría. Partiendo de esta base existen una serie de resultados.

Según el teorema de Haag, las representaciones de los campos que cumplen las relaciones de commutación son equivalentes (existen transformaciones unitarias entre los operadores que implementan las relaciones de commutación) sólo si los campos son libres y sin interacción. Tan pronto como uno quiere representar campos en interacción, se ve forzado a hacer uso de representaciones no equivalentes en espacios de Hilbert diferentes. Un artículo interesante sobre el teorema de Haag se puede encontrar aquí.

Esto parece poner en duda el uso de la representación de interacción, en la cual las interacciones son descritas partiendo del campo libre y el Hamiltoniano total se define como H = Ho + Hi. No obstante, la representación de interacción tiene éxito explicando una variedad de fenómenos físicos haciendo uso de la teoría de perturbaciones.

Por otro lado, existe otro teorema en la teoría cuántica de campos, el de Fell, que afirma que distintas representaciones unitarias de las relaciones de commutación, equivalentes o no, no pueden ser distinguidas por medio de una cantidad finita de experimentos con una precisión experimental finita. De este teorema no puedo proporcionar referencia ni he visto su demostración, pero lo he visto citado en varios sitios.

La pregunta es sobre la relevancia de los teoremas de Haag y Fell en los fundamentos de la teoría cuántica de campos. Supongo que para una teoría que proporciona resultados experimentales indiscutibles la relevancia es relativa, pero supongo también que para los fundamentos teóricos debería haber consecuencias. Por ejemplo, me pregunto sobre las consecuencias para el uso del método canónico de cuantización (donde las relaciones de commutación juegan un papel esencial) como herramienta válida, incluso en aplicaciones como la gravitación cuántica canónica.

[Entro]

Pues la verdad no se su relevancia, el caso es que he podido vivir sin ellos hasta la fecha. No he visto ninguna implicación nunca, aunque si que los he visto nombrados alguna vez. Tendre que mirar algo al respecto.

Gracias por este toque de atencion

[Entro]

Por lo que yo se, en teoría cuántica de campos se puede fijar un algebra de observables aprovechando la simetría bajo el grupo de Poincaré lo que podría evitar un problema con los mencionados teoremas. Sin embargo, esta es una especulación que me ha venido en el momento lo mirare si me acuerdo y me queda tiempo.

En gravedad cuántica canónica la situación es parecida, gracias a la independencia de la teoría bajo difeomorfismos puedes obetener un algebra de observables única.

Pero no se si tiene mucho que ver con los teoremas esos

[alshain]

El teorema de Haag pone en duda la teoría cuántica de campos sobre un espacio-tiempo plano, cuando esta está basada en el método canónico de cuantización y pretende describir interacciones. Hay varios ejemplos de representaciones no equivalentes en la teoría cuántica de campos y ella parece vivir muy bien con ellos. Supongo que, como menciona el papel que cité, en parte es debido a que existen métodos alternativos de cuantización que proporcionan los resultados cuantitativos sin necesidad de pasar por las representaciones de las relaciones de commutación.

El teorema de Haag no se aplica a espacio-tiempos curvos. En general el tema de representaciones las relaciones de commutación para campos en espacio-tiempos arbitrariamente curvos es bastante delicado sin necesidad del teorema de Haag. Resumiendo creo que se puede decir que, aplicando el método canónico de cuantización, sólo hay garantía de representaciones equivalentes para espacio-tiempos planos con campos libres. Dada la limitación del método a la luz de esto me pregunto sobre su aplicación a temas como la gravitación cuántica canónica.

Por lo que yo se, en teoría cuántica de campos se puede fijar un algebra de observables aprovechando la simetría bajo el grupo de Poincaré lo que podría evitar un problema con los mencionados teoremas. Sin embargo, esta es una especulación que me ha venido en el momento lo mirare si me acuerdo y me queda tiempo.

