Avanzado Entendiendo el grupo de Lie de una teoría Gauge, U(1) vs (R,+)

[alexpglez]

Hola a todos,
Hacía mucho tiempo que no me pasaba por el foro.

Me gustaría entender por qué se elige el grupo $U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ para el modelo estándar. Intuitivamente entiendo algunas cosas:
- El electromagnetismo tiene grupo $U(1)$ pues es el grupo de simetrías para la ecuación de Dirac. La función de onda (espinor) no es medible, sólo su módulo, así está definida salvo un elemento de $U(1)$.
- A diferencia de la carga eléctrica que es una magnitud escalar, la carga de color (clásicamente) se modela como un vector de $\mathbb R^3$, según la cantidad de "rojo", "azul" y "verde". Intuitivamente la teoría debe quedar invariante por una rotación $SO(3)$. Como además, cuánticamente la carga se modeliza con funciones de onda (espinores) complejas, hay que cambiar el grupo por $SU(3)$.

Preguntaré más detalles en otro hilo relativos a la segunda cuestión. Respecto a la primera, queremos que matemáticamente las ecuaciones de Yang-Mills (en el vacío) sean las ecuaciones de Maxwell:
$dF=0$
$d^*F=0$
Para la curvatura $F\in \Omega^2(M)\simeq \Omega^2(M, P\times_{\text{Ad}} \mathfrak g)$ donde $P\times_{\text{Ad}} \mathfrak g$ es el fibrado adjunto del $U(1)$ fibrado principal. Pero sustituyendo $U(1)$ por cualquier grupo (abeliano) de dimensión $1$, obtenemos las ecuaciones de Maxwell anteriores.

De forma rigurosa, ¿por qué se elige el grupo $U(1)$ y no cualquier otro grupo de Lie de dimensión $1$ como $(\mathbb R,+)$?

Muchas gracias
Un saludo

[sater]

Yo (sin saber mucho del tema) diría que es porque los físicos piensan ya en representaciones. El U(1) surgió directamente estudiando invariancias bajo cambios de fase, que es ya la representación. No sé demasiado del tema, pero ¿no serían las exponenciales complejas otra representación del grupo (R,+)? Además, ya tienes la unitariedad que necesitas siempre en cuántica.

Esperemos a que otro forero explique mejor los motivos.

[carroza]

Hola.

El grupo U(1) es un grupo compacto. El grupo (R,+) no lo es.

Entro en más detalles, si lo precisas.

Saludos

[sater]

Hola.

El grupo U(1) es un grupo compacto. El grupo (R,+) no lo es.

Entro en más detalles, si lo precisas.

Saludos

Y la compacidad era necesaria para... ¿asegurar que la representación fuera unitaria?

[carroza]

Hola.

La compacidad no es que sea o deje de ser necesaria . El grupo U(1) es compacto, y el grupo (R,+) es no compacto. Son grupos diferentes, no son grupos isomorfos.

El hecho de que el grupo U(1) sea compacto lleva a que la carga (que es el generador del grupo), necesariamente está cuantizada.

Si fuera otro grupo no compacto de un parámetro, como (R,+), no habría ninguna razón para que el generador estuviera cuantizado.

Esto es análogo a lo que ocurre en el grupo de Lorentz O(3,1). El grupo de lorentz contiene las rotaciones O(3), que son un grupo compacto, ya que sus parametros están definidos en un intervalo compacto(angulos entre [0, 2pi]) , y eso hace que sus generadores, que son las componentes del momento angular, esten cuantizados.
Sin embargo, tambien contiene como generadores los boosts de Lorentz , que dependen de parámetros (las velocidades) definidos en un intervalo no compacto (-c,c) . Eso hace que el grupo de Lorenz sea no compacto.

Una cosa son las representaciones, y otra los grupos. En los ejemplos que me vienen a la cabeza, los grupos compactos tienen representaciones unitarias, pero también pueden tener representaciones no unitarias. De la misma forma, un grupo no compacto podría tener representaciones unitarias: Imagina que al grupo (R,+), caracterizadas por el parametro x, le asocias la matriz u(x)= exp(ix). Esto es una representación unitaria, aunque no fiel.

Bueno, no me quiero meter en cuestiones matemáticas que no domino.

Repregunta si hay algo más.

saludos

[alexpglez]

Hola Carroza

Mmm, entonces ¿se necesita compacidad para la cuantización de la carga?, entiendo entonces que la resolución del dilema $U(1)$ vs $\mathbb R$ es puramente cuántico.
No sé cuantizar vaya (en teorías de campos), pero me imagino con el ejemplo que indicas del momento angular.

Respecto a la pregunta de Sater, estaría bien saber si $(\mathbb R,+)$ admite representaciones unitarias fieles. Y si con estas representaciones se puede reproducir la teoría electrónica, al igual que la teoría electrónica estándar se realiza con las representaciones espinoriales de $U(1)$. Aunque yo tampoco domino estas matemáticas para poder aportar algo...

Muchas gracias

[sater]

Hola.


El hecho de que el grupo U(1) sea compacto lleva a que la carga (que es el generador del grupo), necesariamente está cuantizada.

