Divulgación Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

[alexpglez]

Hola, quería preguntar esto, ya que en lo poco que he leído, postulan directamente que los campos son operadores. Por lo que leo, parece que al discretizar una Hamiltoniana te queda una expresión tipo:

$$H(p_k,q_k)=\sum_k p_k^*p_k+\omega_k^2 q_k q_k^*$$

Dónde:

$$\phi(x,t)=\sum_k q_k(t)e^{ikx}$$

Y:

$$\pi(x,t)=\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}=\sum_k p_k(t)e^{ikx}$$

$$\omega_k=k^2+\mu_0^2$$

Relativo a la densidad hamiltoniana:

$$h=\pi\pi^* +\nabla \phi \nabla \phi^* +\mu_0^2 \phi \phi^*$$

La idea según parece, es comparar a $q_k$ con la posición de la k-ésima partícula, y $p_k$ con el momento¿? De tal forma que la idea de la primera cuantización aplicada aquí sería que $q_k --> \;\;\;\; \hat q_k= q_k$ y $p_k -->> \;\;\; \hat p_k=i\hbar \frac{\partial}{\partial q_k}$. Pero, sobre qué actúan, quiero decir, cuál es la función de onda ahora¿? ya que $\phi(x,t)$ no depende de las coordenadas de cada partícula.

Y cómo podríamos interpretar esto, me refiero, en mecánica cuántica ordinaria (primera cuantización), la frecuencia $\omega_k=\frac{E_k}{\hbar}$ era la energía de la partícula, y sin embargo ahora tenemos que considerar como frecuencia de oscilación. Podríamos decir que las partículas (bosones de spin 0 en la jerga, en nuestro caso) oscilan están oscilando de "derecha a izquierda"¿? A su vez, esta frecuencia tiene algo que ver con la energía del campo o de la partícula¿? Quiero decir, podríamos hacer lo mismo o algo parecido al campo como hacíamos en la primera cuantización, quiero decir: $i\hbar \frac{\partial \phi}{\partial t}=\sum_n E_n \phi_n$ ¿?

Por otra parte, tal hamiltoniano, no se corresponde con un movimiento clásico (si no cuantizamos), ni cuántico no ni si relativístico. Ya que la k-ésima partícula no sigue ni: $H_k=\frac{p_k^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega_k^2q_k^2$ ni: $H_k=c\sqrt{p_k^2+m^2c^2} + \frac{1}{2}\omega_k^2 q_k^2$, ni sus versiones cuánticas no¿? (o al menos no lo parece a simple vista).

A su vez, una vez aclaradas estas cuestiones, sería interesante preguntarse el proceso inverso, si un hamiltoniano multipartícula en cuántica relativista tiende a la descripción de campo.

Gracias, saludos.

[JDiaz]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Respecto a la primera pregunta que haces, no sé si tengo muy claro lo que preguntas. ¿Te refieres a que dado que los campos son operadores deben actuar sobre algo? En tal dado te diría que actuan sobre una "función de vacío" |0>, que es un vector del espacio de Fock. Al actuar un operador campo sobre este, se crea un campo con las propiedades de dicho campo. Es un "contabilizador de partículas" en terminos muy llanos.

Respecto a lo que dices de la primera cuantización, está en relación con lo primero. Al tratar con campos es necesario recurrir a la "segunda cuantización": considerar los campos como operadores sobre un espacio de Fock (en lugar de sobre un espacio de Hilbert).

Lo que preguntas sobre el Hamiltoniano no lo entiendo bien ¿Quieres decir que el hamiltoniano no logra describir la dinámica de la k-ésima partícula en concreto?

En cuántica de campos hay que tener en cuenta que hay una diferencia fundamental con la cuantica "clásica": no puedes trabajar con una sola partícula (grosso modo). Estás trabajando con un espacio en el que se crean y destruyen partículas constantemente debido a la actuación de los operadores. Por tanto, no es posible "seguir la pista" a una sola partícula.

La última pregunta ya si que no la entiendo ;P

[alexpglez]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Respecto a la primera pregunta que haces, no sé si tengo muy claro lo que preguntas. ¿Te refieres a que dado que los campos son operadores deben actuar sobre algo? En tal dado te diría que actuan sobre una "función de vacío" |0>, que es un vector del espacio de Fock. Al actuar un operador campo sobre este, se crea un campo con las propiedades de dicho campo. Es un "contabilizador de partículas" en terminos muy llanos.

