1r ciclo Reacciones de fusión

[sater]

Buenas, en un ejercicio tengo:


El caso es que como el ejercicio sólo indica las masas del protón y el Helio, pues no se si debo sacar la energía de las reacciones intermedias. Lo simplifiqué y supuse que la reacción es cuatro hidrógenos para dar helio y dos positrones, dos neutrinos (y rayos gamma?).
Entonces como te indica que las antipartículas dan energía aniquilándose, saqué la energía de la reacción de cuatro hidrógenos a helio y le sume la energía de suponer que toda la masa de cuatro electrones (dos positrones y dos electroens) pasa a energía con la ecuación de $E=m c^2$.
¿Veis este proceso correcto?
El caso es que entonces cuando quiero calcular el tiempo que tardaría en extinguirse el Sol me da del orden de $10^{21}$ años, lo cual creo que se pasa de lejos y no se si se debe a mi aproximación o a que estimar en la vida del Sol de forma tan tonta es mala aproximación.
Gracias de antemano, un saludo

[arivasm]

Re: Reacciones de fusión

Encuentro correcto tu procedimiento. Pero obtengo otro valor. Por contrastar: Para el a) yo obtengo 28,78 MeV ($\notcien{4,61}{-12}\ \rm J$). Para b) $\notcien{8,7}{37}$, que traducido en masa son $\notcien{1,5}{11}\ \rm kg$. Para c) obtengo $\notcien{6,9}{18}\ \rm s$, que en años son $\notcien{2}{11}$, es decir, unos 200 000 millones de años, lo que también me resulta un tanto largo (veo en la red que la estimación es de 6500 millones de años) pero más razonable que el que pones.

[Breogan]

Re: Reacciones de fusión

Hola:

Disculpen la intromisión, pero tengo varias dudas en como esta resuelto el problema.

Primero aclaro que soy un total neófito en el tema, y que las cosas que diga surgen de mi sentido común, que aparte de que tal vez no sea correcto, es usual que se lleve de los pelos con la física cuántica/nuclear.

En el primer punto yo me pregunto si la transformación en energía de parte de la masa inicial de los cuatro átomos de Hidrógeno, no incluye ya la energía de las posteriores aniquilaciones de los subproductos. En definitiva no se parte de un sistema con la masa de los 4 ¹H y se obtiene un sistema con la masa de un ⁴He, y la diferencia entre estas masas sale como energía o partículas o ? fuera del grupo en estudio?
Pensándolo así yo plantee:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y esto me dio:

$\dst E_{cpp} = \notcien{4,2887237}{-12}\ J = 26,73 \ MeV$

luego de hacerlo busque un poco en la web, y los pocos balances energéticos del ciclo ppI que encontré coinciden con el valor que halle.

En el segundo punto el Sol irradia una energía de $P = \notcien {4}{26} \ W$, y dado que cada ciclo ppI genera una energía ($E_{cpp}$) el numero total de ciclos ppI por segundo ($n_{cpp}$) estaría dado por:

$\dst n_{cpp} = \frac {P}{E_{cpp}} = \frac {\notcien {4}{26} \ W}{\notcien {4,289}{-12} J} = \notcien {9,3262}{37} s^{-1}$

Y acá viene otra duda, cuando se refiere a cuantos protones se consumen por segundo es lo mismo que decir cuantos átomos de H se fusionan en el Sol por s?
Si es así, y dado que en cada ciclo ppI se fusionan cuatro átomos de ¹H, debemos multiplicar el ultimo resultado por 4.
El numero de atomos de H fusionados por segundo seria:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para el punto c 1º se me ocurrió calcular el numero total de átomos de H en el sol, para eso hice:

$\dst N(1H) = \frac {0,5 \ m_S}{m(1H)}$

$\dst N(1H) = \frac { 0,5 \ \notcien {1,99}{30} kg}{ 1,007825 u \ \notcien {1,660538921}{-27} \frac {kg} u}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

dividimos este ultimo numero por la tasa de fusión del ¹H y obtenemos el tiempo de extinción del Sol:

$\dst t = \frac {N(1H)}{n(1H)}$

$\dst t = \frac {\notcien {5,94551}{56}}{\notcien {3,7305}{38} \ s^{-1}}$

$\dst t = \notcien {1,593757} {18} \ s$

y como 1 año tiene $\notcien {3,1536}{7}$ (si no me equivoco), el sol se apagaría en aproximadamente en 50537,7 millones de años.

Este resultado se acercaría un poco mas, pero aun esta lejos del numero citado por arivasm de 6500 millones de años.