Así lo entiendo yo también. La simetría de Poincaré permite la selección de un eje temporal preferido que proporciona una forma única de foliar el espacio-tiempo y determinar una base de soluciones a las ecuaciones clásicas (separar entre frecuencias negativas y positivas del campo libre). Esto da al paso o mapa de la teoría clásica a la cuántica una forma única y proporciona de paso una noción determinada del concepto de partícula. Pero que yo sepa esto vale sólo para campos libres y si se consideran interacciones sólo temporalmente suficiéntemente lejos de ellas.

En gravedad cuántica canónica la situación es parecida, gracias a la independencia de la teoría bajo difeomorfismos puedes obetener un algebra de observables única.

La LQG (que tomaré como paradigma moderno de gravedad cuántica canónica) no la conozco muy bien, así que he de andar con cuidado con lo que escribo (y espero no repetir una metida de pata como con el principio de incertidumbre...jeje). En un espacio-tiempo vacío los observables fundamentales son las holonomías A y los flujos E y su álgebra queda determinada al imponer la invarianza bajo difeomorfismos espaciales. Pero la selección de una determinada foliación del espacio-tiempo determina las secciones espaciales y también las variables dinámicas de la teoría con infinitos grados de libertad, dando lugar a representaciones distintas, que no son necesariamente equivalentes.

Las limitaciones mencionadas del método canónico me llevan a preguntarme sobre la consistencia de la teoría (en este caso, ya que estamos, la LQG) en lo referente a distintas representaciones inequivalentes. Este es un aspecto que no he visto tratado en ningún lugar, por lo que supongo que hay algo que hace de esta pregunta algo irrelevante y que estoy pasando por alto.

Un saludo.

[Entro]

Bueno creo que el sentimiento de que en LQG se tome una determinada foliación produzca una pérdida de generalidad en la teoría está justificado en un principio. De hecho, se podría argumentar que rompemos la invariancia bajo difeomorfismos. Sin embargo Thiemann demuestra que este no es el caso en gr-qc/0110034.

LQG es una teoría que matemáticamente esa bastante bien asentada, su consistencia interna está practicamente demostrada en todos los campos. Sus problemas actuales están en introducir una dinámica aceptable para recuperar relatividad general como límite clásico.

Ahora bien, existe un problema de inequivalencia de las teorías cuánticas que se pueden extraer en LQG ya que aparece un parámetro en la teoría, parámetro de Barbero-Immirzi que incide en los espectros de los observables de la teoría de forma que da lugar a teorías no conectadas por transformaciones unitarias. La determinación del valor de este parámetro es uno de los temas más importantes en LQG.

Saludos

[alshain]

Bueno creo que el sentimiento de que en LQG se tome una determinada foliación produzca una pérdida de generalidad en la teoría está justificado en un principio. De hecho, se podría argumentar que rompemos la invariancia bajo difeomorfismos. Sin embargo Thiemann demuestra que este no es el caso en gr-qc/0110034.

Me dejas un poco fuera de juego con un comentario así, porque yo he tomado hasta ahora otras introducciones más sencillas a la LQG y el Thiemann, aunque lo conozco, sólo lo he usado para consultar aspectos concretos y no lo he leído como para conocerlo y localizar mentalmente nada en él, porque el nivel me supera bastante.

De todas formas, veamos, yo no me estoy refiriendo a una pérdida de generalidad ni a una pérdida de invarianza frente a difeomorfismos. Al menos no creo que se trate de eso. En el Thiemann, en la sección I.2 donde se dedica a construir el espacio de Hilbert, se comenta:

We would like to stress at this point from the outset that the Hilbert space that we will construct in the course of the section is just one from infinitely many inequivalent (kinematical) representations of the abstract algebra of operators. On the other hand, as we will show in section I.3, it has many extremely natural and physically appealing properties and is at the moment the one that is most studied. However, one should not forget that there are many other (kinematical) representations which is a freedom that we may need to use exploit in later stages of the development of the theory. For some examples see section II.3.