Tengo entendido (palabras de A. Zee en su libro "Quantum Field Theory in a Nutshell") que la cuantización de la carga por ahora es un hecho sin explicación, precisamente por venir del grupo U(1). En teorías de gran unificación si se podría explicar porque los operadores que, tras una ruptura de simetría, dieran lugar a la simetría del electromagnetismo realmente provendrían de un grupo mayor donde existían otros operadores con los que no conmutaban, dándoles así un espectro discreto (con lo que la carga estaría cuantizada). Esto además lo liga con lo que decía Dirac de que la cuantización de la carga implica la existencia de monopolos magnéticos. Por eso en el modelo estándar no se tiene ni lo uno ni lo otro, mientras que en teorías de gran unificación sí.

¿Es probable que lo entendiera mal?

[carroza]

Hola.

Vamos a ver, os voy a dar mi argumento para mostrar que cualquier representación irreducible del grupo U(1) se obtiene de un generador proporcional a numeros enteros. Probablemente los matemáticos pueden estar horripilados de dicha demostración. So veis alguna pega, me lo indicais.

- El grupo U(1) es el grupo de las transformaciones unitarias en una dimensión. Como tal, tiene una representación fundamental que corresponde a numeros complejos de modulo 1, o sea , $\exp(i \phi)$, donde $\phi \in[0,2\pi ]$ .

- $\phi \in[0,2\pi ]$ por tanto, puede considerarse como el parámetro que define los elementos abstractos del grupo, $g(\phi) \in U(1)$. Fijadse que eso implica que, necesariamente, $g(2 \pi) = g(0) = e$, siendo e la identidad, o el elemento neutro del grupo.

- Ahora vamos a las transformaciones infinitesimales (se que esto que voy a escribir no gusta a los matemáticos, pero bueno, está en la esencia de los grupos de Lie). Cuando el parámetro $d \phi$ es muy pequeño, el elemento del grupo $g(d \phi)$ es "cercano" al elemento neutro e, con lo que puede expresarse
$g(d \phi) = e \oplus i d \phi Q$,
donde Q es el operador abstracto que es el generador del grupo. Esta suma $\oplus$, se convierte en la suma normal en cuanto tengamos, no los elementos abstractos del grupo, sino cualquier representación que asigne una matriz a cada elemento del grupo.

Ahora vamos a representación arbitraria del grupo. En ella, el operador Q viene representado por un numero real (para representaciones unitarias) y, en principio arbitrario q. el valor q, por tanto, caracteriza la representación unitaria, y es el autovalor del operador Q en dicha representación. La matriz (1x1) que representa al elemento $g(d \phi)$ es
$u_q(d \phi) = 1 + i d \phi q$.
Si esto lo integramos para obtener la matriz que representa al elemento genérico $g( \phi)$ tendremos

$u_q( \phi) = \exp( i \phi q )$.

Hasta aqui, q podia ser un numero real arbitrario. Pero ahora imponemos la condición $g(2 \pi) = g(0) = e$, que se cumple para los elementos abstractos del grupo, y por tanto debe cumplirse para cualquier representación. Eso implica que

$u_q( 2 \pi) = \exp( i 2 \pi q ) = u_q(0) = 1$.

Con lo que q solo puede ser un numero entero.

Fijadse que esto solo ocurre para grupos compactos, en los que uno vuelve a la identidad modificando continuamente el parametro que define el grupo. Funciona sí para el grupo de las rotaciones, pero no sería el caso para el grupo de las translaciones en una dimensión que sí es (R,+). Por eso, el generador del grupo de las traslaciones (el momento lineal) no está cuantizado, pero el generador del grupo de las rotaciones (el momento angular) , o el generador del grupo gauge U(1) (la carga) si lo está.

Saludos

[sater]

No veo mal tu argumento, pero claro, tampoco es que yo sea quien para encontrarle fallos porque no domino apenas el tema.

Pero sigo con la mosca tras la oreja. Googleando un poco sigo viendo que el tema de la cuantización de la carga está abierto, y siempre apelan a gran unificación para explicar la cuantización. Por tanto quizá sí hay algún fallo en tu argumento. Pero ni idea de dónde.

[alexpglez]

Está correcto. (Matemáticamente el argumento consiste en calcular primero el homomorfismo de álgebras de Lie, y ver cuándo viene de un homomorfismo de grupos de Lie)
Las representaciones unitarias son del tipo:
$\rho_m:U(1) \longrightarrow U(1)$
$\rho_m(e^{i2\pi\lambda})=e^{i2\pi m \lambda}$
Para algún $m\in \mathbb Z$. En cambio las representaciones unitarias de $\mathbb R$ son del tipo:
$\rho_m:\mathbb R \longrightarrow U(1)$
$\rho_m(\lambda)=e^{i 2 \pi m \lambda}$
Para cualquier $m$ real.

Pero... ¿qué tiene que ver esto con la cuantización de la carga?

[carroza]

Pero... ¿qué tiene que ver esto con la cuantización de la carga?

- En física, el operador carga eléctrica es el generador del grupo de las transformaciones gauge, que tiene estructura del grupo U(1).

- Los autovalores del generador de U(1) son proporcionares a numeros enteros.

- Por tanto, los valores de la carga son proporcionales a numeros enteros, y por tanto, cuantizados.

Saludos