Espero no haber complicado las cosas, y no haber metido mucho la pata. Espero sus comentarios. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

[sater]

Re: Reacciones de fusión

Me parece bien lo que has hecho lo único que creo que no has añadido la energía de aniquilación de 2 positrones con 2 electrones.
El problema que le veo a este ejercicio es el echar cuentas, que se te van los números enseguida y al final todo varía mucho por cualquier fallo tonto.
Gracias a ambos, un saludo

[arivasm]

Re: Reacciones de fusión

Confirmo que la diferencia entre los 28,78 MeV míos y los 26,73 MeV de Breogán se debe a la aniquilación de dos positrones con dos electrones que cita el enunciado y que añade 4 x 0,511 MeV.

Respecto de b) tiene razón Breogán: olvidé multiplicar por cuatro! Como consecuencia, el resultado que puse para c) debe dividirse entre cuatro, con lo que serían los 50000 millones de años que dice Breogán.

Sobre el valor que se cita en la red para la vida del H como combustible del Sol yo puse la referencia que encontré en Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Sun#Aft...gen_exhaustion). También se cita el mismo valor en http://www.universetoday.com/18847/life-of-the-sun/. Es interesante que eso signifique que habrá fases de consumo acelerado, como se explica en esta última cita.

De todos modos, a ojo no me parece que con ampliar el consumo a un 40% más rápido se pueda bajar de los 50000 M años a los 6500 M...

[Breogan]

Re: Reacciones de fusión

Hola:

Gracias por las respuestas, aunque todavía tengo ciertas dudas sobre la solución del problema.

Primero aclarar que en mi mensaje anterior cometí el error de confundir [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con el símbolo del átomo de hidrógeno, cuando en realidad simboliza al proton, y el del hidrógeno es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , no?

Voy a tratar de poner mi duda lo mas claro que pueda. Tomemos la 1º reacción señalada en el ejercicio:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Si hacemos el balance de energía de esta reacción tenemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Que es el balance energético de la reacción indicada en (1) exclusivamente.

En esta se ve que no hay electrón que pueda aniquilarse con el positron resultante de la reacción, por lo cual dicho electrón debe ser provisto desde el exterior, por lo cual para mantener el balance de energía, la energía del electrón se debe agregar en ambos miembros de la igualdad:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

el electrón y el positrón se aniquilan dando a lugar a dos rayos gamma con la misma energía quedando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que podemos escribir de la siguiente forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
este sería el balance de energía de la siguiente reacción:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
que incluye la reacción propiamente dicha y el posterior aporte de un electrón por el medio.

Si consideramos la energía cinética de las distintas partículas como despreciable la (3) queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para la reacción total presentada en el hilo quedaría:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y el balance energético seria:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y este creo que debería ser el valor correcto si no estoy diciendo ninguna tontería sin darme cuenta.

En cuanto a la esperanza de vida del sol por lo que pude leer es mucho mas complicado que la simple tasa de consumo del hidrógeno, y el consumo total de este.

La tasa de consumo de hidrógeno va a disminuir en el tiempo conforme baja la abundancia de este y sube la de helio, en un cierto momento la fusión del hidrógeno en su núcleo no generara la radiación suficiente como para soportar la presión gravitacional y el sol comenzara un colapso gravitacional hasta el punto en que se enciendan otros ciclos de fusión (Helio en el núcleo), el exceso de radiación en su interior hará que las capas exteriores se expandan convirtiendo el Sol en una estrella gigante roja.

Creo que este punto es el que se considera como fin de la vida del Sol, mas allá de que se siga produciendo fusión en su núcleo en menor escala, y que la abundancia de hidrógeno este lejos de ser cero.

Disculpen el choclo.

s.e.u.o.

Suerte

[sater]

Re: Reacciones de fusión

Muchas gracias por el interés y darle otro enfoque, Breogan. En cuanto pueda me meteré más con el tema que ahora en época de exámenes centrarme solo con una cosa me quita demasiado tiempo.
Lo que podría hacer es preguntarle al profesor por la solución de este ejercicio para ver que me comenta.
un saludo!

[arivasm]

Re: Reacciones de fusión

Tiene toda la razón Breogán: sólo hay que sumar 1,02 MeV.

Como dice Breogán, los dos electrones necesarios para la aniquilación podemos añadirlos al proceso global, debiendo entonces sumarlos a ambos miembros. Aclararé que usaré los símbolos de los isótopos para referirme a sus núcleos exclusivamente, y no a sus átomos.

Como nuestro proceso global es $\rm 4 {}^1H \to {}^4He + 2 e^{+} + 2\nu_e$, la incorporación de los electrones debe hacerse en ambos miembros: $\rm 4 {}^1H +2 e^{-} \to {}^4He + 2 e^{+} + 2 e^{-} + 2\nu_e$

Cabe tener presente que al evaluar la diferencia entre las energías en reposo obtenemos un término que se corresponde con las energías cinéticas de las partículas resultantes, aunque en realidad deberíamos tomar en consideración también la conservación del momento lineal relativista (y entonces manejar las etapas individuales), que rebajaría el valor obtenido debido a las energías cinéticas de las partículas incidentes.