Sin saber exáctamente de qué ejemplos se trata creo que es eso es a lo que me refiero. Es de esperar que en cualquier teoría que describa fenómenos físicos de forma más o menos realista y que esté basada en relaciones de commutación aparezcan representaciones inequivalentes. En la LQG también, pero aparentemente esto no parece ser un problema. La razón la desconozco y a Thiemann de debe parecer trivial, ya que simplemente lo comenta y no entra a justificarse.

LQG es una teoría que matemáticamente esa bastante bien asentada, su consistencia interna está practicamente demostrada en todos los campos.

Esa es mi impresión también, por lo que creo que estoy pasando algo por alto en la importacia que estoy suponiendo que tiene la necesidad de representaciones equivalentes.

Sus problemas actuales están en introducir una dinámica aceptable para recuperar relatividad general como límite clásico.

Ahora bien, existe un problema de inequivalencia de las teorías cuánticas que se pueden extraer en LQG ya que aparece un parámetro en la teoría, parámetro de Barbero-Immirzi que incide en los espectros de los observables de la teoría de forma que da lugar a teorías no conectadas por transformaciones unitarias. La determinación del valor de este parámetro es uno de los temas más importantes en LQG.

Sí, temas interesantes, sin duda, pero no quiero abarcar demasiado en este tema por el momento. No obstante si quieres discutir sobre ellos has de saber que en la medida de mis posibilidades soy un entusiasmado contertulio.

Un saludo.

[Entro]

Bueno no te preocupes a Thiemann hay muchas cosas que le parecen tiriviales. El resto tenemos que pensarlas uno poco más.

En la sección que indicas lo que intenta describir es que debido al caracter no lineal de la ligadura escalar. Lo que nos daría la evolución de los estados gravitacionales cuánticos. Aún no hay consenso en la forma que ha de tener el operador cuántico que implemente dicha ligadura, que básicamente es un Hamiltoniano.

Este problema es bastante grave ya que hemos de recurrir a conocer este operador para estudiar los límites semiclásicos de esta teoría. Hay algunas propuestas, como la del propio Thiemann sobre la forma de este operador y la subsiguiente construcción del espacio de Hilbert físico de la teoría. Por lo que se no es un tema cerrado y si esto si esta relacionado con el teorema de Stone-VonNeuman, al menos en ciertos aspectos.

Hay otros métodos para soslayar este problema como la participación de una generalizacion de las integrales de Feynman de la teoría cuántica de campos conocida como Spin Foam.

Saludos

[alshain]

En la sección que indicas lo que intenta describir es que debido al caracter no lineal de la ligadura escalar...

No veo cómo el problema de las representaciones inequivalentes puede tener algo que ver con la forma de la ligadura Hamiltoniana.

Resumiendo mi forma de entender esto: Para grados de libertad finitos la equivalencia entre representaciones está garantizada por el teorema de Stone - von Neumann. Para espacio-tiempos planos y campos sin interacción hay una forma preferida, natural, de llegar a la representación de las relaciones de commutación. Pero, en general, toda teoría de campos con infinitos grados de libertad, definida sobre un espacio-tiempo curvo o describiendo interacciones, y basada en las relaciones de commutación, ha de vivir con representaciones inequivalentes.

Este problema es bastante grave ya que hemos de recurrir a conocer este operador para estudiar los límites semiclásicos de esta teoría. Hay algunas propuestas, como la del propio Thiemann sobre la forma de este operador y la subsiguiente construcción del espacio de Hilbert físico de la teoría. Por lo que se no es un tema cerrado y si esto si esta relacionado con el teorema de Stone-VonNeuman, al menos en ciertos aspectos.

¿En qué aspectos?

Hay otros métodos para soslayar este problema como la participación de una generalizacion de las integrales de Feynman de la teoría cuántica de campos conocida como Spin Foam.

