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Todos los profesionales, estudiantes y aficionados a la física han oido alguna vez que un campo es una función que depende de las coordenadas espaciales de forma que a cada punto del espacio se le asgina un valor de la función:
Donde supondremos que el campo es real, y que la x representa un vector que identifica un punto. Dado que a cada punto del espacio se le asigna un número llamaremos a este campo, campo escalar.
Ahora nos cuentan una cuestión divertida en teoría cuántica de campos. Los campos son operadores cuánticos de por sí:
Es decir, en la teoría cuántica de campos tendremos definidos estados, un señor espacio de Hilbert. Denotaremos estos estados por: . Como es evidente estos estados dependerán de la configuración del campos sobre el qué calculemos.
Esto no debería sorprendernos, el que el campo sea juez (operador) y parte (los estados dependen del campo), no es más diferente que lo que ocurre en mecánica cuántica usual donde hay un operador posición definido y las funciones de onda dependen de las coordenadas espaciales si estamos hablando de la representación de posiciones.
El problema aquí es que el campo no son simples posiciones, el campo es un ente físico, y lo que se puede demostrar es que
no es un operador bien definido. Como demostrarlo no es muy divertido, podemos pensar en lo siguiente:
Para conocer el valor del campo en un punto, habríamos de verlo en un único instante, es decir, deberíamos medirlo instantaneamente. Pero resulta que si pudieramos hacer eso implicaría que en el proceso hemos consumido una energía infinita. Al medir cualquier cosa consumimos energía, y tenemos una bonita relación entre la energía puesta en juego en un proceso y el tiempo que tarda en llevarse a cabo: . Si el intervalo de tiempo es nulo, la energía explota, lo cual no es muy físico.
¿Cómo resolvemos esto?
La cuestión la resuelve la mantequilla. Cuando untamos mantequilla efectuamos una acción, untarla, que es de soporte compacto. Lo que quiere decir es que tenemos mantequilla en la tostada pero más allá de ella no tenemos mantequilla. La función untar, por lo tanto, es de soporte compacto.
Pues justamente eso es lo que podemos hacer con un campo, podemos elegir conocer únicamente el campo en una determinada región, pero no lo podemos hacer punto a punto, porque caeríamos en lo mismo de antes. Así que lo untamos, y ¿cómo se unta un campo?... Pues eligiendo una función, denominada función de prueba de forma que sea de soporte compacto en la región donde queremos conocer el campo:
donde D es el dominio (soporte compacto) de la función de prueba.
Esto en ingles se conoce como smearing que se puede traducir por untar.
La pega de esto es que sólo conocemos el campo en la "componente" de la función de untamiento. Y si queremos conocer todo el campo habríamos de tener en cuenta todos los untamientos posibles con todas las funciones de prueba posibles.
Además, estas "funciones" pueden que sean distribuciones, ya que uno siempre puede entender el campo en un punto como:
Con lo cual las posibilidades de elección del conjunto de funciones de prueba son muy variadas y en ocasiones problemáticas.
Respecto a las condiciones de microcausalidad que usualmente se dan en términos de puntos espaciales no hay mucho problema en acomodarlas:
Si los soportes están separados espacialmente se verifica la condición de microcausalidad.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Donde supondremos que el campo es real, y que la x representa un vector que identifica un punto. Dado que a cada punto del espacio se le asigna un número llamaremos a este campo, campo escalar.
Ahora nos cuentan una cuestión divertida en teoría cuántica de campos. Los campos son operadores cuánticos de por sí:
Es decir, en la teoría cuántica de campos tendremos definidos estados, un señor espacio de Hilbert. Denotaremos estos estados por: . Como es evidente estos estados dependerán de la configuración del campos sobre el qué calculemos.
Esto no debería sorprendernos, el que el campo sea juez (operador) y parte (los estados dependen del campo), no es más diferente que lo que ocurre en mecánica cuántica usual donde hay un operador posición definido y las funciones de onda dependen de las coordenadas espaciales si estamos hablando de la representación de posiciones.
El problema aquí es que el campo no son simples posiciones, el campo es un ente físico, y lo que se puede demostrar es que
no es un operador bien definido. Como demostrarlo no es muy divertido, podemos pensar en lo siguiente:
Para conocer el valor del campo en un punto, habríamos de verlo en un único instante, es decir, deberíamos medirlo instantaneamente. Pero resulta que si pudieramos hacer eso implicaría que en el proceso hemos consumido una energía infinita. Al medir cualquier cosa consumimos energía, y tenemos una bonita relación entre la energía puesta en juego en un proceso y el tiempo que tarda en llevarse a cabo: . Si el intervalo de tiempo es nulo, la energía explota, lo cual no es muy físico.
¿Cómo resolvemos esto?
La cuestión la resuelve la mantequilla. Cuando untamos mantequilla efectuamos una acción, untarla, que es de soporte compacto. Lo que quiere decir es que tenemos mantequilla en la tostada pero más allá de ella no tenemos mantequilla. La función untar, por lo tanto, es de soporte compacto.
Pues justamente eso es lo que podemos hacer con un campo, podemos elegir conocer únicamente el campo en una determinada región, pero no lo podemos hacer punto a punto, porque caeríamos en lo mismo de antes. Así que lo untamos, y ¿cómo se unta un campo?... Pues eligiendo una función, denominada función de prueba de forma que sea de soporte compacto en la región donde queremos conocer el campo:
donde D es el dominio (soporte compacto) de la función de prueba.
Esto en ingles se conoce como smearing que se puede traducir por untar.
La pega de esto es que sólo conocemos el campo en la "componente" de la función de untamiento. Y si queremos conocer todo el campo habríamos de tener en cuenta todos los untamientos posibles con todas las funciones de prueba posibles.
Además, estas "funciones" pueden que sean distribuciones, ya que uno siempre puede entender el campo en un punto como:
Con lo cual las posibilidades de elección del conjunto de funciones de prueba son muy variadas y en ocasiones problemáticas.
Respecto a las condiciones de microcausalidad que usualmente se dan en términos de puntos espaciales no hay mucho problema en acomodarlas:
Si los soportes están separados espacialmente se verifica la condición de microcausalidad.
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