Hola gracias, entiendo, el vector en el espacio de Fock en la representación de coordenadas sería equivalente al vector en el espacio de Hilbert: $\Psi(x_1,x_2,x_3,x_4....x_n)$ que tendrá una forma u otra en función de $\phi_i(x_i)$ según sea bosones o fermiones¿? sólo que claro está en la segunda cuantización, el número de coordenadas del vector sería variable. Pod creo que respecto a esto dijo que se podría tratar con funciones de onda $\Psi(x_1,x_2,x_3....x_n)$, tal que cada una describiese una partícula, tal que si destruyes la partícula, la función anterior es nula con respecto a las variables de su partícula, pero esto sería intratable desde un punto de vista práctico, y de manera teórica parece mucho más elegante el tratamiento de cuantización de campos.

Lo que preguntas sobre el Hamiltoniano no lo entiendo bien ¿Quieres decir que el hamiltoniano no logra describir la dinámica de la k-ésima partícula en concreto?

Explicándome mejor, ¿qué legitimidad tenemos de considerar $q_k$ y $p_k$ como posición y momento de partículas, ya que entonces el hamiltoniano de la partícula k-ésima se tendría que corresponder con sus conocidos hamiltonianos relativistas, ya sea para partículas libres, o para un oscilador $H_k=c\sqrt{m^2c^2+p_k^2}$ ó $H_k=c\sqrt{m^2c^2+p_k^2} +\frac{\omega_k^2}{2}q^2$ y no se corresponde? Además la frecuencia $\omega_k$, representa la energía¿?

La última pregunta ya si que no la entiendo ;P

Me refería a que si se puede deducir la segunda cuantización directamente de la primera (y no sólo de la segunda, interpretar que aparecen las partículas de la teoría), es decir, por ejemplo del hamiltoniano multipartícula $\hat H \Psi=[\sum_i\frac{\hat p_i^2}{2m}+V_i(x_i)] \Psi$, si se puede deducir de aquí su campo correspondiente, su densidad lagrangiana y sus ecuaciones.

Mi pregunta es también es conceptual, cómo debemos imaginarnos el concepto de campo¿?, esto es, una colección variable de partículas que siguen reglas cuánticas $[\hat x, \hat p]=i\hbar$ y la ecuación $E^2=p^2c^2+m^2c^4$, y que pueden interactuar entre ellas¿?

También tenía una duda, y es con respecto a la interacción de las partículas del mismo campo, en concreto la expansión del Hamiltoniano primero que escribí, he leído que se llama expansión en osciladores armónicos, ¿esto por qué es?, deberíamos concluir pues que las partículas del campo interactúan entre sí como muelles¿?, no serían partículas libres¿?

[JDiaz]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Hola gracias, entiendo, el vector en el espacio de Fock en la representación de coordenadas sería equivalente al vector en el espacio de Hilbert: que tendrá una forma u otra en función de según sea bosones o fermiones¿? sólo que claro está en la segunda cuantización, el número de coordenadas del vector sería variable. Pod creo que respecto a esto dijo que se podría tratar con funciones de onda , tal que cada una describiese una partícula, tal que si destruyes la partícula, la función anterior es nula con respecto a las variables de su partícula, pero esto sería intratable desde un punto de vista práctico, y de manera teórica parece mucho más elegante el tratamiento de cuantización de campos.

Sí, creo que es lo que dices. Lo que pasa es que es difícil hacer una analogía entre la cuántica "clásica" y la de campos, ya que la clásica no tiene en cuenta autointeracciones y otras cosas muy divertidas.

Explicándome mejor, ¿qué legitimidad tenemos de considerar y como posición y momento de partículas, ya que entonces el hamiltoniano de la partícula k-ésima se tendría que corresponder con sus conocidos hamiltonianos relativistas, ya sea para partículas libres, o para un oscilador ó y no se corresponde? Además la frecuencia , representa la energía¿?

Sigo sin entender muy bien cual es la duda. La energía de una partícula en un oscilador viene dada por \omega _k

Me refería a que si se puede deducir la segunda cuantización directamente de la primera (y no sólo de la segunda, interpretar que aparecen las partículas de la teoría), es decir, por ejemplo del hamiltoniano multipartícula , si se puede deducir de aquí su campo correspondiente, su densidad lagrangiana y sus ecuaciones.

Mi pregunta es también es conceptual, cómo debemos imaginarnos el concepto de campo¿?, esto es, una colección variable de partículas que siguen reglas cuánticas y la ecuación , y que pueden interactuar entre ellas¿?