Sí, tienes razón. En la teoría cuántica de campos la inequivalencia de representaciones de las relaciones de commutación puede evitarse, ya que existen métodos de cuantización alternativos al método canónico, como el método de cuantización con la integral de caminos y las extensiones de este método (aunque estos métodos tienen sus propias dificultades matemáticas). En la teoría de cuerdas la situación es similar. En la LQG también existe la cuantización por medio de la integral de caminos, pero según tengo entendido no está del todo clara la relación con el formalismo canónico.

Bien, no era mi intención inicial convertir este hilo en una discusión o crítica sobre la LQG, pero veo creo que es provechoso para la pregunta que planteaba.

Un saludo.

[alshain]

En gravedad cuántica canónica la situación es parecida, gracias a la independencia de la teoría bajo difeomorfismos puedes obetener un algebra de observables única.

Vale, pensandolo bien no estoy seguro que la LQG sea un ejemplo adecuado de esto.

En ella, las relaciones de commutación se siguen de una foliación determinada del espacio-tiempo y ciertamente es un resultado famoso que dadas esas relaciones y la invarianza frente a difeomorfismos espaciales, el espacio de Hilbert cinemático es único.

Para distintas foliaciones no hay representaciones distintas, sino relaciones de commutación distintas. No se trata, por tanto, de distintas representaciones de las mismas relaciones de commutación, sino de relaciones distintas, que da lugar a una serie de teorías cuánticas diferentes, probablemente no equivalentes. Me pregunto cuál es la respuesta de la teoría frente a este problema.

Si uno fuera capaz de obtener relaciones de commutación para el espacio-tiempo y no sólo el espacio, algo así como un formalismo canónico para los modelos de spin foam, entonces sí que habría que ver cómo las distintas representaciones se relacionan entre si.

A la luz de esto no me queda del todo clara la cita que he puesto de Thiemann.

El caso es que parece ser que para las teorías donde existen representaciones inequivalentes existen también métodos alternativos de cuantización, probados en su validez. Parece que esto hace del teorema de Haag algo secundario. Sobre la interpretación del teorema de Fell no acabo de tener las cosas claras.

En fin, por el momento esto es lo que hay por mi parte, a la espera de comentarios. Sólo son unas cuantas ideas confusas y poco conexas, pero prometo que si logro aclarame un poco más sobre el tema lo contaré.

Un saludo.

[Entro]

Re: Teoría cuántica de campos y representaciones equivalentes

Hay unas cuantas cosillas sobre teoría cuántica de campos que me rondan por la cabeza desde hace un tiempo. Una de ellas son los teoremas sobre equivalencia de representaciones unitarias. En la teoría cuántica de campos la equivalencia entre representaciones unitarias de las relaciones de commutación de Heisenberg no está garantizada por el teorema de Stone - von Neumann, tal y como ocurre en la mecánica cuántica, debido a los infinitos grados de libertad de la teoría. Partiendo de esta base existen una serie de resultados.

Según el teorema de Haag, las representaciones de los campos que cumplen las relaciones de commutación son equivalentes (existen transformaciones unitarias entre los operadores que implementan las relaciones de commutación) sólo si los campos son libres y sin interacción. Tan pronto como uno quiere representar campos en interacción, se ve forzado a hacer uso de representaciones no equivalentes en espacios de Hilbert diferentes. Un artículo interesante sobre el teorema de Haag se puede encontrar aquí.

Esto parece poner en duda el uso de la representación de interacción, en la cual las interacciones son descritas partiendo del campo libre y el Hamiltoniano total se define como H = Ho + Hi. No obstante, la representación de interacción tiene éxito explicando una variedad de fenómenos físicos haciendo uso de la teoría de perturbaciones.