Por tanto, en esta línea simplificada escribamos el primer proceso como $\rm 4 {}^1H \to {}^4He + 2 e^{+} + 2\nu_e + Q$. Evidentemente, en el mismo orden de aproximación que nos movemos, la energía liberada en el segundo será exactamente la misma:

$$\rm 4 {}^1H +2 e^{-} \to {}^4He + 2 e^{+} + 2 e^{-} + 2\nu_e+Q$$

Ahora planteémonos el proceso de aniquilación de los positrones y los electrones. Tenemos que $\rm e^{+}+e^{-} = 2\gamma$. Como antes, manejaremos las energías en reposo de los electrones y positrones, de manera que $\gamma$ además de representar un fotón representa una energía liberada de la misma cuantía que la masa en reposo del electrón o del positrón, 0,511 MeV.

Por tanto, ahora combinaremos con (1) el proceso

$\rm 2 e^{+}+ 2 e^{-} \to 4 \gamma$

de manera que el resultado final es

$$\rm 4 {}^1H +2 e^{-} \to {}^4He + 2\nu_e+4\gamma+Q$$

Así pues, como vemos, a la energía Q obtenida por la simple diferencia entre las masas de cuatro protones y la suma del helio-4 + dos positrones, hay que añadir una energía igual a la masa de cuatro electrones, lo que es lo mismo que calcular cuatro protones - un helio-4 + (sólo) 2 electrones.

Eso sí, discrepo del 5 que le ha puesto al número de fotones.

[Breogan]

Re: Reacciones de fusión

Hola:

...Eso sí, discrepo del 5 que le ha puesto al número de fotones.

El quinto foton sale de la segunda reaccion indicada en el enunciado y no de un proceso de aniquilación de particulas:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como la configuración del [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es de un proton y un neutron, cuando a este ultimo se le añade otro proton este no se transforma (??) en un neutron (no se emite ningún positron), y la reacción da como resultado un [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] cuya configuración es de dos protones y un neutron. En el proceso el exceso de energia se emite como un rayo gamma.

Cabe tener presente que al evaluar la diferencia entre las energías en reposo obtenemos un término que se corresponde con las energías cinéticas de las partículas resultantes, aunque en realidad deberíamos tomar en consideración también la conservación del momento lineal relativista (y entonces manejar las etapas individuales), que rebajaría el valor obtenido debido a las energías cinéticas de las partículas incidentes.

Por tanto, en esta línea simplificada escribamos el primer proceso como $\rm 4 {}^1H \to {}^4He + 2 e^{+} + 2\nu_e + Q$. Evidentemente, en el mismo orden de aproximación que nos movemos, la energía liberada en el segundo será exactamente la misma:

$$\rm 4 {}^1H +2 e^{-} \to {}^4He + 2 e^{+} + 2 e^{-} + 2\nu_e+Q$$

Ahora planteémonos el proceso de aniquilación de los positrones y los electrones. Tenemos que $\rm e^{+}+e^{-} = 2\gamma$. Como antes, manejaremos las energías en reposo de los electrones y positrones, de manera que $\gamma$ además de representar un fotón representa una energía liberada de la misma cuantía que la masa en reposo del electrón o del positrón, 0,511 MeV.

Por tanto, ahora combinaremos con (1) el proceso

$\rm 2 e^{+}+ 2 e^{-} \to 4 \gamma$

de manera que el resultado final es

$$\rm 4 {}^1H +2 e^{-} \to {}^4He + 2\nu_e+4\gamma+Q$$

Así pues, como vemos, a la energía Q obtenida por la simple diferencia entre las masas de cuatro protones y la suma del helio-4 + dos positrones, hay que añadir una energía igual a la masa de cuatro electrones, lo que es lo mismo que calcular cuatro protones - un helio-4 + (sólo) 2 electrones.

No estoy totalmente convencido de la siguiente ecuación:

$\rm 4 {}^1H \to {}^4He + 2 e^{+} + 2\nu_e + Q$

primero por que este es un balance (?) de partículas, y no creo que exista una partícula Q como resultado de la reacción. Ademas de faltarle un foton en el lado derecho del balance.

Creo que la posible energía cinética de las partículas participantes en la reacción se debe tener en cuenta en:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y el balance de energía queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde si tenemos en cuenta que las partículas tienen energía cinética, hay que usar la formula relativista de la energía (siempre que su velocidad lo amerite), y expresar las energías de las partículas del miembro izquierdo de la igualdad con:

$\dst E = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2 }$

Creo !!!
s.e.u.o.

Suerte

[arivasm]

Re: Reacciones de fusión

En mi post Q representaba no una partícula, sino la energía resultante del proceso, bien sea en forma de energía cinética o bien en forma de fotones como el que indicas en la transición hacia helio-3, mientras que por $\gamma$ representé fotones de energía aproximadamente igual a la del electrón en reposo.

Lo que pretendí con esas cantidades era expresar el valor de la energía que resulta al hacer simples balances de masa en reposo.