La segunda cuantización surge precisamente de formalizar un método para trabajar con interacciones y al tratar las partículas como campos. Las densidades Lagrangiana y Hamiltoniana son conceptos de teoría ce campos, y no creo que tengan sentido fuera de esta. Hay que tener en cuenta que la cuantización y la segunda cuantización son procedimientos ad hoc, es decir, la cuantización canónica es un proceso (por decirlo rápido) intuitivo. Del mismo modo, la segunda cuantización se "monta" sobre la cuantización canónica y se "añade" el concepto de campo, asociando a cada partícula un campo (vector) en el espacio de Fock. Lo que significa que no se puede deducir la teoría de campos a partir de la cuantica "clásica".

También tenía una duda, y es con respecto a la interacción de las partículas del mismo campo, en concreto la expansión del Hamiltoniano primero que escribí, he leído que se llama expansión en osciladores armónicos, ¿esto por qué es?, deberíamos concluir pues que las partículas del campo interactúan entre sí como muelles¿?, no serían partículas libres¿?

El problema de oscilador armónico cuántico es fundamental en la comprensión de la teoría de campos debido a que modeliza muy bien cómo se comportan las partículas en el espacio de Fock. si quieres puedes entenderlo como si cada partícula del espacio fuera un oscilador armónico en si mismo. En estos modelos sencillos las partículas no interactuan entre sí (excepto por el teorema spin-estadistica en el caso de fermiones); la interacción entre partículas es un problema distinto que "se añade" a la construcción anterior como Hamiltoniano de interacción.

Creo que el problema que tienes (corrigeme si me equivoco) es que intentas ver la cuántica de campos con "ojos clásicos". Hay que tener en cuenta que los campos en esta teoría son operadores por derecho propio, e interactuan con el espacio de partículas y con otros operadores.

[alexpglez]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Creo que el problema que tienes (corrigeme si me equivoco) es que intentas ver la cuántica de campos con "ojos clásicos". Hay que tener en cuenta que los campos en esta teoría son operadores por derecho propio, e interactúan con el espacio de partículas y con otros operadores.

Entiendo que quiera ver con ojos de primera cuantización al problema, ya que de la primera se deduce la segunda. Y según me parece haber visto en un vídeo divulgativo, el problema suele ir en el sentido de tener una Hamiltoniana de muchas partículas discretas y encontrar la función de onda asociada, eso vi en este vídeo que menciono en el que trataba de encontrar el campo de un "muelle" cuántico que lleva al concepto de cuerda (algo parecido a esto si no recuerdo mal):

$$\hat H=\sum_i \hat p_i^2 + \frac{\omega}{2}(q_{i+1}-q_i)^2$$

Volveré a comentar si eso en unos días concretando las preguntas cuando haga algunos (sencillos) cálculos.

Saludos.

[JDiaz]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Eso de que de la primera se deduce la segunda... No me parece correcto. Más bien se construye la segunda sobre la primera (por así decirlo) ¿Podrías pasar el vídeo?

[alexpglez]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Vale jeje, perdona, debe ser que lo vi hace mucho, primero hace la construcción de una Hamiltoniana, pasandolo después al límite, para volver a desarrollar la Hamiltoniana en sus modos normales, y cuantiza. Pero la verdad, se me escapa, del 21 al 32 minuto lo explica:
https://www.youtube.com/watch?v=QFrl...1MMOwveMRwbmsA
Está hecho divulgativamente, y por lo tanto lo podrás ver mucho más rápido. Por otra parte, volviendo a ver el vídeo, me quedó la duda, por si me podrías responder, que tal expresión del Hamiltoniano es clásico no¿? entonces los cálculos serían parecidos sólo que con una expresión relativista¿?

[JDiaz]

Re: Deducción de la cuantización de campos a partir de la "primera cuantización"

Por lo que he podido ver en el video, lo que hace es algo que se hace constantemente en física, y de hecho es la esencia de la cuantización canónica: toma un sistema clasico, y lo cuantiza "a huevo". Del mismo modo se puede hacer relativista el sistema clásico y después cuantizar también a huevo, pero suelen aparecer problemas, como cantidades matemáticas que no tienen sentido. Taquiones, etc

Lo que hacen en el video para los físicos es algo "común", pero no sé hasta dónde sabes de física o matemáticas. Si bien el método es bastante sencillo de entender, las herramientas para llevarlo a cabo suelen ser complicadas