Por otro lado, existe otro teorema en la teoría cuántica de campos, el de Fell, que afirma que distintas representaciones unitarias de las relaciones de commutación, equivalentes o no, no pueden ser distinguidas por medio de una cantidad finita de experimentos con una precisión experimental finita. De este teorema no puedo proporcionar referencia ni he visto su demostración, pero lo he visto citado en varios sitios.

La pregunta es sobre la relevancia de los teoremas de Haag y Fell en los fundamentos de la teoría cuántica de campos. Supongo que para una teoría que proporciona resultados experimentales indiscutibles la relevancia es relativa, pero supongo también que para los fundamentos teóricos debería haber consecuencias. Por ejemplo, me pregunto sobre las consecuencias para el uso del método canónico de cuantización (donde las relaciones de commutación juegan un papel esencial) como herramienta válida, incluso en aplicaciones como la gravitación cuántica canónica.

El teorema de Stone-von Neumann está determinado fundamentalmente por un requerimiento de que la dimensión del espacio de fases de la teoría sea finita. Lo cual solo es válido en mecánica cuántica.

Esto hace que se seleccione las relaciones de conmutación canónicas entre posiciones y momentos y todas las representaciones de las relaciones de Weyl son unitariamente equivalentes.

En teoría cuántica de campos uno no puede recurrir a este teorema para privilegiar unas relaciones de conmutación porque el espacio de fases de partida es de dimensión infinita.

Sin embargo uno siempre puede recurrir a las simetrías subyacentes para identificar una buena definición del algebra de operadores y del producto interno. La simetría de Lorentz hace esto factible en caso de teoría cuántica de campos usual.

En teoría cuántica de campos en espaciotiempos curvos donde tenemos una simetría, aunque sea en caso asintotico tambien podemos encontrar un mecanismo que nos seleccione un algebra de observables y un producto interno para definir la teoría. En estos casos podemos hacer una interpretación de los campos en términos de partículas.

Por otro lado en situaciones más generales la cuestión de la elección del algebra de operadores dado un sistema cuántico no es trivial, pero entonces viene al rescate la construcción GNS dentro del formalismo de las C*-algebras.

Este es el fundamento para la elección del algebra que se emplea en LQG por ejemplo para definir el espacio de Hilbert cinemático de la teoría y demostrar que existe un producto interno bien definido y que esta representación es única.

Así que al fin y al cabo el método más potente de identificación del algebra de operadores, del espacio de estados y del producto interno es mediante el uso de las C*-algebras.

Saludos

[alshain]

Re: Teoría cuántica de campos y representaciones equivalentes

Muy buenas Entro. Gracias por tu nuevo comentario sobre este interesante tema.

Supongo que el problema de representaciones inequivalentes no es un impedimento para formular teorías con consistencia matemática. Tal y como mencionas, existe un procedimiento para obtener representaciones en espacios de Hilbert a partir de un álgebra de operadores. Aparentemente, la formulación algebráica de la teoría cuántica de campos (AQFT) permite definir la teoría abstrayendo de la noción de representación. Incluso es posible definir la idea de evolución temporal en tal marco haciendo uso de la noción de automorfismos del álgebra.

La cuestión que me interesa a mí es más bien qué tipo de consecuencias interpretativas tiene el hecho de que no haya representaciones equivalentes. Fíjate que el caso que mencionas de recurrir a las simetrías del espacio-tiempo sólo es válido para campos libres. El teorema de Haag precisamente muestra la existencia de representaciones inequivalentes para campos en interacción. Los problemas de interpretación han de estar por tanto ligados a la interpretación que hacemos de determinadas representaciones.

El caso más claro y probablemente más importante es la representación de Fock, que da lugar a la noción de partícula como excitación del campo. En relación con esto me gustaría hacer una reflexión que pongo a tu juicio, o de quien quiera juzgar, porque no estoy seguro de su validez:

El hecho de elegir una representación determinada tiene grandes ventajas, en concreto, en la representación de Fock la condición de microcausalidad (el campo conmuta en regiones espacialmente separadas) se cumple de forma natural. Si, por contra, preferimos quedarnos en el álgebra abstracta de operadores la condición de microcausalidad hay que introducirla como postulado. Personalmente no acabo de ve la justificación de introducir tal condición como axioma en la AQFT, ya que la AQFT está basada en un espacio-tiempo de la relatividad especial y, con ello, la localidad en la dinámica de los campos definidos en ella debería ser una consecuencia. La consistencia de una condición como la microcausalidad no es nada trivial y la existencia de representaciones inequivalentes no hace mas que poner las cosas peor, creo yo.

Un saludo.

[Entro]

Re: Teoría cuántica de campos y representaciones equivalentes

La cuestión que me interesa a mí es más bien qué tipo de consecuencias interpretativas tiene el hecho de que no haya representaciones equivalentes.

Creo que el concepto de partícula se ve comprometido por este hecho, y de igual forma, se puede ver que esta inequivalencia está en la raiz de efectos como el Hawking, Unhru, etc.

Fíjate que el caso que mencionas de recurrir a las simetrías del espacio-tiempo sólo es válido para campos libres. El teorema de Haag precisamente muestra la existencia de representaciones inequivalentes para campos en interacción. Los problemas de interpretación han de estar por tanto ligados a la interpretación que hacemos de determinadas representaciones.

Cierto hemos aprendido a pensar en términos de partículas, pero quizás esa no sea la forma más potente de interpretar la teoría cuántica. Aunque hasta ahora ha sido muy productiva.

El hecho de elegir una representación determinada tiene grandes ventajas, en concreto, en la representación de Fock la condición de microcausalidad (el campo conmuta en regiones espacialmente separadas) se cumple de forma natural. Si, por contra, preferimos quedarnos en el álgebra abstracta de operadores la condición de microcausalidad hay que introducirla como postulado. Personalmente no acabo de ve la justificación de introducir tal condición como axioma en la AQFT, ya que la AQFT está basada en un espacio-tiempo de la relatividad especial y, con ello, la localidad en la dinámica de los campos definidos en ella debería ser una consecuencia. La consistencia de una condición como la microcausalidad no es nada trivial y la existencia de representaciones inequivalentes no hace mas que poner las cosas peor, creo yo.

Bueno a mi modo de enteder todo este jaleo, que no es un modo muy bueno todo hay que decirlo, la condición de microcausalidad está asociada a la estructura causal que presuponemos del espaciotiempo. En espaciotiempos dinámicos esta condición no será facilmente implementable, como da a entender el problema del tiempo en gravedad cuántica.


En cierto sentido una formulación algebraica está desligada de este requerimiento. De hecho, en la AQFT lo que se busca es una condición de localidad física de la teoría y esto se implementa de modo natural. Simplemente diremos que la relaciónes entre subsistemas de un sistema (definido por un algebra) serán locales si el algebra total es el producto tensorial de las algebras de cada subsistema.

Yo creo que, y estoy seguro de que ya lo conoces, hay que escuchar al puto amo de este y muchos otros temas, el amigo Bob:

http://xxx.lanl.gov/PS_cache/gr-qc/p.../9509057v1.pdf

Aunque siempre podremos seguir discutiendo, pero si no conoces ese paper, que seguro que si, pues lo disfrutarás.

Saludos

[alshain]

Re: Teoría cuántica de campos y representaciones equivalentes

http://xxx.lanl.gov/PS_cache/gr-qc/p.../9509057v1.pdf

Aunque siempre podremos seguir discutiendo, pero si no conoces ese paper, que seguro que si, pues lo disfrutarás.

Ya lo creo, tengo el libro en el que se basa el papel: Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics, aunque debo decir que hasta ahora nunca lo he leído completo debido a la dificultad que me presenta. Lo que quiero hacer es estudiar algunos papeles sobre AQFT y tras ello quizás vuelva con comentarios e ideas nuevas a este tema.

Un saludo y gracias.